∫ 1 2 ∫ 2 3 ∫ 0 1 8 x y z d z d x d y = \displaystyle\int\limits _1^2\int\limits _2^3\int\limits _0^1\:8xyz\:dzdxdy= 1 ∫ 2 2 ∫ 3 0 ∫ 1 8 x yz d z d x d y =
8 ∫ 1 2 ∫ 2 3 ∫ 0 1 x y z d z d x d y = \displaystyle8\int\limits _1^2\int\limits _2^3\int\limits _0^1\:xyz\:dzdxdy= 8 1 ∫ 2 2 ∫ 3 0 ∫ 1 x yz d z d x d y =
8 ∫ 1 2 ∫ 2 3 [ ∫ 0 1 x y z d z ] d x d y = \displaystyle8\int\limits _1^2\int\limits _2^3\left[\int\limits _0^1\:xyz\:dz\right]dxdy= 8 1 ∫ 2 2 ∫ 3 ⎣ ⎡ 0 ∫ 1 x yz d z ⎦ ⎤ d x d y =
8 ∫ 1 2 ∫ 2 3 [ x y ∫ 0 1 z d z ] d x d y = \displaystyle8\int\limits _1^2\int\limits _2^3\left[xy\int\limits _0^1\:z\:dz\right]dxdy= 8 1 ∫ 2 2 ∫ 3 ⎣ ⎡ x y 0 ∫ 1 z d z ⎦ ⎤ d x d y =
8 ∫ 1 2 ∫ 2 3 x y [ ∫ 0 1 z d z ] d x d y = \displaystyle8\int\limits _1^2\int\limits _2^3xy\left[\int\limits _0^1\:z\:dz\right]dxdy= 8 1 ∫ 2 2 ∫ 3 x y ⎣ ⎡ 0 ∫ 1 z d z ⎦ ⎤ d x d y =
8 ∫ 1 2 ∫ 2 3 x y [ z 2 2 ] 0 1 d x d y = \displaystyle8\int\limits _1^2\int\limits _2^3xy\left[\frac{z^2}{2}\right]_0^1dxdy= 8 1 ∫ 2 2 ∫ 3 x y [ 2 z 2 ] 0 1 d x d y =
8 ∫ 1 2 ∫ 2 3 x y [ 1 2 2 − 0 2 2 ] d x d y = \displaystyle8\int\limits _1^2\int\limits _2^3xy\left[\frac{1^2}{2}-\frac{0^2}{2}\right]dxdy= 8 1 ∫ 2 2 ∫ 3 x y [ 2 1 2 − 2 0 2 ] d x d y =
8 ∫ 1 2 ∫ 2 3 x y ⋅ 1 2 d x d y = \displaystyle8\int\limits _1^2\int\limits _2^3xy\cdot\frac{1}{2}\:dxdy= 8 1 ∫ 2 2 ∫ 3 x y ⋅ 2 1 d x d y =
8 ⋅ 1 2 ∫ 1 2 ∫ 2 3 x y d x d y = \displaystyle8\cdot\frac{1}{2}\int\limits _1^2\int\limits _2^3xy\:dxdy= 8 ⋅ 2 1 1 ∫ 2 2 ∫ 3 x y d x d y =
4 ∫ 1 2 [ ∫ 2 3 x y d x ] d y = \displaystyle4\int\limits _1^2\left[\int\limits _2^3xy\:dx\right]dy= 4 1 ∫ 2 ⎣ ⎡ 2 ∫ 3 x y d x ⎦ ⎤ d y =
4 ∫ 1 2 [ y ∫ 2 3 x d x ] d y = \displaystyle4\int\limits _1^2\left[y\int\limits _2^3x\:dx\right]dy= 4 1 ∫ 2 ⎣ ⎡ y 2 ∫ 3 x d x ⎦ ⎤ d y =
4 ∫ 1 2 y [ ∫ 2 3 x d x ] d y = \displaystyle4\int\limits _1^2y\left[\int\limits _2^3x\:dx\right]dy= 4 1 ∫ 2 y ⎣ ⎡ 2 ∫ 3 x d x ⎦ ⎤ d y =
4 ∫ 1 2 y [ x 2 2 ] 2 3 d y = \displaystyle4\int\limits _1^2y\left[\frac{x^2}{2}\right]_2^3\:dy= 4 1 ∫ 2 y [ 2 x 2 ] 2 3 d y =
4 ∫ 1 2 y [ 3 2 2 − 2 2 2 ] d y = \displaystyle4\int\limits _1^2y\left[\frac{3^2}{2}-\frac{2^2}{2}\right]\:dy= 4 1 ∫ 2 y [ 2 3 2 − 2 2 2 ] d y =
4 ∫ 1 2 y [ 9 − 4 2 ] d y = \displaystyle4\int\limits _1^2y\left[\frac{9-4}{2}\right]\:dy= 4 1 ∫ 2 y [ 2 9 − 4 ] d y =
4 ∫ 1 2 y ⋅ 5 2 d y = \displaystyle4\int\limits _1^2y\cdot\frac{5}{2}\:dy= 4 1 ∫ 2 y ⋅ 2 5 d y =
4 ⋅ 5 2 ∫ 1 2 y d y = \displaystyle4\cdot\frac{5}{2}\int\limits _1^2y\:dy= 4 ⋅ 2 5 1 ∫ 2 y d y =
10 ∫ 1 2 y d y = \displaystyle10\int\limits _1^2y\:dy= 10 1 ∫ 2 y d y =
10 [ y 2 2 ] 1 2 = \displaystyle10\left[\frac{y^2}{2}\right]_1^2= 10 [ 2 y 2 ] 1 2 =
10 ⋅ [ 2 2 2 − 1 2 2 ] = \displaystyle10\cdot\left[\frac{2^2}{2}-\frac{1^2}{2}\right]= 10 ⋅ [ 2 2 2 − 2 1 2 ] =
10 ⋅ 4 − 1 2 = \displaystyle10\cdot\frac{4-1}{2}= 10 ⋅ 2 4 − 1 =
10 ⋅ 3 2 = \displaystyle10\cdot\frac{3}{2}= 10 ⋅ 2 3 = 15 15 15
Answer:
∫ 1 2 ∫ 2 3 ∫ 0 1 8 x y z d z d x d y = 15 \displaystyle\int\limits _1^2\int\limits _2^3\int\limits _0^1\:8xyz\:dzdxdy=15 1 ∫ 2 2 ∫ 3 0 ∫ 1 8 x yz d z d x d y = 15
#339914 on Dec 2023