Find the Taylor series expansion of f ( x ) = ( 9 − e − x ) f(x)=(9-e^{-x}) f ( x ) = ( 9 − e − x ) about x = 0 x=0 x = 0
A Maclaurin series is given by
f ( x ) = ∑ k = 0 ∞ f ( k ) ( a ) k ! x k f(x)=\sum_{k=0}^{\infin } {f^{(k)}(a)\over k!} x^k f ( x ) = ∑ k = 0 ∞ k ! f ( k ) ( a ) x k
In our case, f ( x ) ≈ P ( x ) = ∑ k = 0 n f ( k ) ( a ) k ! x k = ∑ k = 0 3 f ( k ) ( a ) k ! x k f(x)≈P(x)=\sum_{k=0}^{n} {f^{(k)}(a)\over k!} x^k=\sum_{k=0}^{3 } {f^{(k)}(a)\over k!} x^k f ( x ) ≈ P ( x ) = ∑ k = 0 n k ! f ( k ) ( a ) x k = ∑ k = 0 3 k ! f ( k ) ( a ) x k
So, what we need to do to get the desired polynomial is to calculate the derivatives, evaluate them at the given point, and plug the results into the given formula.
f ( 0 ) ( x ) = f ( x ) = 9 − e − x f^{(0)}(x)=f(x)=\sqrt{9−e^{−x}} f ( 0 ) ( x ) = f ( x ) = 9 − e − x
Evaluate the function at the point: f ( 0 ) = 9 − e − 0 = 2 2 f(0)=\sqrt{9−e^{−0}}=2 \sqrt 2 f ( 0 ) = 9 − e − 0 = 2 2
Find the 1st derivative:
f ′ ( x ) = 1 2 ( 9 − e − x ) − 1 2 e − x f'(x)={1\over 2}(9-e^{-x})^{-{1\over 2}}e^{-x} f ′ ( x ) = 2 1 ( 9 − e − x ) − 2 1 e − x
When x = 0 x=0 x = 0
f ′ ( 0 ) = 1 2 ( 9 − e − ( 0 ) ) − 1 2 e − ( 0 ) = 1 2 ( 9 − 1 ) − 1 2 . ( 1 ) = 1 2 ( 8 ) − 1 2 . ( 1 ) = 1 2 ( 8 ) − 1 2 = 2 8 f'(0)={1\over 2}(9-e^{-(0)})^{-{1\over 2}}e^{-(0)}={1\over 2}(9-1)^{-{1\over 2}}.(1)={1\over 2}(8)^{-{1\over 2}}.(1)={1\over 2}(8)^{-{1\over 2}}={ \sqrt 2 \over 8} f ′ ( 0 ) = 2 1 ( 9 − e − ( 0 ) ) − 2 1 e − ( 0 ) = 2 1 ( 9 − 1 ) − 2 1 . ( 1 ) = 2 1 ( 8 ) − 2 1 . ( 1 ) = 2 1 ( 8 ) − 2 1 = 8 2
Find the 2nd derivative:
f ′ ′ ( x ) = ( − 1 2 ) ( 1 2 ) ( 9 − e − x ) − 3 2 . e − x . e − x − 1 2 ( 9 − e − x ) − 1 2 . e − x f''(x)=(-{1\over 2})({1\over 2})(9-e^{-x})^{-{3\over 2}}.e^{-x}.e^{-x}-{1\over 2}(9-e^{-x})^{-{1\over 2}}.e^{-x} f ′′ ( x ) = ( − 2 1 ) ( 2 1 ) ( 9 − e − x ) − 2 3 . e − x . e − x − 2 1 ( 9 − e − x ) − 2 1 . e − x
= ( − 1 4 ) ( 9 − e − x ) − 3 2 . e − 2 x − 1 2 ( 9 − e − x ) − 1 2 . e − x =(-{1\over 4})(9-e^{-x})^{-{3\over 2}}.e^{-2x}-{1\over 2}(9-e^{-x})^{-{1\over 2}}.e^{-x} = ( − 4 1 ) ( 9 − e − x ) − 2 3 . e − 2 x − 2 1 ( 9 − e − x ) − 2 1 . e − x
When x = 0 x=0 x = 0
f ′ ′ ( 0 ) = ( − 1 4 ) ( 9 − e − ( 0 ) ) − 3 2 . e − 2 ( 0 ) − 1 2 ( 9 − e − ( 0 ) ) − 1 2 . e − ( 0 ) f''(0)=(-{1\over 4})(9-e^{-(0)})^{-{3\over 2}}.e^{-2(0)}-{1\over 2}(9-e^{-(0)})^{-{1\over 2}}.e^{-(0)} f ′′ ( 0 ) = ( − 4 1 ) ( 9 − e − ( 0 ) ) − 2 3 . e − 2 ( 0 ) − 2 1 ( 9 − e − ( 0 ) ) − 2 1 . e − ( 0 )
= ( − 1 4 ) ( 9 − 1 ) − 3 2 . 1 − 1 2 ( 9 − 1 ) − 1 2 . 1 =(-{1\over 4})(9-1)^{-{3\over 2}}.1-{1\over 2}(9-1)^{-{1\over 2}}.1 = ( − 4 1 ) ( 9 − 1 ) − 2 3 .1 − 2 1 ( 9 − 1 ) − 2 1 .1
= ( − 1 4 ) ( 8 ) − 3 2 − 1 2 ( 8 ) − 1 2 = − 17 2 128 =(-{1\over 4})(8)^{-{3\over 2}}-{1\over 2}(8)^{-{1\over 2}}=-{17 \sqrt 2 \over 128} = ( − 4 1 ) ( 8 ) − 2 3 − 2 1 ( 8 ) − 2 1 = − 128 17 2
Find the 3rd derivative:
f ′ ′ ′ ( x ) = ( − 3 2 ) ( − 1 4 ) ( 9 − e − x ) − 5 2 . e − x . e − 2 x + 2 4 ( 9 − e − x ) − 3 2 . e − 2 x − [ ( − 1 2 ) ( 1 2 ) ( 9 − e − x ) − 3 2 . e − x . e − x − 1 2 ( 9 − e − x ) − 1 2 . e − x ] f'''(x)=(-{3\over 2})(-{1\over 4})(9-e^{-x})^{-{5\over 2}}.e^{-x}.{e^{-2x}}+{2\over 4}(9-e^{-x})^{-{3\over 2}}.e^{-2x}-[(-{1\over 2})({1\over 2})(9-e^{-x})^{-{3\over 2}}.e^{-x}.{e^{-x}}-{1\over 2}(9-e^{-x})^{-{1\over 2}}.e^{-x}] f ′′′ ( x ) = ( − 2 3 ) ( − 4 1 ) ( 9 − e − x ) − 2 5 . e − x . e − 2 x + 4 2 ( 9 − e − x ) − 2 3 . e − 2 x − [( − 2 1 ) ( 2 1 ) ( 9 − e − x ) − 2 3 . e − x . e − x − 2 1 ( 9 − e − x ) − 2 1 . e − x ]
= ( 3 8 ) ( 9 − e − x ) − 5 2 . e − 3 x + 2 4 ( 9 − e − x ) − 3 2 . e − 2 x + ( 1 4 ) ( 9 − e − x ) − 3 2 . e − 2 x + 1 2 ( 9 − e − x ) − 1 2 . e − x =({3\over 8})(9-e^{-x})^{-{5\over 2}}.e^{-3x}+{2\over 4}(9-e^{-x})^{-{3\over 2}}.e^{-2x}+({1\over 4})(9-e^{-x})^{-{3\over 2}}.e^{-2x}+{1\over 2}(9-e^{-x})^{-{1\over 2}}.e^{-x} = ( 8 3 ) ( 9 − e − x ) − 2 5 . e − 3 x + 4 2 ( 9 − e − x ) − 2 3 . e − 2 x + ( 4 1 ) ( 9 − e − x ) − 2 3 . e − 2 x + 2 1 ( 9 − e − x ) − 2 1 . e − x
When x = 0 x=0 x = 0
f ′ ′ ′ ( 0 ) = ( 3 8 ) ( 9 − e − ( 0 ) ) − 5 2 . e − 3 ( 0 ) + 2 4 ( 9 − e − ( 0 ) ) − 3 2 . e − 2 ( 0 ) + ( 1 4 ) ( 9 − e − ( 0 ) ) − 3 2 . e − 2 ( 0 ) + 1 2 ( 9 − e − ( 0 ) ) − 1 2 . e − ( 0 ) f'''(0)=({3\over 8})(9-e^{-(0)})^{-{5\over 2}}.e^{-3(0)}+{2\over 4}(9-e^{-(0)})^{-{3\over 2}}.e^{-2(0)}+({1\over 4})(9-e^{-(0)})^{-{3\over 2}}.e^{-2(0)}+{1\over 2}(9-e^{-(0)})^{-{1\over 2}}.e^{-(0)} f ′′′ ( 0 ) = ( 8 3 ) ( 9 − e − ( 0 ) ) − 2 5 . e − 3 ( 0 ) + 4 2 ( 9 − e − ( 0 ) ) − 2 3 . e − 2 ( 0 ) + ( 4 1 ) ( 9 − e − ( 0 ) ) − 2 3 . e − 2 ( 0 ) + 2 1 ( 9 − e − ( 0 ) ) − 2 1 . e − ( 0 )
= ( 3 8 ) ( 9 − 1 ) − 5 2 . 1 + 2 4 ( 9 − 1 ) − 3 2 . 1 + ( 1 4 ) ( 9 − 1 ) − 3 2 . 1 + 1 2 ( 9 − 1 ) − 1 2 . 1 =({3\over 8})(9-1)^{-{5\over 2}}.1+{2\over 4}(9-1)^{-{3\over 2}}.1+({1\over 4})(9-1)^{-{3\over 2}}.1+{1\over 2}(9-1)^{-{1\over 2}}.1 = ( 8 3 ) ( 9 − 1 ) − 2 5 .1 + 4 2 ( 9 − 1 ) − 2 3 .1 + ( 4 1 ) ( 9 − 1 ) − 2 3 .1 + 2 1 ( 9 − 1 ) − 2 1 .1
= ( 3 8 ) ( 8 ) − 5 2 + 2 4 ( 8 ) − 3 2 + ( 1 4 ) ( 8 ) − 3 2 + 1 2 ( 8 ) − 1 2 = 307 2 2048 =({3\over 8})(8)^{-{5\over 2}}+{2\over 4}(8)^{-{3\over 2}}+({1\over 4})(8)^{-{3\over 2}}+{1\over 2}(8)^{-{1\over 2}}={307 \sqrt 2 \over 2048} = ( 8 3 ) ( 8 ) − 2 5 + 4 2 ( 8 ) − 2 3 + ( 4 1 ) ( 8 ) − 2 3 + 2 1 ( 8 ) − 2 1 = 2048 307 2
From Taylor series,
f ( x ) = f ( 0 ) 0 ! x 0 + f ′ ( 0 ) 1 ! x 1 + f ′ ′ ( 0 ) 2 ! x 2 + f ′ ′ ′ ( 0 ) 3 ! x 3 + . . . f(x)={f(0)\over 0!}x^0+{f'(0)\over 1!}x^1+{f''(0)\over 2!}x^2+{f'''(0)\over 3!}x^3+... f ( x ) = 0 ! f ( 0 ) x 0 + 1 ! f ′ ( 0 ) x 1 + 2 ! f ′′ ( 0 ) x 2 + 3 ! f ′′′ ( 0 ) x 3 + ...
Now, use the calculated values to get a polynomial:
⟹ f ( x ) = 2 2 0 ! x 0 + 2 8 1 ! x 1 + − 17 2 128 2 ! x 2 + 307 2 2048 3 ! x 3 + . . . \implies f(x)={2 \sqrt 2\over 0!}x^0+{{ \sqrt 2 \over 8}\over 1!}x^1+{-{17 \sqrt 2 \over 128}\over 2!}x^2+{{307 \sqrt 2 \over 2048}\over 3!}x^3+... ⟹ f ( x ) = 0 ! 2 2 x 0 + 1 ! 8 2 x 1 + 2 ! − 128 17 2 x 2 + 3 ! 2048 307 2 x 3 + ...
= 2 2 1 . 1 + 2 8 1 x + − 17 2 128 2 x 2 + 307 2 2048 6 x 3 + . . . ={2 \sqrt 2\over 1}.1+{{ \sqrt 2 \over 8}\over 1}x+{-{17 \sqrt 2 \over 128}\over 2}x^2+{{307 \sqrt 2 \over 2048}\over 6}x^3+... = 1 2 2 .1 + 1 8 2 x + 2 − 128 17 2 x 2 + 6 2048 307 2 x 3 + ...
= 2 2 + 2 8 x − 17 2 256 x 2 + 307 2 12288 x 3 + . . . =2 \sqrt 2+{ \sqrt 2 \over 8}x-{17 \sqrt 2 \over 256}x^2+{307 \sqrt 2 \over 12288}x^3+... = 2 2 + 8 2 x − 256 17 2 x 2 + 12288 307 2 x 3 + ...
Determine ( 9 − e − 0.03 ) (9-e^{-0.03}) ( 9 − e − 0.03 ) to 3 decimal places using the first three terms
( 9 − e − 0.03 ) 1 2 ≈ 2 2 + 2 8 ( − 0.03 ) − 17 2 256 ( − 0.03 ) 2 + 307 2 12288 ( − 0.03 ) 3 (9-e^{-0.03})^{1\over 2} \approx 2 \sqrt 2+{ \sqrt 2 \over 8}(-0.03)-{17 \sqrt 2 \over 256}(-0.03)^2+{307 \sqrt 2 \over 12288}(-0.03)^3 ( 9 − e − 0.03 ) 2 1 ≈ 2 2 + 8 2 ( − 0.03 ) − 256 17 2 ( − 0.03 ) 2 + 12288 307 2 ( − 0.03 ) 3
≈ 2.828427125 − 0.005303300859 − 0.00008452135744 − 0.000000953972674 \approx 2.828427125-0.005303300859-0.00008452135744-0.000000953972674 ≈ 2.828427125 − 0.005303300859 − 0.00008452135744 − 0.000000953972674
≈ 2.823038349 \approx 2.823038349 ≈ 2.823038349
⟹ ( 9 − e − 0.03 ) = ( ( 9 − e − 0.03 ) 1 2 ) 2 ≈ ( 2.823038349 ) 2 ≈ 7.970 \implies (9-e^{-0.03})=((9-e^{-0.03})^{1\over 2})^2 \approx(2.823038349)^2 \approx7.970 ⟹ ( 9 − e − 0.03 ) = (( 9 − e − 0.03 ) 2 1 ) 2 ≈ ( 2.823038349 ) 2 ≈ 7.970 correct to 3 decimal places
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