x : 50 52 54 56 y = x 3 : 3.684 3.732 3.779 3.825 \def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{c:c:c:c:c}
x: & 50 & 52 & 54 & 56 \\ \hline
y=\sqrt[3]{x}: & 3.684 & 3.732 & 3.779 & 3.825\\
\hdashline
\end{array} x : y = 3 x : 50 3.684 52 3.732 54 3.779 56 3.825
By Lagrange’s interpolation formula for inverse interpolation, we have:
x = f − 1 ( y ) = ( y − y 1 ) ( y − y 2 ) ( y − y 3 ) ( y 0 − y 1 ) ( y 0 − y 2 ) ( y 0 − y 3 ) x 0 + ( y − y 0 ) ( y − y 2 ) ( y − y 3 ) ( y 1 − y 0 ) ( y 1 − y 2 ) ( y 1 − y 3 ) x 1 + ( y − y 0 ) ( y − y 1 ) ( y − y 3 ) ( y 2 − y 0 ) ( y 2 − y 1 ) ( y 2 − y 3 ) x 2 + ( y − y 0 ) ( y − y 1 ) ( y − y 2 ) ( y 3 − y 0 ) ( y 3 − y 1 ) ( y 3 − y 2 ) x 3 x=f^{-1}(y)= \frac{(y-y_1)(y-y_2)(y-y_3)}{(y_0-y_1)(y_0-y_2)(y_0-y_3)}x_0+ \frac{(y-y_0)(y-y_2)(y-y_3)}{(y_1-y_0)(y_1-y_2)(y_1-y_3)} x_1+ \frac{(y-y_0)(y-y_1)(y-y_3)}{(y_2-y_0)(y_2-y_1)(y_2-y_3)}x_2+ \frac{(y-y_0)(y-y_1)(y-y_2)}{(y_3-y_0)(y_3-y_1)(y_3-y_2)} x_3 x = f − 1 ( y ) = ( y 0 − y 1 ) ( y 0 − y 2 ) ( y 0 − y 3 ) ( y − y 1 ) ( y − y 2 ) ( y − y 3 ) x 0 + ( y 1 − y 0 ) ( y 1 − y 2 ) ( y 1 − y 3 ) ( y − y 0 ) ( y − y 2 ) ( y − y 3 ) x 1 + ( y 2 − y 0 ) ( y 2 − y 1 ) ( y 2 − y 3 ) ( y − y 0 ) ( y − y 1 ) ( y − y 3 ) x 2 + ( y 3 − y 0 ) ( y 3 − y 1 ) ( y 3 − y 2 ) ( y − y 0 ) ( y − y 1 ) ( y − y 2 ) x 3
We put y = 3.756 y=3.756 y = 3.756
x ( 3.756 ) = f − 1 ( 3.756 ) = ( 3.756 − 3.732 ) ( 3.756 − 3.779 ) ( 3.756 − 3.825 ) ( 3.684 − 3.732 ) ( 3.684 − 3.779 ) ( 3.684 − 3.825 ) 50 + ( 3.756 − 3.684 ) ( 3.756 − 3.779 ) ( 3.756 − 3.825 ) ( 3.732 − 3.684 ) ( 3.732 − 3.779 ) ( 3.732 − 3.825 ) 52 + ( 3.756 − 3.684 ) ( 3.756 − 3.732 ) ( 3.756 − 3.825 ) ( 3.779 − 3.684 ) ( 3.779 − 3.732 ) ( 3.779 − 3.825 ) 54 + ( 3.756 − 3.684 ) ( 3.756 − 3.732 ) ( 3.756 − 3.779 ) ( 3.825 − 3.684 ) ( 3.825 − 3.732 ) ( 3.825 − 3.779 ) 56 = − 529 8930 ⋅ 50 + 1587 2914 ⋅ 52 + 2592 4465 ⋅ 54 − 96 1457 ⋅ 56 ≈ 53.016 x(3.756)=f^{-1}(3.756)= \frac{(3.756-3.732)(3.756-3.779)(3.756-3.825)}{(3.684-3.732)(3.684-3.779)(3.684-3.825)}50+ \frac{(3.756-3.684)(3.756-3.779)(3.756-3.825)}{(3.732-3.684)(3.732-3.779)(3.732-3.825)} 52+ \frac{(3.756-3.684)(3.756-3.732)(3.756-3.825)}{(3.779-3.684)(3.779-3.732)(3.779-3.825)}54+ \frac{(3.756-3.684)(3.756-3.732)(3.756-3.779)}{(3.825-3.684)(3.825-3.732)(3.825-3.779)} 56=-\frac{529}{8930}\cdot 50+\frac{1587}{2914}\cdot 52
+\frac{2592}{4465}\cdot 54-\frac{96}{1457}\cdot 56\approx 53.016 x ( 3.756 ) = f − 1 ( 3.756 ) = ( 3.684 − 3.732 ) ( 3.684 − 3.779 ) ( 3.684 − 3.825 ) ( 3.756 − 3.732 ) ( 3.756 − 3.779 ) ( 3.756 − 3.825 ) 50 + ( 3.732 − 3.684 ) ( 3.732 − 3.779 ) ( 3.732 − 3.825 ) ( 3.756 − 3.684 ) ( 3.756 − 3.779 ) ( 3.756 − 3.825 ) 52 + ( 3.779 − 3.684 ) ( 3.779 − 3.732 ) ( 3.779 − 3.825 ) ( 3.756 − 3.684 ) ( 3.756 − 3.732 ) ( 3.756 − 3.825 ) 54 + ( 3.825 − 3.684 ) ( 3.825 − 3.732 ) ( 3.825 − 3.779 ) ( 3.756 − 3.684 ) ( 3.756 − 3.732 ) ( 3.756 − 3.779 ) 56 = − 8930 529 ⋅ 50 + 2914 1587 ⋅ 52 + 4465 2592 ⋅ 54 − 1457 96 ⋅ 56 ≈ 53.016
Answer: x ≈ 53.016 x\approx 53.016 x ≈ 53.016
#339914 on Dec 2023
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