Question

Consider the set V = R 2 . For (x1, y1),(x2, y2) ∈ R 2 and c ∈ R, define the following operations:

I. (x1, y1) + (x2, y2) = (0, y1 + y2)

II. c(x1, y1) = (0, cy1)

Is the subset a vector of R2. If not prove the axioms that makes it false.Also prove those axioms that are true.

Answer 1

$V=R^2\\ I. \forall \vec{a}=(x_1,y_1)\in V, \vec{b}=(x_2,y_2)\in V\\ \vec{a}+\vec{b}=(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(0,y_1+y_2)\in V\\ II. \forall c\in R, \forall \vec{a}=(x_1,y_1)\in V\\ c\cdot\vec{a}=c\cdot(x_1,y_1)=(0,cy_1)\in V$

Axioms

$1) \vec{a}+\vec{b}= \vec{b}+\vec{a}\\ \vec{a}+\vec{b}=(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(0,y_1+y_2)\\ \vec{b}+\vec{a}=(x_2,y_2)+(x_1,y_1)=(0, y_2+y_1)=\\ =(0,y_1+y_2)= \vec{a}+\vec{b}\\ true$

$2. \forall \vec{d}=(x_3,y_3)\in V\\ (\vec{a}+\vec{b})+\vec{d}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{d})\\ \vec{a}+(\vec{b}+\vec{d})=(x_1,y_1)+(0, y_2+y_3)=\\ =(0, y_1+y_2+y_3)\\ (\vec{a}+\vec{b})+\vec{d}=(0, y_1+y_2)+(x_3,y_3)=\\ =(0, y_1+y_2+y_3)=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})\\ true$

$3. \exist\vec{0}=(x_2,y_2)\in V, \forall\vec{a}=(x_1,y_1)\in V\\ \vec{a}+\vec{0}=\vec{a}\\ \vec{a}+\vec{0}=(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(0, y_1+y_2)\neq\vec{a}\\ \not\exist\vec{0}\\ false$

$4. \forall\vec{a}=(x_1,y_1)\in V\exist\vec{b}=(x_2,y_2)\in V\\ \vec{a}+\vec{b}=\vec{0}\\ \not\exist\vec{0}\\ false$

$5. \forall c, k\in R, \forall \vec{a}=(x_1,y_1)\in V\\ (c+d)\cdot\vec{a}=c\cdot\vec{a}+d\cdot\vec{a}\\ (c+d)\cdot\vec{a}=(c+d)\cdot(x_1,y_1)=(0,(c+d)y_1)\\ c\cdot\vec{a}=c\cdot(x_1,y_1)=(0,cy_1)\\ d\cdot\vec{a}=d\cdot(x_1,y_1)=(0,dy_1)\\ c\cdot\vec{a}+d\cdot\vec{a}=(0,cy_1)+(0,dy_1)=(0,cy_1+dy_1)=\\ =(c+d)\cdot\vec{a}\\true$

$6. \forall c\in R, \forall \vec{a}=(x_1,y_1)\in V,\\ \vec{b}=(x_2,y_2)\in V\\ c\cdot(\vec{a}+\vec{b})=c\cdot\vec{a}+c\cdot\vec{b}\\ c\cdot(\vec{a}+\vec{b})=c\cdot(0,y_1+y_2)=(0,c(y_1+y_2))\\ c\cdot\vec{a}=(0,cy_1)\\ c\cdot\vec{b}=(0,cy_2)\\ c\cdot\vec{a}+c\cdot\vec{b}=(0,cy_1)+(0,cy_2)=(0,cy_1+cy_2)=\\ =c\cdot(\vec{a}+\vec{b})\\true$

$7. \forall c, k\in R, \forall \vec{a}=(x_1,y_1)\in V\\ (c\cdot d)\cdot\vec{a}=c\cdot(d\cdot\vec{a})\\ (c\cdot d)\cdot\vec{a}=(c\cdot d)\cdot(x_1,y_1)=(0,c\cdot dy_1)\\ d\cdot\vec{a}=d\cdot(x_1,y_1)=(0,dy_1)\\ c\cdot(d\cdot\vec{a})=c\cdot(0,dy_1)=(0,cdy_1)= (c\cdot d)\cdot\vec{a}\\true$

$8. \exist 1\in R, \forall\vec{a}=(x_1,y_1)\in V\\ 1\cdot\vec{a}=\vec{a}\\ 1\cdot\vec{a}=1\cdot(x_1,y_1)=(0,1\cdot y_1)=(0,y_1)\neq\vec{a}\\ false$

$V$ is not the subset a vector of R²