(a) Let A = [ 2 0 1 2 − 2 2 0 4 1 ] \begin{bmatrix}
2 & 0 &1\\
2 & -2&2\\
0&4&1
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 2 2 0 0 − 2 4 1 2 1 ⎦ ⎤
So A²
= [ 2 0 1 2 − 2 2 0 4 1 ] [ 2 0 1 2 − 2 2 0 4 1 ] \begin{bmatrix}
2 & 0 &1\\
2 & -2&2\\
0&4&1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
2 & 0 &1\\
2 & -2&2\\
0&4&1
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 2 2 0 0 − 2 4 1 2 1 ⎦ ⎤ ⎣ ⎡ 2 2 0 0 − 2 4 1 2 1 ⎦ ⎤
= [ 4 + 0 + 0 0 + 0 + 4 2 + 0 + 1 4 − 4 + 0 0 + 4 + 8 2 − 4 + 2 0 + 8 + 0 0 − 8 + 4 0 + 8 + 1 ] \begin{bmatrix}
4+0+0 & 0+0+4 &2+0+1\\
4-4+0 & 0+4+8&2-4+2\\
0+8+0&0-8+4&0+8+1
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 4 + 0 + 0 4 − 4 + 0 0 + 8 + 0 0 + 0 + 4 0 + 4 + 8 0 − 8 + 4 2 + 0 + 1 2 − 4 + 2 0 + 8 + 1 ⎦ ⎤ [ 4 4 3 0 12 0 8 − 4 9 ] \begin{bmatrix}
4 & 4 &3\\
0 & 12&0\\
8&-4&9
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 4 0 8 4 12 − 4 3 0 9 ⎦ ⎤
A³ = A²A
=[ 4 4 3 0 12 0 8 − 4 9 ] \begin{bmatrix}
4 & 4 &3\\
0 & 12&0\\
8&-4&9
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 4 0 8 4 12 − 4 3 0 9 ⎦ ⎤ [ 2 0 1 2 − 2 2 0 4 1 ] \begin{bmatrix}
2 & 0 &1\\
2 & -2&2\\
0&4&1
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 2 2 0 0 − 2 4 1 2 1 ⎦ ⎤
= [ 8 + 8 + 0 0 − 8 + 12 4 + 8 + 3 0 + 24 + 0 0 − 24 + 0 0 + 24 + 0 16 − 8 + 0 0 + 8 + 36 8 − 8 + 9 ] \begin{bmatrix}
8+8+0 & 0 -8+12&4+8+3\\
0+24+0 & 0-24+0&0+24+0\\
16-8+0&0+8+36&8-8+9
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 8 + 8 + 0 0 + 24 + 0 16 − 8 + 0 0 − 8 + 12 0 − 24 + 0 0 + 8 + 36 4 + 8 + 3 0 + 24 + 0 8 − 8 + 9 ⎦ ⎤
= [ 16 4 15 24 − 24 24 8 44 9 ] \begin{bmatrix}
16& 4&15\\
2 4& -24&24\\
8&44&9
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 16 24 8 4 − 24 44 15 24 9 ⎦ ⎤
Now A³ - A² =
[ 16 4 15 24 − 24 24 8 44 9 ] \begin{bmatrix}
16& 4&15\\
2 4& -24&24\\
8&44&9
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 16 24 8 4 − 24 44 15 24 9 ⎦ ⎤ − [ 4 4 3 0 12 0 8 − 4 9 ] -\begin{bmatrix}
4 & 4 &3\\
0 & 12&0\\
8&-4&9
\end{bmatrix} − ⎣ ⎡ 4 0 8 4 12 − 4 3 0 9 ⎦ ⎤
= [ 12 0 12 24 − 36 24 0 48 0 ] \begin{bmatrix}
12 & 0 &12\\
24 & -36&24\\
0&48&0
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 12 24 0 0 − 36 48 12 24 0 ⎦ ⎤
12A =
12 [ 2 0 1 2 − 2 2 0 4 1 ] 12\begin{bmatrix}
2 & 0 &1\\
2 & -2&2\\
0&4&1
\end{bmatrix} 12 ⎣ ⎡ 2 2 0 0 − 2 4 1 2 1 ⎦ ⎤ [ 24 0 12 24 − 24 24 0 48 12 ] \begin{bmatrix}
2 4& 0 &12\\
24 & -24&24\\
0&48&12
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 24 24 0 0 − 24 48 12 24 12 ⎦ ⎤
A³ - A² - 12A =
[ 12 0 12 24 − 36 24 0 48 0 ] \begin{bmatrix}
12 & 0 &12\\
24 & -36&24\\
0&48&0
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 12 24 0 0 − 36 48 12 24 0 ⎦ ⎤ − [ 24 0 12 24 − 24 24 0 48 12 ] -\begin{bmatrix}
2 4& 0 &12\\
24 & -24&24\\
0&48&12
\end{bmatrix} − ⎣ ⎡ 24 24 0 0 − 24 48 12 24 12 ⎦ ⎤
= [ − 12 0 0 0 − 12 0 0 0 − 12 ] \begin{bmatrix}
-12& 0 &0\\
0 & -12&0\\
0&0&-12
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ − 12 0 0 0 − 12 0 0 0 − 12 ⎦ ⎤
= − 12 [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] = − 12 I -12\begin{bmatrix}
1& 0 &0\\
0 & 1&0\\
0&0&1
\end{bmatrix}= -12I − 12 ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎦ ⎤ = − 12 I
Relation is verified.
b)
A³ - A² - 12A =-12I
Multiplying both sides by A-1
A³A-1 - A²A-1 -12AA-1 =-12IA-1
=> A²I - AI - 12I = -12A-1
=> A² - A - 12I = -12A-1
=> -12A-1 = [ 4 4 3 0 12 0 8 − 4 9 ] \begin{bmatrix}
4 & 4 &3\\
0 & 12&0\\
8&-4&9
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 4 0 8 4 12 − 4 3 0 9 ⎦ ⎤ [ 2 0 1 2 − 2 2 0 4 1 ] \begin{bmatrix}
2 & 0 &1\\
2 & -2&2\\
0&4&1
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 2 2 0 0 − 2 4 1 2 1 ⎦ ⎤ [ 12 0 0 0 12 0 0 0 12 ] \begin{bmatrix}
12 & 0 &0\\
0 & 12&0\\
0&0&12
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 12 0 0 0 12 0 0 0 12 ⎦ ⎤
= [ 4 − 2 − 12 4 − 0 − 0 3 − 1 − 0 0 − 2 − 0 12 + 2 − 12 0 − 2 − 0 8 − 0 − 0 − 4 − 4 − 0 9 − 1 − 12 ] \begin{bmatrix}
4-2-12 & 4-0-0 &3-1-0\\
0-2-0 & 12+2-12&0-2-0\\
8-0-0&-4-4-0&9-1-12
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 4 − 2 − 12 0 − 2 − 0 8 − 0 − 0 4 − 0 − 0 12 + 2 − 12 − 4 − 4 − 0 3 − 1 − 0 0 − 2 − 0 9 − 1 − 12 ⎦ ⎤ [ − 10 4 2 − 2 2 − 2 8 − 8 − 4 ] \begin{bmatrix}
-10 & 4 &2\\
-2 & 2&-2\\
8&-8&-4
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ − 10 − 2 8 4 2 − 8 2 − 2 − 4 ⎦ ⎤
A-1 = 1 6 [ 5 − 2 − 1 1 − 1 1 − 4 4 2 ] \frac{1}{6}\begin{bmatrix}
5 & -2 &-1\\
1 & -1&1\\
-4&4&2
\end{bmatrix} 6 1 ⎣ ⎡ 5 1 − 4 − 2 − 1 4 − 1 1 2 ⎦ ⎤
#340153 on Dec 2023
Comments