Solution:
(5.1):
A = [ 1 1 3 − 1 ] ∣ A ∣ = ∣ 1 1 3 − 1 ∣ = 1 ( − 1 ) − 3 ( 1 ) = − 4 . . . ( i ) A=\begin{bmatrix}1&1\\ \:\:3&-1\end{bmatrix}
\\|A|=\begin{vmatrix}1&1\\ \:\:3&-1\end{vmatrix}=1(-1)-3(1)=-4\ ...(i) A = [ 1 3 1 − 1 ] ∣ A ∣ = ∣ ∣ 1 3 1 − 1 ∣ ∣ = 1 ( − 1 ) − 3 ( 1 ) = − 4 ... ( i )
− 2 A = − 2 [ 1 1 3 − 1 ] = [ − 2 − 2 − 6 2 ] ∣ − 2 A ∣ = ∣ − 2 − 2 − 6 2 ∣ = − 2 ( 2 ) − ( − 2 ) ( − 6 ) = − 4 − 12 = − 16 -2A=-2\begin{bmatrix}1&1\\ \:\:3&-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2&-2\\ \:\:-6&2\end{bmatrix}
\\|-2A|=\begin{vmatrix}-2&-2\\ \:\:-6&2\end{vmatrix}=-2(2)-(-2)(-6)=-4-12=-16 − 2 A = − 2 [ 1 3 1 − 1 ] = [ − 2 − 6 − 2 2 ] ∣ − 2 A ∣ = ∣ ∣ − 2 − 6 − 2 2 ∣ ∣ = − 2 ( 2 ) − ( − 2 ) ( − 6 ) = − 4 − 12 = − 16
Now, ∣ − 2 A ∣ = − 16 = − 4 ( 4 ) = 4 A |-2A|=-16=-4(4)=4A ∣ − 2 A ∣ = − 16 = − 4 ( 4 ) = 4 A
(5.2):
A = [ − 2 1 3 1 4 5 2 3 1 ] ∣ A ∣ = ∣ − 2 1 3 1 4 5 2 3 1 ∣ = − 2 ⋅ det ( 4 5 3 1 ) − 1 ⋅ det ( 1 5 2 1 ) + 3 ⋅ det ( 1 4 2 3 ) A=\begin{bmatrix}-2&1&3\\ \:\:1&4&5\\ \:\:2&3&1\end{bmatrix}
\\|A|=\begin{vmatrix}-2&1&3\\ \:\:1&4&5\\ \:\:2&3&1\end{vmatrix}
\\=-2\cdot \det \begin{pmatrix}4&5\\ 3&1\end{pmatrix}-1\cdot \det \begin{pmatrix}1&5\\ 2&1\end{pmatrix}+3\cdot \det \begin{pmatrix}1&4\\ 2&3\end{pmatrix} A = ⎣ ⎡ − 2 1 2 1 4 3 3 5 1 ⎦ ⎤ ∣ A ∣ = ∣ ∣ − 2 1 2 1 4 3 3 5 1 ∣ ∣ = − 2 ⋅ det ( 4 3 5 1 ) − 1 ⋅ det ( 1 2 5 1 ) + 3 ⋅ det ( 1 2 4 3 )
= − 2 ( − 11 ) − 1 ⋅ ( − 9 ) + 3 ( − 5 ) = 16 =-2\left(-11\right)-1\cdot \left(-9\right)+3\left(-5\right)=16 = − 2 ( − 11 ) − 1 ⋅ ( − 9 ) + 3 ( − 5 ) = 16
Now, − 2 A = − 2 [ − 2 1 3 1 4 5 2 3 1 ] -2A=-2\begin{bmatrix}-2&1&3\\ \:\:1&4&5\\ \:\:2&3&1\end{bmatrix} − 2 A = − 2 ⎣ ⎡ − 2 1 2 1 4 3 3 5 1 ⎦ ⎤
= [ 4 − 2 − 6 − 2 − 8 − 10 − 4 − 6 − 2 ] =\begin{bmatrix}4&-2&-6\\ -2&-8&-10\\ -4&-6&-2\end{bmatrix} = ⎣ ⎡ 4 − 2 − 4 − 2 − 8 − 6 − 6 − 10 − 2 ⎦ ⎤
∣ − 2 A ∣ = 4 ⋅ det ( − 8 − 10 − 6 − 2 ) − ( − 2 ) det ( − 2 − 10 − 4 − 2 ) − 6 ⋅ det ( − 2 − 8 − 4 − 6 ) |-2A|=4\cdot \det \begin{pmatrix}-8&-10\\ -6&-2\end{pmatrix}-\left(-2\right)\det \begin{pmatrix}-2&-10\\ -4&-2\end{pmatrix}-6\cdot \det \begin{pmatrix}-2&-8\\ -4&-6\end{pmatrix} ∣ − 2 A ∣ = 4 ⋅ det ( − 8 − 6 − 10 − 2 ) − ( − 2 ) det ( − 2 − 4 − 10 − 2 ) − 6 ⋅ det ( − 2 − 4 − 8 − 6 )
= 4 ( − 44 ) − ( − 2 ) ( − 36 ) − 6 ( − 20 ) = − 128 = 16 ( − 8 ) = − 8 ∣ A ∣ [ using (i) ] =4\left(-44\right)-\left(-2\right)\left(-36\right)-6\left(-20\right)=-128
\\=16(-8)=-8|A| \ \ [\text{using (i)}] = 4 ( − 44 ) − ( − 2 ) ( − 36 ) − 6 ( − 20 ) = − 128 = 16 ( − 8 ) = − 8∣ A ∣ [ using (i) ]
#339914 on Dec 2023
Comments