A = [ 3 0 2 4 − 6 3 − 2 1 8 ] \begin{bmatrix}
3 & 0 & 2 \\
4 & -6 & 3\\
-2 & 1 & 8\\
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 3 4 − 2 0 − 6 1 2 3 8 ⎦ ⎤
B = [ − 5 1 1 0 3 0 7 6 2 ] \begin{bmatrix}
-5 & 1 &1 \\
0 & 3 & 0 \\
7 & 6 & 2 \\
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ − 5 0 7 1 3 6 1 0 2 ⎦ ⎤
C = [ 1 1 1 2 3 − 1 3 − 5 − 7 ] \begin{bmatrix}
1 & 1 &1\\
2 &3&-1\\
3&-5&-7
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 2 3 1 3 − 5 1 − 1 − 7 ⎦ ⎤
(i) A+(B+C) =(A+B) +C and A(BC) =(AB) C
a) A+(B+C) =(A+B) +C
LHS:
= A+(B+C)
=[ 3 0 2 4 − 6 3 − 2 1 8 ] \begin{bmatrix}
3 & 0 & 2 \\
4 & -6 & 3\\
-2 & 1 & 8\\
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 3 4 − 2 0 − 6 1 2 3 8 ⎦ ⎤ [ − 4 2 2 2 6 − 1 10 1 − 5 ] \begin{bmatrix}
-4 & 2 &2 \\
2 & 6 & -1 \\
10 & 1 & -5 \\
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ − 4 2 10 2 6 1 2 − 1 − 5 ⎦ ⎤
= [ − 1 2 4 6 0 2 8 2 3 ] \begin{bmatrix}
-1 & 2 &4\\
6 & 0 &2\\
8&2&3
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ − 1 6 8 2 0 2 4 2 3 ⎦ ⎤
RHS:
(A+B) +C
= [ − 2 1 3 4 − 3 3 5 7 10 ] \begin{bmatrix}
-2&1&3\\
4&-3&3\\
5&7&10
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ − 2 4 5 1 − 3 7 3 3 10 ⎦ ⎤ [ 1 1 1 2 3 − 1 3 − 5 − 7 ] \begin{bmatrix}
1 & 1 &1\\
2 &3&-1\\
3&-5&-7
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 2 3 1 3 − 5 1 − 1 − 7 ⎦ ⎤
= [ − 1 2 4 6 0 2 8 2 3 ] \begin{bmatrix}
-1 & 2 &4\\
6 & 0 &2\\
8&2&3
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ − 1 6 8 2 0 2 4 2 3 ⎦ ⎤
LHS = RHS
b) A(BC) =(AB) C
LHS:
= [ 3 0 2 4 − 6 3 − 2 1 8 ] \begin{bmatrix}
3 & 0 & 2 \\
4 & -6 & 3\\
-2 & 1 & 8\\
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 3 4 − 2 0 − 6 1 2 3 8 ⎦ ⎤ [ 0 − 7 − 13 6 9 − 3 25 15 − 13 ] \begin{bmatrix}
0&-7&-13\\
6&9&-3\\
25&15&-13\\
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 0 6 25 − 7 9 15 − 13 − 3 − 13 ⎦ ⎤
= [ 50 9 − 65 39 − 37 − 73 206 143 − 81 ] \begin{bmatrix}
50&9&-65\\
39&-37&-73\\
206&143&-81\\
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 50 39 206 9 − 37 143 − 65 − 73 − 81 ⎦ ⎤
RHS:
= [ − 1 15 7 1 4 10 66 49 14 ] \begin{bmatrix}
-1 & 15&7 \\
1 & 4&10\\
66&49&14\\
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ − 1 1 66 15 4 49 7 10 14 ⎦ ⎤ [ 1 1 1 2 3 − 1 3 − 5 − 7 ] \begin{bmatrix}
1 & 1 &1\\
2 &3&-1\\
3&-5&-7
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 2 3 1 3 − 5 1 − 1 − 7 ⎦ ⎤
= [ 50 9 − 65 39 − 37 − 73 206 143 − 81 ] \begin{bmatrix}
50&9&-65\\
39&-37&-73\\
206&143&-81\\
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 50 39 206 9 − 37 143 − 65 − 73 − 81 ⎦ ⎤
LHS = RHS
(ii) (a-b) C=aC - bC and a(B - C) =aB - aC
a) (a-b) C=aC - bC
LHS:
= (a - b) * [ 1 1 1 2 3 − 1 3 − 5 − 7 ] \begin{bmatrix}
1 & 1 &1\\
2 &3&-1\\
3&-5&-7
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 2 3 1 3 − 5 1 − 1 − 7 ⎦ ⎤
= [ a − b a − b a − b 2 ( a − b ) 3 ( a − b ) − 1 ( a − b ) 3 ( a − b ) − 5 ( a − b ) − 7 ( a − b ) ] \begin{bmatrix}
a-b & a-b &a-b\\
2(a - b) &3(a - b)&-1(a - b)\\
3(a - b)&-5(a - b)&-7(a - b)\\
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ a − b 2 ( a − b ) 3 ( a − b ) a − b 3 ( a − b ) − 5 ( a − b ) a − b − 1 ( a − b ) − 7 ( a − b ) ⎦ ⎤
RHS:
= a * [ 1 1 1 2 3 − 1 3 − 5 − 7 ] \begin{bmatrix}
1 & 1 &1\\
2 &3&-1\\
3&-5&-7
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 2 3 1 3 − 5 1 − 1 − 7 ⎦ ⎤ [ 1 1 1 2 3 − 1 3 − 5 − 7 ] \begin{bmatrix}
1 & 1 &1\\
2 &3&-1\\
3&-5&-7
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 2 3 1 3 − 5 1 − 1 − 7 ⎦ ⎤
= [ a a a 2 a 3 a − a 3 a − 5 a − 7 a ] \begin{bmatrix}
a & a &a\\
2a &3a&-a\\
3a&-5a&-7a
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ a 2 a 3 a a 3 a − 5 a a − a − 7 a ⎦ ⎤ [ b b b 2 b 3 b − b 3 b − 5 b − 7 b ] \begin{bmatrix}
b & b &b\\
2b &3b&-b\\
3b&-5b&-7b
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ b 2 b 3 b b 3 b − 5 b b − b − 7 b ⎦ ⎤
= [ a − b a − b a − b 2 ( a − b ) 3 ( a − b ) − 1 ( a − b ) 3 ( a − b ) − 5 ( a − b ) − 7 ( a − b ) ] \begin{bmatrix}
a-b & a-b &a-b\\
2(a - b) &3(a - b)&-1(a - b)\\
3(a - b)&-5(a - b)&-7(a - b)\\
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ a − b 2 ( a − b ) 3 ( a − b ) a − b 3 ( a − b ) − 5 ( a − b ) a − b − 1 ( a − b ) − 7 ( a − b ) ⎦ ⎤
LHS = RHS
b) a(B - C) =aB - aC
LHS:
= a * [ − 6 0 0 − 2 0 1 4 11 9 ] \begin{bmatrix}
-6&0&0\\
-2&0&1\\
4&11&9
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ − 6 − 2 4 0 0 11 0 1 9 ⎦ ⎤
= [ − 6 a 0 0 − 2 a 0 a 4 a 11 a 9 a ] \begin{bmatrix}
-6a&0&0\\
-2a&0&a\\
4a&11a&9a
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ − 6 a − 2 a 4 a 0 0 11 a 0 a 9 a ⎦ ⎤
RHS:
= aB - aC
= a * [ − 5 1 1 0 3 0 7 6 2 ] \begin{bmatrix}
-5 & 1 &1 \\
0 & 3 & 0 \\
7 & 6 & 2 \\
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ − 5 0 7 1 3 6 1 0 2 ⎦ ⎤ [ 1 1 1 2 3 − 1 3 − 5 − 7 ] \begin{bmatrix}
1 & 1 &1\\
2 &3&-1\\
3&-5&-7
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 2 3 1 3 − 5 1 − 1 − 7 ⎦ ⎤
= [ − 6 a 0 0 − 2 a 0 a 4 a 11 a 9 a ] \begin{bmatrix}
-6a&0&0\\
-2a&0&a\\
4a&11a&9a
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ − 6 a − 2 a 4 a 0 0 11 a 0 a 9 a ⎦ ⎤
LHS = RHS
(iii) (A^T) ^T=A and (A - B) ^T=A^T - B^T
a) (A^T) ^T=A
LHS:
= ( AT ) T
= ( [ 3 4 − 2 4 − 6 1 − 2 1 8 ] ) T (\begin{bmatrix}
3 & 4 & -2 \\
4 & -6 & 1\\
-2 & 1 & 8\\
\end{bmatrix} )^T ( ⎣ ⎡ 3 4 − 2 4 − 6 1 − 2 1 8 ⎦ ⎤ ) T
= [ 3 4 − 2 4 − 6 1 − 2 1 8 ] \begin{bmatrix}
3 & 4 & -2 \\
4 & -6 & 1\\
-2 & 1 & 8\\
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 3 4 − 2 4 − 6 1 − 2 1 8 ⎦ ⎤
LHS = RHS
(b) (A - B) ^T=A^T - B^T
LHS:
= ( [ 8 − 1 1 4 − 9 3 − 9 − 5 6 ] ) T (\begin{bmatrix}
8 & -1 & 1 \\
4 & -9 & 3\\
-9 & -5 & 6\\
\end{bmatrix} )^T ( ⎣ ⎡ 8 4 − 9 − 1 − 9 − 5 1 3 6 ⎦ ⎤ ) T
= [ 8 4 − 9 − 1 − 9 − 5 1 3 6 ] \begin{bmatrix}
8 & 4 & -9 \\
-1 & -9 & -5\\
1 & 3 & 6\\
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 8 − 1 1 4 − 9 3 − 9 − 5 6 ⎦ ⎤
RHS:
= A^T - B^T
= ( [ 3 0 2 4 − 6 3 − 2 1 8 ] ) T (\begin{bmatrix}
3 & 0 & 2 \\
4 & -6 & 3\\
-2 & 1 & 8\\
\end{bmatrix} ) ^T ( ⎣ ⎡ 3 4 − 2 0 − 6 1 2 3 8 ⎦ ⎤ ) T ( [ − 5 1 1 0 3 0 7 6 2 ] ) T (\begin{bmatrix}
-5 & 1 &1 \\
0 & 3 & 0 \\
7 & 6 & 2 \\
\end{bmatrix})^T ( ⎣ ⎡ − 5 0 7 1 3 6 1 0 2 ⎦ ⎤ ) T
= [ 8 4 − 9 − 1 − 9 − 5 1 3 6 ] \begin{bmatrix}
8 & 4 & -9 \\
-1 & -9 & -5\\
1 & 3 & 6\\
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 8 − 1 1 4 − 9 3 − 9 − 5 6 ⎦ ⎤
LHS = RHS
#339914 on Dec 2023
Comments