Solution:
Given: [ 1 2 − 2 − 2 − 3 1 3 − 2 0 − 4 3 8 − 7 − 2 − 11 2 1 − 9 − 10 − 3 ] \begin{bmatrix}1&2&-2&-2&-3\\ 1&3&-2&0&-4\\ 3&8&-7&-2&-11\\ 2&1&-9&-10&-3\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 1 3 2 2 3 8 1 − 2 − 2 − 7 − 9 − 2 0 − 2 − 10 − 3 − 4 − 11 − 3 ⎦ ⎤
R 1 ↔ R 3 R_1\:\leftrightarrow \:R_3 R 1 ↔ R 3
= [ 3 8 − 7 − 2 − 11 1 3 − 2 0 − 4 1 2 − 2 − 2 − 3 2 1 − 9 − 10 − 3 ] =\begin{bmatrix}3&8&-7&-2&-11\\ 1&3&-2&0&-4\\ 1&2&-2&-2&-3\\ 2&1&-9&-10&-3\end{bmatrix} = ⎣ ⎡ 3 1 1 2 8 3 2 1 − 7 − 2 − 2 − 9 − 2 0 − 2 − 10 − 11 − 4 − 3 − 3 ⎦ ⎤
R 2 → R 2 − 1 3 ⋅ R 1 R_2\:\rightarrow \:R_2-\frac{1}{3}\cdot \:R_1 R 2 → R 2 − 3 1 ⋅ R 1
= [ 3 8 − 7 − 2 − 11 0 1 3 1 3 2 3 − 1 3 1 2 − 2 − 2 − 3 2 1 − 9 − 10 − 3 ] =\begin{bmatrix}3&8&-7&-2&-11\\ 0&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}&\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\ 1&2&-2&-2&-3\\ 2&1&-9&-10&-3\end{bmatrix} = ⎣ ⎡ 3 0 1 2 8 3 1 2 1 − 7 3 1 − 2 − 9 − 2 3 2 − 2 − 10 − 11 − 3 1 − 3 − 3 ⎦ ⎤
R 3 → R 3 − 1 3 ⋅ R 1 R_3\:\rightarrow \:R_3-\frac{1}{3}\cdot \:R_1 R 3 → R 3 − 3 1 ⋅ R 1
= [ 3 8 − 7 − 2 − 11 0 1 3 1 3 2 3 − 1 3 0 − 2 3 1 3 − 4 3 2 3 2 1 − 9 − 10 − 3 ] =\begin{bmatrix}3&8&-7&-2&-11\\ 0&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}&\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\ 0&-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}&-\frac{4}{3}&\frac{2}{3}\\ 2&1&-9&-10&-3\end{bmatrix} = ⎣ ⎡ 3 0 0 2 8 3 1 − 3 2 1 − 7 3 1 3 1 − 9 − 2 3 2 − 3 4 − 10 − 11 − 3 1 3 2 − 3 ⎦ ⎤
R 4 → R 4 − 2 3 ⋅ R 1 R_4\:\rightarrow \:R_4-\frac{2}{3}\cdot \:R_1 R 4 → R 4 − 3 2 ⋅ R 1
= [ 3 8 − 7 − 2 − 11 0 1 3 1 3 2 3 − 1 3 0 − 2 3 1 3 − 4 3 2 3 0 − 13 3 − 13 3 − 26 3 13 3 ] =\begin{bmatrix}3&8&-7&-2&-11\\ 0&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}&\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\ 0&-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}&-\frac{4}{3}&\frac{2}{3}\\ 0&-\frac{13}{3}&-\frac{13}{3}&-\frac{26}{3}&\frac{13}{3}\end{bmatrix} = ⎣ ⎡ 3 0 0 0 8 3 1 − 3 2 − 3 13 − 7 3 1 3 1 − 3 13 − 2 3 2 − 3 4 − 3 26 − 11 − 3 1 3 2 3 13 ⎦ ⎤
R 2 ↔ R 4 R_2\:\leftrightarrow \:R_4 R 2 ↔ R 4
= [ 3 8 − 7 − 2 − 11 0 − 13 3 − 13 3 − 26 3 13 3 0 − 2 3 1 3 − 4 3 2 3 0 1 3 1 3 2 3 − 1 3 ] =\begin{bmatrix}3&8&-7&-2&-11\\ 0&-\frac{13}{3}&-\frac{13}{3}&-\frac{26}{3}&\frac{13}{3}\\ 0&-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}&-\frac{4}{3}&\frac{2}{3}\\ 0&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}&\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{bmatrix} = ⎣ ⎡ 3 0 0 0 8 − 3 13 − 3 2 3 1 − 7 − 3 13 3 1 3 1 − 2 − 3 26 − 3 4 3 2 − 11 3 13 3 2 − 3 1 ⎦ ⎤
R 3 → R 3 − 2 13 ⋅ R 2 = [ 3 8 − 7 − 2 − 11 0 − 13 3 − 13 3 − 26 3 13 3 0 0 1 0 0 0 1 3 1 3 2 3 − 1 3 ] R_3\:\rightarrow \:R_3-\frac{2}{13}\cdot \:R_2
\\ =\begin{bmatrix}3&8&-7&-2&-11\\ 0&-\frac{13}{3}&-\frac{13}{3}&-\frac{26}{3}&\frac{13}{3}\\ 0&0&1&0&0\\ 0&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}&\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{bmatrix} R 3 → R 3 − 13 2 ⋅ R 2 = ⎣ ⎡ 3 0 0 0 8 − 3 13 0 3 1 − 7 − 3 13 1 3 1 − 2 − 3 26 0 3 2 − 11 3 13 0 − 3 1 ⎦ ⎤
R 4 → R 4 + 1 13 ⋅ R 2 = [ 3 8 − 7 − 2 − 11 0 − 13 3 − 13 3 − 26 3 13 3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ] R_4\:\rightarrow \:R_4+\frac{1}{13}\cdot \:R_2
\\ =\begin{bmatrix}3&8&-7&-2&-11\\ 0&-\frac{13}{3}&-\frac{13}{3}&-\frac{26}{3}&\frac{13}{3}\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&0&0\end{bmatrix} R 4 → R 4 + 13 1 ⋅ R 2 = ⎣ ⎡ 3 0 0 0 8 − 3 13 0 0 − 7 − 3 13 1 0 − 2 − 3 26 0 0 − 11 3 13 0 0 ⎦ ⎤
This is required reduce matrix to row echelon form.
#339914 on Dec 2023
Comments