Given problem is incomplete.
Assume, we need to solve: (4x -6y-1) dx + (3x –2y-2) dy = 0
Let us solve the differential equation ( 4 x − 6 y − 1 ) d x + ( 3 x − 2 y − 2 ) d y = 0. (4x -6y-1) dx + (3x -2y-2) dy = 0. ( 4 x − 6 y − 1 ) d x + ( 3 x − 2 y − 2 ) d y = 0.
Let us use the transformation x = u + 1 , y = v + 1 2 . x=u+1,\ y=v+\frac{1}{2}. x = u + 1 , y = v + 2 1 .
( 4 u − 6 v ) d u + ( 3 u − 2 v ) d v = 0. (4u -6v) du + (3u -2v) dv = 0. ( 4 u − 6 v ) d u + ( 3 u − 2 v ) d v = 0.
Let u = t v , u=tv, u = t v , t = u v = x − 1 y − 1 2 = 2 x − 2 2 y − 1 . t=\frac{u}{v}=\frac{x-1}{y-\frac{1}2}=\frac{2x-2}{2y-1}. t = v u = y − 2 1 x − 1 = 2 y − 1 2 x − 2 .
It follows that d u = t d v + v d t , du=tdv+vdt, d u = t d v + v d t ,
( 4 t v − 6 v ) ( t d v + v d t ) + ( 3 t v – 2 v ) d v = 0. (4tv -6v) (tdv+vdt) + (3tv –2v) dv = 0. ( 4 t v − 6 v ) ( t d v + v d t ) + ( 3 t v –2 v ) d v = 0.
Then after dividing by v v v
( 4 t − 6 ) ( t d v + v d t ) + ( 3 t – 2 ) d v = 0 (4t -6) (tdv+vdt) + (3t –2) dv = 0 ( 4 t − 6 ) ( t d v + v d t ) + ( 3 t –2 ) d v = 0 ( 4 t − 6 ) v d t + ( 4 t 2 − 3 t − 2 ) d v = 0. (4t -6) vdt + (4t^2-3t -2) dv = 0. ( 4 t − 6 ) v d t + ( 4 t 2 − 3 t − 2 ) d v = 0.
it follows that
d v v = − ( 4 t − 6 ) d t 4 t 2 − 3 t − 2 = − 1 2 ( 8 t − 12 ) d t 4 t 2 − 3 t − 2 = − 1 2 ( 8 t − 3 ) d t 4 t 2 − 3 t − 2 + 9 2 d t 4 ( t 2 − 3 4 t − 1 2 ) = − 1 2 d ( 4 t 2 − 3 t − 2 ) 4 t 2 − 3 t − 2 + 9 8 d t ( t − 3 8 ) 2 − 41 64 . \frac{dv}{v}=-\frac{(4t -6)dt}{4t^2-3t -2} =-\frac{1}2\frac{(8t - 12)dt}{4t^2-3t -2}
=-\frac{1}2\frac{(8t - 3)dt}{4t^2-3t -2} +\frac{9}2\frac{dt}{4(t^2-\frac{3}4t -\frac{1}2)}
=-\frac{1}2\frac{d(4t^2-3t -2)}{4t^2-3t -2} +\frac{9}8\frac{dt}{(t-\frac{3}8)^2 -\frac{41}{64}}. v d v = − 4 t 2 − 3 t − 2 ( 4 t − 6 ) d t = − 2 1 4 t 2 − 3 t − 2 ( 8 t − 12 ) d t = − 2 1 4 t 2 − 3 t − 2 ( 8 t − 3 ) d t + 2 9 4 ( t 2 − 4 3 t − 2 1 ) d t = − 2 1 4 t 2 − 3 t − 2 d ( 4 t 2 − 3 t − 2 ) + 8 9 ( t − 8 3 ) 2 − 64 41 d t .
Therefore,
∫ d v v = − 1 2 ∫ d ( 4 t 2 − 3 t − 2 ) 4 t 2 − 3 t − 2 + 9 8 ∫ d t ( t − 3 8 ) 2 − 41 64 \int\frac{dv}{v}=-\frac{1}2\int\frac{d(4t^2-3t -2)}{4t^2-3t -2} +\frac{9}8\int\frac{dt}{(t-\frac{3}8)^2 -\frac{41}{64}} ∫ v d v = − 2 1 ∫ 4 t 2 − 3 t − 2 d ( 4 t 2 − 3 t − 2 ) + 8 9 ∫ ( t − 8 3 ) 2 − 64 41 d t
We conclude that
ln ∣ v ∣ = − 1 2 ln ∣ 4 t 2 − 3 t − 2 ∣ + 9 8 1 2 41 8 ln ∣ t − 3 8 − 41 8 t − 3 8 + 41 8 ∣ + C , \ln|v|=-\frac{1}2\ln|4t^2-3t-2|+\frac{9}8\frac{1}{2\frac{\sqrt{41}}{8}}\ln|\frac{t-\frac{3}8-\frac{\sqrt{41}}{8}}{t-\frac{3}8+\frac{\sqrt{41}}{8}}|+C, ln ∣ v ∣ = − 2 1 ln ∣4 t 2 − 3 t − 2∣ + 8 9 2 8 41 1 ln ∣ t − 8 3 + 8 41 t − 8 3 − 8 41 ∣ + C ,
and hence the general solution is
ln ∣ y − 1 2 ∣ = − 1 2 ln ∣ 4 ( 2 x − 2 2 y − 1 ) 2 − 3 ( 2 x − 2 2 y − 1 ) − 2 ∣ + 9 2 41 ln ∣ 2 x − 2 2 y − 1 − 3 8 − 41 8 2 x − 2 2 y − 1 − 3 8 + 41 8 ∣ + C . \ln|y-\frac{1}2|=-\frac{1}2\ln|4(\frac{2x-2}{2y-1})^2-3(\frac{2x-2}{2y-1})-2|+\frac{9}{2\sqrt{41}}\ln|\frac{\frac{2x-2}{2y-1}-\frac{3}8-\frac{\sqrt{41}}{8}}{\frac{2x-2}{2y-1}-\frac{3}8+\frac{\sqrt{41}}{8}}|+C. ln ∣ y − 2 1 ∣ = − 2 1 ln ∣4 ( 2 y − 1 2 x − 2 ) 2 − 3 ( 2 y − 1 2 x − 2 ) − 2∣ + 2 41 9 ln ∣ 2 y − 1 2 x − 2 − 8 3 + 8 41 2 y − 1 2 x − 2 − 8 3 − 8 41 ∣ + C .
#339914 on Dec 2023