4 x y z = p q + 2 p x 2 y + 2 q x y 2 f ( x , y , z , p , q ) = p q + 2 p x 2 y + 2 q x y 2 − 4 x y z = 0... ( ∗ ) f x = 4 p x y + 2 q y 2 − 4 y z f y = 2 p x 2 + 4 q x y − 4 x z f z = − 4 x y f p = q + 2 x 2 y f q = p + 2 x y 2 4xyz = pq + 2px^2y + 2qxy^2\\
f(x,y,z,p,q) = pq + 2px^2y + 2qxy^2 - 4xyz = 0 ... (*)\\ f_x = 4pxy+2qy^2 - 4yz \\ f_y = 2px^2 + 4 qxy - 4xz\\ f_z = -4xy \\ f_p = q+2x^2y\\ f_q =p+2xy^2 4 x yz = pq + 2 p x 2 y + 2 q x y 2 f ( x , y , z , p , q ) = pq + 2 p x 2 y + 2 q x y 2 − 4 x yz = 0... ( ∗ ) f x = 4 p x y + 2 q y 2 − 4 yz f y = 2 p x 2 + 4 q x y − 4 x z f z = − 4 x y f p = q + 2 x 2 y f q = p + 2 x y 2
By charpit method,
d x − q − 2 x 2 y = d y − p − 2 x y 2 = d z − 2 p q − 2 p x 2 y − 2 q x y 2 = d p 2 q y 2 − 4 y z = d q 2 p x 2 − 4 x z \dfrac{dx}{-q-2x^2y} = \dfrac{dy}{-p-2xy^2} = \dfrac{dz}{-2pq-2px^2y - 2qxy^2} = \dfrac{dp}{2qy^2-4yz} = \dfrac{dq}{2px^2-4xz} − q − 2 x 2 y d x = − p − 2 x y 2 d y = − 2 pq − 2 p x 2 y − 2 q x y 2 d z = 2 q y 2 − 4 yz d p = 2 p x 2 − 4 x z d q
x d y − y d x q y − p x = x d p − y d q 2 x y ( q y − p x ) x d p − y d q = 0 x p = y q p = y x q \dfrac{xdy-ydx}{qy-px} = \dfrac{xdp-ydq}{2xy(qy-px)} \\ xdp -ydq = 0\\ xp = yq \\ p = \frac{y}{x}q q y − p x x d y − y d x = 2 x y ( q y − p x ) x d p − y d q x d p − y d q = 0 x p = y q p = x y q
Substituting into (*), we have
y q 2 + 4 x 2 y 2 q − 4 x 2 y z = 0 q = − 2 x 2 y ± 2 x x 2 y 2 + z yq^2 +4x^2y^2q-4x^2yz = 0 \\
q = -2x^2y \pm 2x \sqrt{x^2y^2+z} \\ y q 2 + 4 x 2 y 2 q − 4 x 2 yz = 0 q = − 2 x 2 y ± 2 x x 2 y 2 + z
Taking positive sign only
q = − 2 x 2 y + 2 x x 2 y 2 + z ∴ p = − 2 x y 2 + 2 y x 2 y 2 + z q = -2x^2y + 2x \sqrt{x^2y^2 +z} \\ \therefore p = -2xy^2 + 2y \sqrt{x^2y^2+z} q = − 2 x 2 y + 2 x x 2 y 2 + z ∴ p = − 2 x y 2 + 2 y x 2 y 2 + z
Substituting the value of p and q into pdx+qdy = dz and also integrating gives
( − 2 x y 2 + 2 y x 2 y 2 + z ) d x + ( − 2 x 2 y + 2 x x 2 y 2 + z ) d y = d z (-2xy^2 + 2y \sqrt{x^2y^2+z} )dx + ( -2x^2y+ 2x \sqrt{x^2y^2+z} )dy = dz ( − 2 x y 2 + 2 y x 2 y 2 + z ) d x + ( − 2 x 2 y + 2 x x 2 y 2 + z ) d y = d z
Integrating term by term, we have
z = − x 2 y 2 + x y x 2 y 2 + z + z l n ∣ y ( x 2 y 2 + z + x y ) ∣ + a − x 2 y 2 + x y x 2 y 2 + z + z l n ∣ x ( x 2 y 2 + z + x y ) ∣ + b z = -x^2y^2 +xy\sqrt{x^2y^2 +z} + z ln|y(\sqrt{x^2y^2 +z}+xy)|+ a -x^2y^2 +xy\sqrt{x^2y^2 +z} + z ln|x(\sqrt{x^2y^2 +z}+xy)| + b z = − x 2 y 2 + x y x 2 y 2 + z + z l n ∣ y ( x 2 y 2 + z + x y ) ∣ + a − x 2 y 2 + x y x 2 y 2 + z + z l n ∣ x ( x 2 y 2 + z + x y ) ∣ + b
i.e
z = − 2 x 2 y 2 + 2 x y x 2 y 2 + z + z [ l n ∣ x ( x 2 y 2 + z + x y ) ∣ + l n ∣ y ( x 2 y 2 + z + x y ) ∣ ] + a + b z = -2x^2y^2 +2xy\sqrt{x^2y^2+ z} + z [ln|x(\sqrt{x^2y^2+ z} + xy)| + ln|y(\sqrt{x^2y^2+ z} + xy)|] + a + b z = − 2 x 2 y 2 + 2 x y x 2 y 2 + z + z [ l n ∣ x ( x 2 y 2 + z + x y ) ∣ + l n ∣ y ( x 2 y 2 + z + x y ) ∣ ] + a + b
#339914 on Dec 2023
Comments