( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 = > ( 2 − 3 i ) 3 = 8 − 36 i − 54 + 27 i = − 46 − 9 i ( 2 − 3 i ) 2 = 4 − 12 i − 9 = − 5 − 12 i (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=>(2-3i)^3=8-36i-54+27i=-46-9i\newline
(2-3i)^2=4-12i-9=-5-12i ( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 => ( 2 − 3 i ) 3 = 8 − 36 i − 54 + 27 i = − 46 − 9 i ( 2 − 3 i ) 2 = 4 − 12 i − 9 = − 5 − 12 i
So we have:
− 46 − 9 i + p ( − 5 − 12 i ) + q ( 2 − 3 i ) + 13 = 0 ( 2 q − 5 p ) + ( − 12 p − 3 q ) i = 33 − 9 i = > { 2 q − 5 p = 33 12 p + 3 q = − 9 { 2 q − 5 p = 33 q = − 3 − 4 p { − 6 − 8 p − 5 p = 33 q = − 3 − 4 p { p = − 3 q = 9 -46-9i+p(-5-12i)+q(2-3i)+13=0\newline
(2q-5p)+(-12p-3q)i=33-9i=>\newline
\begin{cases}
2q-5p=33\\
12p+3q=-9
\end{cases}\newline
\begin{cases}
2q-5p=33\\
q=-3-4p
\end{cases}\newline
\begin{cases}
-6-8p-5p=33\\
q=-3-4p
\end{cases}\newline
\begin{cases}
p=-3\\
q=9\\
\end{cases}\newline − 46 − 9 i + p ( − 5 − 12 i ) + q ( 2 − 3 i ) + 13 = 0 ( 2 q − 5 p ) + ( − 12 p − 3 q ) i = 33 − 9 i => { 2 q − 5 p = 33 12 p + 3 q = − 9 { 2 q − 5 p = 33 q = − 3 − 4 p { − 6 − 8 p − 5 p = 33 q = − 3 − 4 p { p = − 3 q = 9
It means that:
z 3 − 3 z 2 + 9 z + 13 = 0 z^3-3z^2+9z+13=0 z 3 − 3 z 2 + 9 z + 13 = 0
z 3 − 3 z 2 + 9 z + 13 z − 2 + 3 i = z 2 + ( − 1 − 3 i ) z + ( − 2 − 3 i ) \dfrac{z^3-3z^2+9z+13}{z-2+3i}=z^2+(-1-3i)z+(-2-3i) z − 2 + 3 i z 3 − 3 z 2 + 9 z + 13 = z 2 + ( − 1 − 3 i ) z + ( − 2 − 3 i )
z 2 + ( − 1 − 3 i ) z + ( − 2 − 3 i ) = 0 D = ( − 1 − 3 i ) 2 − 4 ( − 2 − 3 i ) = 1 + 6 i − 9 + 8 + 12 i = 18 i D = 3 2 i i f i = 1 2 + 1 2 i , t h e n D = 3 + 3 i i f i = − 1 2 − 1 2 i , t h e n D = − 3 − 3 i D = 3 + 3 i z 2 = 1 + 3 i + 3 + 3 i − 2 − 3 i = − 2 z 3 = 1 + 3 i − 3 − 3 i − 2 − 3 i = 2 2 + 3 i D = − 3 − 3 i z 2 = 1 + 3 i − 3 − 3 i − 2 − 3 i = 2 2 + 3 i z 3 = 1 + 3 i + 3 + 3 i − 2 − 3 i = − 2 z^2+(-1-3i)z+(-2-3i)=0\newline
D=(-1-3i)^2-4(-2-3i)=1+6i-9+8+12i=18i\newline
\sqrt{D}=3\sqrt{2i}\newline
if \sqrt{i}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}i, thenD=3+3i\newline
if \sqrt{i}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}i, thenD=-3-3i\newline
D=3+3i\newline
z_2=\dfrac{1+3i+3+3i}{-2-3i}=-2\newline
z_3=\dfrac{1+3i-3-3i}{-2-3i}=\dfrac{2}{2+3i}\newline
D=-3-3i\newline
z_2=\dfrac{1+3i-3-3i}{-2-3i}=\dfrac{2}{2+3i}\newline
z_3=\dfrac{1+3i+3+3i}{-2-3i}=-2\newline z 2 + ( − 1 − 3 i ) z + ( − 2 − 3 i ) = 0 D = ( − 1 − 3 i ) 2 − 4 ( − 2 − 3 i ) = 1 + 6 i − 9 + 8 + 12 i = 18 i D = 3 2 i i f i = 2 1 + 2 1 i , t h e n D = 3 + 3 i i f i = − 2 1 − 2 1 i , t h e n D = − 3 − 3 i D = 3 + 3 i z 2 = − 2 − 3 i 1 + 3 i + 3 + 3 i = − 2 z 3 = − 2 − 3 i 1 + 3 i − 3 − 3 i = 2 + 3 i 2 D = − 3 − 3 i z 2 = − 2 − 3 i 1 + 3 i − 3 − 3 i = 2 + 3 i 2 z 3 = − 2 − 3 i 1 + 3 i + 3 + 3 i = − 2
#340153 on Dec 2023
Comments