u = x 2 + y 2 + z 2 , v = x + y + z , w = x y + y z + z x u=x² + y² +z²,v=x+y+z,w=xy+yz+zx u = x 2 + y 2 + z 2 , v = x + y + z , w = x y + yz + z x
Jacobian = ∣ ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ u ∂ z ∂ v ∂ x ∂ v ∂ y ∂ v ∂ z ∂ w ∂ x ∂ w ∂ y ∂ w ∂ z ∣ =\begin{vmatrix}\dfrac{\partial u}{\partial x}&\dfrac{\partial u}{\partial y}&\dfrac{\partial u}{\partial z}
\\\dfrac{\partial v}{\partial x}&\dfrac{\partial v}{\partial y}&\dfrac{\partial v}{\partial z}
\\\dfrac{\partial w}{\partial x}&\dfrac{\partial w}{\partial y}&\dfrac{\partial w}{\partial z} \end{vmatrix} = ∣ ∣ ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ x ∂ w ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v ∂ y ∂ w ∂ z ∂ u ∂ z ∂ v ∂ z ∂ w ∣ ∣
= ∣ 2 x 2 y 2 z 1 1 1 y + z x + z x + y ∣ = − 2 ∣ 1 1 1 x y z y + z x + z x + y ∣ = − 2 [ y ( x + y ) − z ( x + z ) − x ( x + y ) + z ( y + z ) + x ( x + z ) − y ( y + z ) ] = − 2 [ x y + y 2 − x z − z 2 − x 2 − x y + y z + z 2 + x 2 + x z − y 2 − y z ] = − 2 ( 0 ) = 0 =\begin{vmatrix}2x&2y&2z
\\1&1&1
\\y+z&x+z&x+y\end{vmatrix}
\\=-2\begin{vmatrix}1&1&1
\\x&y&z
\\y+z&x+z&x+y\end{vmatrix}
\\=-2[y(x+y)-z(x+z)-x(x+y)+z(y+z)+x(x+z)-y(y+z)]
\\=-2[xy+y^2-xz-z^2-x^2-xy+yz+z^2+x^2+xz-y^2-yz]
\\=-2(0)
\\=0 = ∣ ∣ 2 x 1 y + z 2 y 1 x + z 2 z 1 x + y ∣ ∣ = − 2 ∣ ∣ 1 x y + z 1 y x + z 1 z x + y ∣ ∣ = − 2 [ y ( x + y ) − z ( x + z ) − x ( x + y ) + z ( y + z ) + x ( x + z ) − y ( y + z )] = − 2 [ x y + y 2 − x z − z 2 − x 2 − x y + yz + z 2 + x 2 + x z − y 2 − yz ] = − 2 ( 0 ) = 0
Comments