In the question normal stresses along x-axis,y-axis and shear stress are given
we have to find the principal stresses and its direction (stresse are in N/mm2 )
we know that formula for principal stress as
σ 1 = σ x + σ y 2 + ( σ x − σ y 2 ) 2 + ( τ x y ) 2 \sigma_1=\frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \sqrt{(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2})^2 +(\tau_{xy})^2} σ 1 = 2 σ x + σ y + ( 2 σ x − σ y ) 2 + ( τ x y ) 2
σ 2 = σ x + σ y 2 − ( σ x − σ y 2 ) 2 + ( τ x y ) 2 \sigma_2=\frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} - \sqrt{(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2})^2 +(\tau_{xy})^2} σ 2 = 2 σ x + σ y − ( 2 σ x − σ y ) 2 + ( τ x y ) 2
t a n 2 θ = ( − ( σ x − σ y ) / 2 τ x y ) tan 2\theta= (\frac{-(\sigma_x-\sigma_y)/2}{\tau_{xy}}) t an 2 θ = ( τ x y − ( σ x − σ y ) /2 )
(i) σ x = 54 , σ y = 30 , τ x y = 5 \sigma_x=54 ,\sigma_y=30, \tau_{xy}=5 σ x = 54 , σ y = 30 , τ x y = 5
on putting value we get
σ 1 = σ x + σ y 2 + ( σ x − σ y 2 ) 2 + ( τ x y ) 2 \sigma_1=\frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \sqrt{(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2})^2 +(\tau_{xy})^2} σ 1 = 2 σ x + σ y + ( 2 σ x − σ y ) 2 + ( τ x y ) 2
σ 1 = 54 + 30 2 + ( 54 − 30 2 ) 2 + ( 5 ) 2 \sigma_1=\frac{54+ 30}{2} + \sqrt{(\frac{54-30}{2})^2 +(5)^2} σ 1 = 2 54 + 30 + ( 2 54 − 30 ) 2 + ( 5 ) 2
σ 1 = 55 \sigma_1=55 σ 1 = 55
σ 2 = σ x + σ y 2 − ( σ x − σ y 2 ) 2 + ( τ x y ) 2 \sigma_2=\frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} - \sqrt{(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2})^2 +(\tau_{xy})^2} σ 2 = 2 σ x + σ y − ( 2 σ x − σ y ) 2 + ( τ x y ) 2
σ 2 = 54 + 30 2 − ( 54 − 30 2 ) 2 + ( 5 ) 2 \sigma_2=\frac{54+ 30}{2} - \sqrt{(\frac{54-30}{2})^2 +(5)^2} σ 2 = 2 54 + 30 − ( 2 54 − 30 ) 2 + ( 5 ) 2
σ 2 = 29 , \sigma_2=29, σ 2 = 29 ,
t a n 2 θ = ( − ( σ x − σ y ) / 2 τ x y ) tan 2\theta= (\frac{-(\sigma_x-\sigma_y)/2}{\tau_{xy}}) t an 2 θ = ( τ x y − ( σ x − σ y ) /2 )
θ = 11.4 8 o \theta=11.48^o θ = 11.4 8 o
(ii)
σ x = 30 , σ y = 54 , τ x y = − 5 \sigma_x=30,\sigma_y=54,\tau_{xy}=-5 σ x = 30 , σ y = 54 , τ x y = − 5
σ 1 = σ x + σ y 2 + ( σ x − σ y 2 ) 2 + ( τ x y ) 2 \sigma_1=\frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \sqrt{(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2})^2 +(\tau_{xy})^2} σ 1 = 2 σ x + σ y + ( 2 σ x − σ y ) 2 + ( τ x y ) 2
σ 1 = 55 \sigma_1= 55 σ 1 = 55
σ 2 = σ x + σ y 2 − ( σ x − σ y 2 ) 2 + ( τ x y ) 2 \sigma_2=\frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} - \sqrt{(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2})^2 +(\tau_{xy})^2} σ 2 = 2 σ x + σ y − ( 2 σ x − σ y ) 2 + ( τ x y ) 2
σ 2 = 29 \sigma_2=29 σ 2 = 29
θ = 11.48 \theta= 11.48 θ = 11.48
(iii)
σ x = − 60 , σ y = − 36 , τ x y = + 5 \sigma_x=-60,\sigma_y=-36, \tau_{xy}= +5 σ x = − 60 , σ y = − 36 , τ x y = + 5
σ 1 = σ x + σ y 2 + ( σ x − σ y 2 ) 2 + ( τ x y ) 2 \sigma_1=\frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \sqrt{(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2})^2 +(\tau_{xy})^2} σ 1 = 2 σ x + σ y + ( 2 σ x − σ y ) 2 + ( τ x y ) 2
σ 1 = − 34.5 \sigma_1=-34.5 σ 1 = − 34.5
σ 2 = σ x + σ y 2 − ( σ x − σ y 2 ) 2 + ( τ x y ) 2 \sigma_2=\frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} - \sqrt{(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2})^2 +(\tau_{xy})^2} σ 2 = 2 σ x + σ y − ( 2 σ x − σ y ) 2 + ( τ x y ) 2
σ 2 = − 61 \sigma_2=-61 σ 2 = − 61
t a n 2 θ = ( − ( σ x − σ y ) / 2 τ x y ) tan 2\theta= (\frac{-(\sigma_x-\sigma_y)/2}{\tau_{xy}}) t an 2 θ = ( τ x y − ( σ x − σ y ) /2 )
θ = 79. 5 o \theta=79.5 ^o θ = 79. 5 o
(iv)
σ x = 30 , σ y = − 50 , τ x y = 30 \sigma_x=30, \sigma_y= -50, \tau_{xy}=30 σ x = 30 , σ y = − 50 , τ x y = 30
σ 1 = σ x + σ y 2 + ( σ x − σ y 2 ) 2 + ( τ x y ) 2 \sigma_1=\frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \sqrt{(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2})^2 +(\tau_{xy})^2} σ 1 = 2 σ x + σ y + ( 2 σ x − σ y ) 2 + ( τ x y ) 2
σ 1 = 40 , σ 2 = − 60 \sigma_1=40,\sigma_2=-60 σ 1 = 40 , σ 2 = − 60
θ = 18. 5 o \theta= 18.5^o θ = 18. 5 o
