We know that Taylor series expansion of function at Zo is
f ( z ) = f ( z 0 ) + ( z − z 0 ) f ′ ( z 0 ) + ( z − z 0 ) 2 2 ! f ′ ′ ( z 0 ) + ( z − z 0 ) 3 3 ! f ′ ′ ′ ( z 0 ) + . . . f(z)= f(z_0)+(z-z_0)f'(z_0)+\frac{(z-z_0)^2}{2!}f''(z_0)+\frac{(z-z_0)^3}{3!}f'''(z_0)+... f ( z ) = f ( z 0 ) + ( z − z 0 ) f ′ ( z 0 ) + 2 ! ( z − z 0 ) 2 f ′′ ( z 0 ) + 3 ! ( z − z 0 ) 3 f ′′′ ( z 0 ) + ...
f ( z ) = 4 z 2 + 3 z ( z − 1 ) 2 ( z + 4 ) ( z − 3 ) f ′ = d d z ( 4 z 2 + 3 z ( z − 1 ) 2 ( z + 4 ) ( z − 3 ) ) = d d z ( 4 z 2 + 3 z ) ( z − 1 ) 2 ( z + 4 ) ( z − 3 ) − d d z ( ( z − 1 ) 2 ( z + 4 ) ( z − 3 ) ) ( 4 z 2 + 3 z ) ( ( z − 1 ) 2 ( z + 4 ) ( z − 3 ) ) 2 = − 8 z 4 + 13 z 3 + 7 z 2 − 132 z − 36 ( z − 1 ) 3 ( z + 4 ) 2 ( z − 3 ) 2 [ z = − 1 ] f = 4 ( − 1 ) 2 + 3 ( − 1 ) ( − 1 − 1 ) 2 ( − 1 + 4 ) ( − 1 − 3 ) f = − 1 48 f(z)=\frac{4z^2+3z}{\left(z-1\right)^2\left(z+4\right)\left(z-3\right)}\\
f'=\frac{d}{dz}\left(\frac{4z^2+3z}{\left(z-1\right)^2\left(z+4\right)\left(z-3\right)}\right)\\
=\frac{\frac{d}{dz}\left(4z^2+3z\right)\left(z-1\right)^2\left(z+4\right)\left(z-3\right)-\frac{d}{dz}\left(\left(z-1\right)^2\left(z+4\right)\left(z-3\right)\right)\left(4z^2+3z\right)}{\left(\left(z-1\right)^2\left(z+4\right)\left(z-3\right)\right)^2}\\
=-\frac{8z^4+13z^3+7z^2-132z-36}{\left(z-1\right)^3\left(z+4\right)^2\left(z-3\right)^2}\\
\begin{bmatrix}z=-1\end{bmatrix}\\
f=\frac{4\left(-1\right)^2+3\left(-1\right)}{\left(-1-1\right)^2\left(-1+4\right)\left(-1-3\right)}\\
f=-\frac{1}{48}\\ f ( z ) = ( z − 1 ) 2 ( z + 4 ) ( z − 3 ) 4 z 2 + 3 z f ′ = d z d ( ( z − 1 ) 2 ( z + 4 ) ( z − 3 ) 4 z 2 + 3 z ) = ( ( z − 1 ) 2 ( z + 4 ) ( z − 3 ) ) 2 d z d ( 4 z 2 + 3 z ) ( z − 1 ) 2 ( z + 4 ) ( z − 3 ) − d z d ( ( z − 1 ) 2 ( z + 4 ) ( z − 3 ) ) ( 4 z 2 + 3 z ) = − ( z − 1 ) 3 ( z + 4 ) 2 ( z − 3 ) 2 8 z 4 + 13 z 3 + 7 z 2 − 132 z − 36 [ z = − 1 ] f = ( − 1 − 1 ) 2 ( − 1 + 4 ) ( − 1 − 3 ) 4 ( − 1 ) 2 + 3 ( − 1 ) f = − 48 1
f ′ ′ = [ f = − 8 z 4 + 13 z 3 + 7 z 2 − 132 z − 36 ( z − 1 ) 3 ( z + 4 ) 2 ( z − 3 ) 2 z = − 1 ] f ′ ′ = ( 32 z 3 + 39 z 2 + 14 z − 132 ) ( z − 1 ) 3 ( z + 4 ) 2 ( z − 3 ) 2 − ( 3 ( z − 1 ) 2 ( z + 4 ) 2 ( z − 3 ) 2 + ( 4 z 3 + 6 z 2 − 46 z − 24 ) ( z − 1 ) 3 ) ( 8 z 4 + 13 z 3 + 7 z 2 − 132 z − 36 ) ( z − 1 ) 6 ( z + 4 ) 4 ( z − 3 ) 4 f ′ ′ = − 25 3456 f''=\begin{bmatrix}f=-\frac{8z^4+13z^3+7z^2-132z-36}{\left(z-1\right)^3\left(z+4\right)^2\left(z-3\right)^2}\\ z=-1\end{bmatrix}\\
f''= \frac{\left(32z^3+39z^2+14z-132\right)\left(z-1\right)^3\left(z+4\right)^2\left(z-3\right)^2-\left(3\left(z-1\right)^2\left(z+4\right)^2\left(z-3\right)^2+\left(4z^3+6z^2-46z-24\right)\left(z-1\right)^3\right)\left(8z^4+13z^3+7z^2-132z-36\right)}{\left(z-1\right)^6\left(z+4\right)^4\left(z-3\right)^4}\\
f''=-\frac{25}{3456} f ′′ = [ f = − ( z − 1 ) 3 ( z + 4 ) 2 ( z − 3 ) 2 8 z 4 + 13 z 3 + 7 z 2 − 132 z − 36 z = − 1 ] f ′′ = ( z − 1 ) 6 ( z + 4 ) 4 ( z − 3 ) 4 ( 32 z 3 + 39 z 2 + 14 z − 132 ) ( z − 1 ) 3 ( z + 4 ) 2 ( z − 3 ) 2 − ( 3 ( z − 1 ) 2 ( z + 4 ) 2 ( z − 3 ) 2 + ( 4 z 3 + 6 z 2 − 46 z − 24 ) ( z − 1 ) 3 ) ( 8 z 4 + 13 z 3 + 7 z 2 − 132 z − 36 ) f ′′ = − 3456 25
f ( z ) = − 1 48 + ( z + 1 ) ( − 1 48 ) + ( z + 1 ) 2 ∗ 1 2 ! ∗ 4 ∗ 25 3456 + . . . f(z)= -\frac{1}{\sqrt{48}}+(z+1)(-\frac{1}{{48}})+(z+1)^2* \frac{1}{2!}*\frac{4*25}{3456}+... f ( z ) = − 48 1 + ( z + 1 ) ( − 48 1 ) + ( z + 1 ) 2 ∗ 2 ! 1 ∗ 3456 4 ∗ 25 + ...
#340153 on Dec 2023
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