A = ( 1 − 1 1 0 2 − 1 2 3 0 ) , X = ( x y z ) , B = ( 1 1 1 ) A=\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 \\
0 & 2 & -1 \\
2 & 3 & 0 \\
\end{pmatrix}, X=\begin{pmatrix}
x \\
y\\
z
\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}
1\\
1\\
1
\end{pmatrix} A = ⎝ ⎛ 1 0 2 − 1 2 3 1 − 1 0 ⎠ ⎞ , X = ⎝ ⎛ x y z ⎠ ⎞ , B = ⎝ ⎛ 1 1 1 ⎠ ⎞
A X = B AX=B A X = B
A − 1 A X = A − 1 B = > X = A − 1 B A^{-1}AX=A^{-1}B=>X=A^{-1}B A − 1 A X = A − 1 B => X = A − 1 B augment the matrix with the identity matrix:
( 1 − 1 1 1 0 0 0 2 − 1 0 1 0 2 3 0 0 0 1 ) \begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & & 1& 0 & 0 \\
0 & 2 & -1 & & 0& 1 & 0 \\
2 & 3 & 0 & & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix} ⎝ ⎛ 1 0 2 − 1 2 3 1 − 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎠ ⎞ R 3 = R 3 − 2 R 1 R_3=R_3-2R_1 R 3 = R 3 − 2 R 1
( 1 − 1 1 1 0 0 0 2 − 1 0 1 0 0 5 − 2 − 2 0 1 ) \begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & & 1& 0 & 0 \\
0 & 2 & -1 & & 0& 1 & 0 \\
0 & 5 & -2 & & -2 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix} ⎝ ⎛ 1 0 0 − 1 2 5 1 − 1 − 2 1 0 − 2 0 1 0 0 0 1 ⎠ ⎞ R 2 = R 2 / 2 R_2=R_2/2 R 2 = R 2 /2
( 1 − 1 1 1 0 0 0 1 − 1 / 2 0 1 / 2 0 0 5 − 2 − 2 0 1 ) \begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & & 1& 0 & 0 \\
0 & 1 & -1/2 & & 0& 1/2 & 0 \\
0 & 5 & -2 & & -2 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix} ⎝ ⎛ 1 0 0 − 1 1 5 1 − 1/2 − 2 1 0 − 2 0 1/2 0 0 0 1 ⎠ ⎞ R 1 = R 1 + R 2 R_1=R_1+R_2 R 1 = R 1 + R 2
( 1 0 1 / 2 1 1 / 2 0 0 1 − 1 / 2 0 1 / 2 0 0 5 − 2 − 2 0 1 ) \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1/2 & & 1& 1/2 & 0 \\
0 & 1 & -1/2 & & 0& 1/2 & 0 \\
0 & 5 & -2 & & -2 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix} ⎝ ⎛ 1 0 0 0 1 5 1/2 − 1/2 − 2 1 0 − 2 1/2 1/2 0 0 0 1 ⎠ ⎞ R 3 = R 3 − 5 R 2 R_3=R_3-5R_2 R 3 = R 3 − 5 R 2
( 1 0 1 / 2 1 1 / 2 0 0 1 − 1 / 2 0 1 / 2 0 0 0 1 / 2 − 2 − 5 / 2 1 ) \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1/2 & & 1& 1/2 & 0 \\
0 & 1 & -1/2 & & 0& 1/2 & 0 \\
0 & 0 & 1/2 & & -2 & -5/2 & 1 \\
\end{pmatrix} ⎝ ⎛ 1 0 0 0 1 0 1/2 − 1/2 1/2 1 0 − 2 1/2 1/2 − 5/2 0 0 1 ⎠ ⎞ R 3 = 2 R 3 R_3=2R_3 R 3 = 2 R 3
( 1 0 1 / 2 1 1 / 2 0 0 1 − 1 / 2 0 1 / 2 0 0 0 1 − 4 − 5 2 ) \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1/2 & & 1& 1/2 & 0 \\
0 & 1 & -1/2 & & 0& 1/2 & 0 \\
0 & 0 & 1 & & -4 & -5 & 2 \\
\end{pmatrix} ⎝ ⎛ 1 0 0 0 1 0 1/2 − 1/2 1 1 0 − 4 1/2 1/2 − 5 0 0 2 ⎠ ⎞ R 1 = R 1 − R 3 / 2 R_1=R_1-R_3/2 R 1 = R 1 − R 3 /2
( 1 0 0 3 3 − 1 0 1 − 1 / 2 0 1 / 2 0 0 0 1 − 4 − 5 2 ) \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & & 3 & 3 & -1 \\
0 & 1 & -1/2 & & 0& 1/2 & 0 \\
0 & 0 & 1 & & -4 & -5 & 2 \\
\end{pmatrix} ⎝ ⎛ 1 0 0 0 1 0 0 − 1/2 1 3 0 − 4 3 1/2 − 5 − 1 0 2 ⎠ ⎞ R 2 = R 2 + R 3 / 2 R_2=R_2+R_3/2 R 2 = R 2 + R 3 /2
( 1 0 0 3 3 − 1 0 1 0 − 2 − 2 1 0 0 1 − 4 − 5 2 ) \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & & 3 & 3 & -1 \\
0 & 1 & 0 & & -2 & -2 & 1 \\
0 & 0 & 1 & & -4 & -5 & 2 \\
\end{pmatrix} ⎝ ⎛ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 − 2 − 4 3 − 2 − 5 − 1 1 2 ⎠ ⎞ We are done. On the left is the identity matrix. On the right is the inverse matrix.
A − 1 = ( 3 3 − 1 − 2 − 2 1 − 4 − 5 2 ) A^{-1}=\begin{pmatrix}
3 & 3 & -1 \\
-2 & -2 & 1 \\
-4 & -5 & 2 \\
\end{pmatrix} A − 1 = ⎝ ⎛ 3 − 2 − 4 3 − 2 − 5 − 1 1 2 ⎠ ⎞
X = A − 1 B X=A^{-1}B X = A − 1 B
= ( 3 3 − 1 − 2 − 2 1 − 4 − 5 2 ) ( 1 1 1 ) =\begin{pmatrix}
3 & 3 & -1 \\
-2 & -2 & 1 \\
-4 & -5 & 2 \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1\\
1\\
1
\end{pmatrix} = ⎝ ⎛ 3 − 2 − 4 3 − 2 − 5 − 1 1 2 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 1 1 1 ⎠ ⎞
= ( 3 + 3 − 1 − 2 − 2 + 1 − 4 − 5 + 2 ) = ( 5 − 3 − 7 ) =\begin{pmatrix}
3+3-1\\
-2-2+1\\
-4-5+2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
5\\
-3\\
-7
\end{pmatrix} = ⎝ ⎛ 3 + 3 − 1 − 2 − 2 + 1 − 4 − 5 + 2 ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ 5 − 3 − 7 ⎠ ⎞
( 5 , − 3 , − 7 ) (5, -3, -7) ( 5 , − 3 , − 7 )
Comments