a.
A = [ 3 1 1 2 4 2 1 1 3 ] A=\begin{bmatrix}
3 & 1 & 1 \\
2 & 4 & 2 \\
1 & 1 & 3
\end{bmatrix} A = ⎣ ⎡ 3 2 1 1 4 1 1 2 3 ⎦ ⎤
A − λ I = [ 3 − λ 1 1 2 4 − λ 2 1 1 3 − λ ] A-\lambda I=\begin{bmatrix}
3-\lambda & 1 & 1 \\
2 & 4-\lambda & 2 \\
1 & 1 & 3-\lambda
\end{bmatrix} A − λ I = ⎣ ⎡ 3 − λ 2 1 1 4 − λ 1 1 2 3 − λ ⎦ ⎤
det A − λ I = ∣ 3 − λ 1 1 2 4 − λ 2 1 1 3 − λ ∣ \det A-\lambda I=\begin{vmatrix}
3-\lambda & 1 & 1 \\
2 & 4-\lambda & 2 \\
1 & 1 & 3-\lambda
\end{vmatrix} det A − λ I = ∣ ∣ 3 − λ 2 1 1 4 − λ 1 1 2 3 − λ ∣ ∣
= ( 3 − λ ) 2 ( 4 − λ ) + 2 + 2 − ( 4 − λ ) − 2 ( 3 − λ ) =(3-\lambda)^2(4-\lambda)+2+2-(4-\lambda)-2(3-\lambda) = ( 3 − λ ) 2 ( 4 − λ ) + 2 + 2 − ( 4 − λ ) − 2 ( 3 − λ )
− 2 ( 3 − λ ) = 36 − 24 λ + 4 λ 2 − 9 λ + 6 λ 2 − λ 3 -2(3-\lambda)=36-24\lambda+4\lambda^2-9\lambda+6\lambda^2-\lambda^3 − 2 ( 3 − λ ) = 36 − 24 λ + 4 λ 2 − 9 λ + 6 λ 2 − λ 3
+ 4 − 4 + λ − 12 + 4 λ = − λ 3 + 10 λ 2 − 28 λ + 24 = 0 +4-4+\lambda-12+4\lambda=-\lambda^3+10\lambda^2-28\lambda+24=0 + 4 − 4 + λ − 12 + 4 λ = − λ 3 + 10 λ 2 − 28 λ + 24 = 0
− λ 2 ( λ − 2 ) + 8 λ ( λ − 2 ) − 12 ( λ − 2 ) = 0 -\lambda^2(\lambda-2)+8\lambda(\lambda-2)-12(\lambda-2)=0 − λ 2 ( λ − 2 ) + 8 λ ( λ − 2 ) − 12 ( λ − 2 ) = 0
− ( λ − 2 ) 2 ( λ − 6 ) = 0 -(\lambda-2)^2(\lambda-6)=0 − ( λ − 2 ) 2 ( λ − 6 ) = 0 λ 1 = 6 , λ 2 = 2 , λ 3 = 2 \lambda_1=6, \lambda_2=2, \lambda_3=2 λ 1 = 6 , λ 2 = 2 , λ 3 = 2
These are the eigenvalues.
b. Find the eigenvectors.
λ = 6 \lambda=6 λ = 6
[ 3 − λ 1 1 2 4 − λ 2 1 1 3 − λ ] = [ − 3 1 1 2 − 2 2 1 1 − 3 ] \begin{bmatrix}
3-\lambda & 1 & 1 \\
2 & 4-\lambda & 2 \\
1 & 1 & 3-\lambda
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-3 & 1 & 1 \\
2 & -2 & 2 \\
1 & 1 & -3
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 3 − λ 2 1 1 4 − λ 1 1 2 3 − λ ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ − 3 2 1 1 − 2 1 1 2 − 3 ⎦ ⎤ R 1 = R 1 / ( − 3 ) R_1=R_1/(-3) R 1 = R 1 / ( − 3 )
[ 1 − 1 / 3 − 1 / 3 2 − 2 2 1 1 − 3 ] \begin{bmatrix}
1 & -1/3 & -1/3 \\
2 & -2 & 2 \\
1 & 1 & -3
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 2 1 − 1/3 − 2 1 − 1/3 2 − 3 ⎦ ⎤ R 2 = R 2 − 2 R 1 R_2=R_2-2R_1 R 2 = R 2 − 2 R 1
[ 1 − 1 / 3 − 1 / 3 0 − 4 / 3 8 / 3 1 1 − 3 ] \begin{bmatrix}
1 & -1/3 & -1/3 \\
0 & -4/3 & 8/3 \\
1 & 1 & -3
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 0 1 − 1/3 − 4/3 1 − 1/3 8/3 − 3 ⎦ ⎤ R 3 = R 3 − R 1 R_3=R_3-R_1 R 3 = R 3 − R 1
[ 1 − 1 / 3 − 1 / 3 0 − 4 / 3 8 / 3 0 4 / 3 − 8 / 3 ] \begin{bmatrix}
1 & -1/3 & -1/3 \\
0 & -4/3 & 8/3 \\
0 & 4/3 & -8/3
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 0 0 − 1/3 − 4/3 4/3 − 1/3 8/3 − 8/3 ⎦ ⎤ R 2 = − 3 R 2 / 4 R_2=-3R_2/4 R 2 = − 3 R 2 /4
[ 1 − 1 / 3 − 1 / 3 0 1 − 2 0 4 / 3 − 8 / 3 ] \begin{bmatrix}
1 & -1/3 & -1/3 \\
0 & 1 & -2 \\
0 & 4/3 & -8/3
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 0 0 − 1/3 1 4/3 − 1/3 − 2 − 8/3 ⎦ ⎤ R 1 = R 1 + R 2 / 3 R_1=R_1+R_2/3 R 1 = R 1 + R 2 /3
[ 1 0 − 1 0 1 − 2 0 4 / 3 − 8 / 3 ] \begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 \\
0 & 1 & -2 \\
0 & 4/3 & -8/3
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 4/3 − 1 − 2 − 8/3 ⎦ ⎤ R 3 = R 3 − 4 R 2 / 3 R_3=R_3-4R_2/3 R 3 = R 3 − 4 R 2 /3
[ 1 0 − 1 0 1 − 2 0 0 0 ] \begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 \\
0 & 1 & -2 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 0 − 1 − 2 0 ⎦ ⎤
[ 1 0 − 1 0 1 − 2 0 0 0 ] [ x 1 x 2 x 3 ] = [ 0 0 0 ] \begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 \\
0 & 1 & -2 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 0 − 1 − 2 0 ⎦ ⎤ ⎣ ⎡ x 1 x 2 x 3 ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ 0 0 0 ⎦ ⎤ If we take x 3 = t , x_3=t, x 3 = t , then x 1 = t , x 2 = 2 t . x_1=t, x_2=2t. x 1 = t , x 2 = 2 t .
The eigenvector is [ 1 2 1 ] \begin{bmatrix}
1 \\
2 \\
1
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 2 1 ⎦ ⎤
λ = 2 \lambda=2 λ = 2
[ 3 − λ 1 1 2 4 − λ 2 1 1 3 − λ ] = [ 1 1 1 2 2 2 1 1 1 ] \begin{bmatrix}
3-\lambda & 1 & 1 \\
2 & 4-\lambda & 2 \\
1 & 1 & 3-\lambda
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
2 & 2 & 2 \\
1 & 1 & 1
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 3 − λ 2 1 1 4 − λ 1 1 2 3 − λ ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ 1 2 1 1 2 1 1 2 1 ⎦ ⎤ R 2 = R 2 − 2 R 1 R_2=R_2-2R_1 R 2 = R 2 − 2 R 1
[ 1 1 1 0 0 0 1 1 1 ] \begin{bmatrix}
1 &1 & 1\\
0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 0 1 1 0 1 1 0 1 ⎦ ⎤ R 3 = R 3 − R 1 R_3=R_3-R_1 R 3 = R 3 − R 1
[ 1 1 1 0 0 0 0 0 0 ] \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 0 0 1 0 0 1 0 0 ⎦ ⎤
[ 1 1 1 0 0 0 0 0 0 ] [ x 1 x 2 x 3 ] = [ 0 0 0 ] \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 0 0 1 0 0 1 0 0 ⎦ ⎤ ⎣ ⎡ x 1 x 2 x 3 ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ 0 0 0 ⎦ ⎤ If we take x 2 = t , x 3 = s , x_2=t,x_3=s, x 2 = t , x 3 = s , then x 1 = − t − s . x_1=-t-s. x 1 = − t − s .
The eigenvectors are [ − 1 1 0 ] , [ − 1 0 1 ] . \begin{bmatrix}
-1 \\
1 \\
0
\end{bmatrix},\begin{bmatrix}
-1 \\
0 \\
1
\end{bmatrix}. ⎣ ⎡ − 1 1 0 ⎦ ⎤ , ⎣ ⎡ − 1 0 1 ⎦ ⎤ .
P = [ 1 − 1 − 1 2 1 0 1 0 1 ] , D = [ 6 0 0 0 2 0 0 0 2 ] P=\begin{bmatrix}
1 & -1 & -1 \\
2 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1
\end{bmatrix}, D=\begin{bmatrix}
6 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{bmatrix} P = ⎣ ⎡ 1 2 1 − 1 1 0 − 1 0 1 ⎦ ⎤ , D = ⎣ ⎡ 6 0 0 0 2 0 0 0 2 ⎦ ⎤
P D P − 1 = A PDP^{-1}=A P D P − 1 = A
The matrices A = [ 3 1 1 2 4 2 1 1 3 ] A=\begin{bmatrix}
3 & 1 & 1 \\
2 & 4 & 2 \\
1 & 1 & 3
\end{bmatrix} A = ⎣ ⎡ 3 2 1 1 4 1 1 2 3 ⎦ ⎤ and D = [ 6 0 0 0 2 0 0 0 2 ] D=\begin{bmatrix}
6 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{bmatrix} D = ⎣ ⎡ 6 0 0 0 2 0 0 0 2 ⎦ ⎤ are similar.
Comments