2 w + x + y + z = 3 − 8 w − 7 x − 3 y + 5 z = − 3 w + 4 x + y + z = 6 w + 3 x + 7 y − z = 1 \begin{matrix}
2w + x + y + z = 3 \\
−8w − 7x − 3y + 5z = −3 \\
w + 4x + y + z = 6 \\
w + 3x + 7y − z = 1
\end{matrix} 2 w + x + y + z = 3 − 8 w − 7 x − 3 y + 5 z = − 3 w + 4 x + y + z = 6 w + 3 x + 7 y − z = 1 Write the matrix for the system and check that the determinant is not equal zero.
A = [ 2 1 1 1 − 8 − 7 − 3 5 1 4 1 1 1 3 7 − 1 ] A=\begin{bmatrix}
2 & 1 & 1 & 1 \\
-8 & -7 & -3 & 5 \\
1 & 4 & 1 & 1 \\
1 & 3 & 7 & -1 \\
\end{bmatrix} A = ⎣ ⎡ 2 − 8 1 1 1 − 7 4 3 1 − 3 1 7 1 5 1 − 1 ⎦ ⎤
det A = ∣ 2 1 1 1 − 8 − 7 − 3 5 1 4 1 1 1 3 7 − 1 ∣ \det A=\begin{vmatrix}
2 & 1 & 1 & 1 \\
-8 & -7 & -3 & 5 \\
1 & 4 & 1 & 1 \\
1 & 3 & 7 & -1 \\
\end{vmatrix} det A = ∣ ∣ 2 − 8 1 1 1 − 7 4 3 1 − 3 1 7 1 5 1 − 1 ∣ ∣
= 2 ∣ − 7 − 3 5 4 1 1 3 7 − 1 ∣ − ∣ − 8 − 3 5 1 1 1 1 7 − 1 ∣ =2\begin{vmatrix}
-7 & -3 & 5 \\
4 & 1 & 1 \\
3 & 7 & -1 \\
\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}
-8 & -3 & 5 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 7 & -1 \\
\end{vmatrix} = 2 ∣ ∣ − 7 4 3 − 3 1 7 5 1 − 1 ∣ ∣ − ∣ ∣ − 8 1 1 − 3 1 7 5 1 − 1 ∣ ∣
+ ∣ − 8 − 7 5 1 4 1 1 3 − 1 ∣ − ∣ − 8 − 7 − 3 1 4 1 1 3 7 ∣ +\begin{vmatrix}
-8 & -7 & 5 \\
1 & 4 & 1 \\
1 & 3 & -1 \\
\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}
-8 & -7 & -3 \\
1 & 4 & 1 \\
1 & 3 & 7 \\
\end{vmatrix} + ∣ ∣ − 8 1 1 − 7 4 3 5 1 − 1 ∣ ∣ − ∣ ∣ − 8 1 1 − 7 4 3 − 3 1 7 ∣ ∣
∣ − 7 − 3 5 4 1 1 3 7 − 1 ∣ = − 4 ∣ − 3 5 7 − 1 ∣ + ∣ − 7 5 3 − 1 ∣ \begin{vmatrix}
-7 & -3 & 5 \\
4 & 1 & 1 \\
3 & 7 & -1 \\
\end{vmatrix}=-4\begin{vmatrix}
-3 & 5 \\
7 & -1 \\
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
-7 & 5 \\
3 & -1 \\
\end{vmatrix} ∣ ∣ − 7 4 3 − 3 1 7 5 1 − 1 ∣ ∣ = − 4 ∣ ∣ − 3 7 5 − 1 ∣ ∣ + ∣ ∣ − 7 3 5 − 1 ∣ ∣
− ∣ − 7 − 3 3 7 ∣ = − 4 ( − 32 ) + ( − 8 ) − ( − 40 ) = 160 -\begin{vmatrix}
-7 & -3 \\
3 &7 \\
\end{vmatrix}=-4(-32)+(-8)-(-40)=160 − ∣ ∣ − 7 3 − 3 7 ∣ ∣ = − 4 ( − 32 ) + ( − 8 ) − ( − 40 ) = 160
∣ − 8 − 3 5 1 1 1 1 7 − 1 ∣ = − ∣ − 3 5 7 − 1 ∣ + ∣ − 8 5 1 − 1 ∣ \begin{vmatrix}
-8 & -3 & 5 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 7 & -1 \\
\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}
-3 & 5 \\
7 & -1 \\
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
-8 & 5 \\
1 & -1 \\
\end{vmatrix} ∣ ∣ − 8 1 1 − 3 1 7 5 1 − 1 ∣ ∣ = − ∣ ∣ − 3 7 5 − 1 ∣ ∣ + ∣ ∣ − 8 1 5 − 1 ∣ ∣
− ∣ − 8 − 3 1 7 ∣ = − ( − 32 ) + ( 3 ) − ( − 53 ) = 88 -\begin{vmatrix}
-8 & -3 \\
1 &7 \\
\end{vmatrix}=-(-32)+(3)-(-53)=88 − ∣ ∣ − 8 1 − 3 7 ∣ ∣ = − ( − 32 ) + ( 3 ) − ( − 53 ) = 88
∣ − 8 − 7 5 1 4 1 1 3 − 1 ∣ = − 8 ∣ 4 1 3 − 1 ∣ − ∣ − 7 5 3 − 1 ∣ \begin{vmatrix}
-8 & -7 & 5 \\
1 & 4 & 1 \\
1 & 3 & -1 \\
\end{vmatrix}=-8\begin{vmatrix}
4 & 1 \\
3 & -1 \\
\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}
-7 & 5 \\
3 & -1\\
\end{vmatrix} ∣ ∣ − 8 1 1 − 7 4 3 5 1 − 1 ∣ ∣ = − 8 ∣ ∣ 4 3 1 − 1 ∣ ∣ − ∣ ∣ − 7 3 5 − 1 ∣ ∣
+ ∣ − 7 5 4 1 ∣ = − 8 ( − 7 ) − ( − 8 ) + ( − 27 ) = 37 +\begin{vmatrix}
-7 & 5 \\
4 &1 \\
\end{vmatrix}=-8(-7)-(-8)+(-27)=37 + ∣ ∣ − 7 4 5 1 ∣ ∣ = − 8 ( − 7 ) − ( − 8 ) + ( − 27 ) = 37
∣ − 8 − 7 − 3 1 4 1 1 3 7 ∣ = − 8 ∣ 4 1 3 7 ∣ − ∣ − 7 − 3 3 7 ∣ \begin{vmatrix}
-8 & -7 & -3 \\
1 & 4 & 1 \\
1 & 3 & 7 \\
\end{vmatrix}=-8\begin{vmatrix}
4 & 1 \\
3 & 7 \\
\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}
-7 & -3 \\
3 & 7 \\
\end{vmatrix} ∣ ∣ − 8 1 1 − 7 4 3 − 3 1 7 ∣ ∣ = − 8 ∣ ∣ 4 3 1 7 ∣ ∣ − ∣ ∣ − 7 3 − 3 7 ∣ ∣
+ ∣ − 7 − 3 4 1 ∣ = − 8 ( 25 ) − ( − 40 ) + ( 5 ) = − 155 +\begin{vmatrix}
-7 & -3\\
4 & 1 \\
\end{vmatrix}=-8(25)-(-40)+(5)=-155 + ∣ ∣ − 7 4 − 3 1 ∣ ∣ = − 8 ( 25 ) − ( − 40 ) + ( 5 ) = − 155 det A = 2 ( 160 ) − 88 + 37 − ( − 155 ) \det A=2(160)-88+37-(-155) det A = 2 ( 160 ) − 88 + 37 − ( − 155 )
det A = 424 ≠ 0 \det A=424\not=0 det A = 424 = 0
B = [ 2 1 3 1 − 8 − 7 − 3 5 1 4 6 1 1 3 1 − 1 ] B=\begin{bmatrix}
2 & 1 & 3 & 1 \\
-8 & -7 & -3 & 5 \\
1 & 4 & 6 & 1 \\
1 & 3 & 1 & -1 \\
\end{bmatrix} B = ⎣ ⎡ 2 − 8 1 1 1 − 7 4 3 3 − 3 6 1 1 5 1 − 1 ⎦ ⎤
det B = ∣ 2 1 3 1 − 8 − 7 − 3 5 1 4 6 1 1 3 1 − 1 ∣ \det B=\begin{vmatrix}
2 & 1 & 3 & 1 \\
-8 & -7 & -3 & 5 \\
1 & 4 & 6 & 1 \\
1 & 3 & 1 & -1 \\
\end{vmatrix} det B = ∣ ∣ 2 − 8 1 1 1 − 7 4 3 3 − 3 6 1 1 5 1 − 1 ∣ ∣
= 2 ∣ − 7 − 3 5 4 6 1 3 1 − 1 ∣ − ∣ − 8 − 3 5 1 6 1 1 1 − 1 ∣ =2\begin{vmatrix}
-7 & -3 & 5 \\
4 & 6 & 1 \\
3 & 1 & -1 \\
\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}
-8 & -3 & 5 \\
1 & 6 & 1 \\
1 & 1 & -1 \\
\end{vmatrix} = 2 ∣ ∣ − 7 4 3 − 3 6 1 5 1 − 1 ∣ ∣ − ∣ ∣ − 8 1 1 − 3 6 1 5 1 − 1 ∣ ∣
+ 3 ∣ − 8 − 7 5 1 4 1 1 3 − 1 ∣ − ∣ − 8 − 7 − 3 1 4 6 1 3 1 ∣ +3\begin{vmatrix}
-8 & -7 & 5 \\
1 & 4 & 1 \\
1 & 3 & -1 \\
\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}
-8 & -7 & -3 \\
1 & 4 & 6 \\
1 & 3 & 1 \\
\end{vmatrix} + 3 ∣ ∣ − 8 1 1 − 7 4 3 5 1 − 1 ∣ ∣ − ∣ ∣ − 8 1 1 − 7 4 3 − 3 6 1 ∣ ∣
∣ − 7 − 3 5 4 6 1 3 1 − 1 ∣ = − 4 ∣ − 3 5 1 − 1 ∣ + 6 ∣ − 7 5 3 − 1 ∣ \begin{vmatrix}
-7 & -3 & 5 \\
4 & 6 & 1 \\
3 & 1 & -1 \\
\end{vmatrix}=-4\begin{vmatrix}
-3 & 5 \\
1 & -1 \\
\end{vmatrix}+6\begin{vmatrix}
-7 & 5 \\
3 & -1 \\
\end{vmatrix} ∣ ∣ − 7 4 3 − 3 6 1 5 1 − 1 ∣ ∣ = − 4 ∣ ∣ − 3 1 5 − 1 ∣ ∣ + 6 ∣ ∣ − 7 3 5 − 1 ∣ ∣
− ∣ − 7 − 3 3 1 ∣ = − 4 ( − 2 ) + 6 ( − 8 ) − ( 2 ) = − 42 -\begin{vmatrix}
-7 & -3 \\
3 &1 \\
\end{vmatrix}=-4(-2)+6(-8)-(2)=-42 − ∣ ∣ − 7 3 − 3 1 ∣ ∣ = − 4 ( − 2 ) + 6 ( − 8 ) − ( 2 ) = − 42
∣ − 8 − 3 5 1 6 1 1 1 − 1 ∣ = ∣ − 3 5 6 1 ∣ − ∣ − 8 5 1 1 ∣ \begin{vmatrix}
-8 & -3 & 5 \\
1 & 6 & 1 \\
1 & 1 & -1 \\
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
-3 & 5 \\
6 & 1 \\
\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}
-8 & 5 \\
1 & 1 \\
\end{vmatrix} ∣ ∣ − 8 1 1 − 3 6 1 5 1 − 1 ∣ ∣ = ∣ ∣ − 3 6 5 1 ∣ ∣ − ∣ ∣ − 8 1 5 1 ∣ ∣
− ∣ − 8 − 3 1 6 ∣ = − 33 − ( − 13 ) − ( − 45 ) = 25 -\begin{vmatrix}
-8 & -3 \\
1 & 6 \\
\end{vmatrix}=-33-(-13)-(-45)=25 − ∣ ∣ − 8 1 − 3 6 ∣ ∣ = − 33 − ( − 13 ) − ( − 45 ) = 25
∣ − 8 − 7 5 1 4 1 1 3 − 1 ∣ = − 8 ∣ 4 1 3 − 1 ∣ − ∣ − 7 5 3 − 1 ∣ \begin{vmatrix}
-8 & -7 & 5 \\
1 & 4 & 1 \\
1 & 3 & -1 \\
\end{vmatrix}=-8\begin{vmatrix}
4 & 1 \\
3 & -1 \\
\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}
-7 & 5 \\
3 & -1\\
\end{vmatrix} ∣ ∣ − 8 1 1 − 7 4 3 5 1 − 1 ∣ ∣ = − 8 ∣ ∣ 4 3 1 − 1 ∣ ∣ − ∣ ∣ − 7 3 5 − 1 ∣ ∣
+ ∣ − 7 5 4 1 ∣ = − 8 ( − 7 ) − ( − 8 ) + ( − 27 ) = 37 +\begin{vmatrix}
-7 & 5 \\
4 &1 \\
\end{vmatrix}=-8(-7)-(-8)+(-27)=37 + ∣ ∣ − 7 4 5 1 ∣ ∣ = − 8 ( − 7 ) − ( − 8 ) + ( − 27 ) = 37
∣ − 8 − 7 − 3 1 4 6 1 3 1 ∣ = − 8 ∣ 4 6 3 1 ∣ − ∣ − 7 − 3 3 1 ∣ \begin{vmatrix}
-8 & -7 & -3 \\
1 & 4 & 6 \\
1 & 3 & 1 \\
\end{vmatrix}=-8\begin{vmatrix}
4 & 6 \\
3 & 1 \\
\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}
-7 & -3 \\
3 & 1 \\
\end{vmatrix} ∣ ∣ − 8 1 1 − 7 4 3 − 3 6 1 ∣ ∣ = − 8 ∣ ∣ 4 3 6 1 ∣ ∣ − ∣ ∣ − 7 3 − 3 1 ∣ ∣ + ∣ − 7 − 3 4 6 ∣ = − 8 ( − 14 ) − ( 2 ) − ( 30 ) = 80 +\begin{vmatrix}
-7 & -3\\
4 & 6 \\
\end{vmatrix}=-8(-14)-(2)-(30)=80 + ∣ ∣ − 7 4 − 3 6 ∣ ∣ = − 8 ( − 14 ) − ( 2 ) − ( 30 ) = 80
det B = 2 ( − 42 ) − 25 + 3 ( 37 ) − 80 = − 78 \det B=2(-42)-25+3(37)-80=-78 det B = 2 ( − 42 ) − 25 + 3 ( 37 ) − 80 = − 78
y = det B det A = − 78 424 = − 39 212 y=\dfrac{\det B}{\det A}=\dfrac{-78}{424}=-\dfrac{39}{212} y = det A det B = 424 − 78 = − 212 39
y = − 39 212 y=-\dfrac{39}{212} y = − 212 39
Comments
Leave a comment