Given matrices-
A = [ 3 0 2 4 − 6 3 − 2 1 8 ] , B = [ − 5 1 1 0 3 0 7 6 2 ] , C = [ 1 1 1 2 3 − 1 3 − 5 − 7 ] A=\begin{bmatrix}
3 & 0&2 \\
4 & -6&3\\-2&1&8
\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}
-5 & 1&1 \\
0 & 3&0\\7&6&2
\end{bmatrix},C=\begin{bmatrix}
1 & 1&1 \\
2 & 3&-1\\3&-5&-7
\end{bmatrix} A = ⎣ ⎡ 3 4 − 2 0 − 6 1 2 3 8 ⎦ ⎤ , B = ⎣ ⎡ − 5 0 7 1 3 6 1 0 2 ⎦ ⎤ , C = ⎣ ⎡ 1 2 3 1 3 − 5 1 − 1 − 7 ⎦ ⎤
( i ) L H S − A + ( B + C ) (i) LHS- A+(B+C) ( i ) L H S − A + ( B + C )
= [ 3 0 2 4 − 6 3 − 2 1 8 ] + ( [ − 5 1 1 0 3 0 7 6 2 ] + [ 1 1 1 2 3 − 1 3 − 5 − 7 ] ) = [ 3 0 2 4 − 6 3 − 2 1 8 ] + [ − 4 2 2 2 6 − 1 10 1 − 5 ] = [ − 1 2 4 6 0 2 8 2 3 ] =\begin{bmatrix}
3 & 0&2 \\
4 & -6&3\\-2&1&8
\end{bmatrix}+(\begin{bmatrix}
-5 & 1&1 \\
0 & 3&0\\7&6&2
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
1 & 1&1 \\
2 & 3&-1\\3&-5&-7
\end{bmatrix})\\[9pt]=\begin{bmatrix}
3 & 0&2 \\
4 & -6&3\\-2&1&8
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
-4& 2&2 \\
2 & 6&-1\\10&1&-5
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-1 & 2&4 \\
6 & 0&2\\8&2&3
\end{bmatrix} = ⎣ ⎡ 3 4 − 2 0 − 6 1 2 3 8 ⎦ ⎤ + ( ⎣ ⎡ − 5 0 7 1 3 6 1 0 2 ⎦ ⎤ + ⎣ ⎡ 1 2 3 1 3 − 5 1 − 1 − 7 ⎦ ⎤ ) = ⎣ ⎡ 3 4 − 2 0 − 6 1 2 3 8 ⎦ ⎤ + ⎣ ⎡ − 4 2 10 2 6 1 2 − 1 − 5 ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ − 1 6 8 2 0 2 4 2 3 ⎦ ⎤
RHS-(A+B)+C
= ( [ 3 0 2 4 − 6 3 − 2 1 8 ] + [ − 5 1 1 0 3 0 7 6 2 ] ) + [ 1 1 1 2 3 − 1 3 − 5 − 7 ] = [ − 2 2 2 4 − 3 3 5 7 10 ] + [ 1 1 1 2 3 − 1 3 − 5 − 7 ] = [ − 1 2 4 6 0 2 8 2 3 ] =(\begin{bmatrix}
3 & 0&2 \\
4 & -6&3\\-2&1&8
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
-5 & 1&1 \\
0 & 3&0\\7&6&2
\end{bmatrix})+\begin{bmatrix}
1 & 1&1 \\
2 & 3&-1\\3&-5&-7
\end{bmatrix}\\[9pt]=\begin{bmatrix}
-2 & 2&2 \\
4 & -3&3\\5&7&10
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
1 & 1&1 \\
2 & 3&-1\\3&-5&-7
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-1 & 2&4 \\
6 & 0&2\\8&2&3
\end{bmatrix} = ( ⎣ ⎡ 3 4 − 2 0 − 6 1 2 3 8 ⎦ ⎤ + ⎣ ⎡ − 5 0 7 1 3 6 1 0 2 ⎦ ⎤ ) + ⎣ ⎡ 1 2 3 1 3 − 5 1 − 1 − 7 ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ − 2 4 5 2 − 3 7 2 3 10 ⎦ ⎤ + ⎣ ⎡ 1 2 3 1 3 − 5 1 − 1 − 7 ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ − 1 6 8 2 0 2 4 2 3 ⎦ ⎤
Hence LHS=RHS.
( i i ) L h s = ( a − b ) C = ( − 2 − 3 ) C = − 5 C = − 5 [ 1 1 1 2 3 − 1 3 − 5 − 7 ] (ii) Lhs= (a-b)C=(-2-3)C=-5C=-5\begin{bmatrix}
1 & 1&1 \\
2 & 3&-1\\3&-5&-7
\end{bmatrix} ( ii ) L h s = ( a − b ) C = ( − 2 − 3 ) C = − 5 C = − 5 ⎣ ⎡ 1 2 3 1 3 − 5 1 − 1 − 7 ⎦ ⎤ [ − 5 − 5 − 5 − 10 − 15 5 − 15 25 49 ] \begin{bmatrix}
-5 & -5&-5 \\
-10 & -15&5\\-15&25&49
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ − 5 − 10 − 15 − 5 − 15 25 − 5 5 49 ⎦ ⎤
R H S = a C − b C = − 2 C − 3 C = − 2 [ 1 1 1 2 3 − 1 3 − 5 − 7 ] − 3 [ 1 1 1 2 3 − 1 3 − 5 − 7 ] = [ − 2 − 2 − 2 − 4 − 6 2 − 6 10 14 ] − [ 3 3 3 6 9 − 3 9 − 15 − 21 ] = [ − 5 − 5 − 5 − 10 − 15 5 − 15 25 49 ] RHS=aC-bC=-2C-3C=-2\begin{bmatrix}
1 & 1&1 \\
2 & 3&-1\\3&-5&-7
\end{bmatrix}-3\begin{bmatrix}
1 & 1&1 \\
2 & 3&-1\\3&-5&-7
\end{bmatrix}\\[9pt]=\begin{bmatrix}
-2 & -2&-2 \\
-4 & -6&2\\-6&10&14
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
3 & 3&3 \\
6 & 9&-3\\9&-15&-21
\end{bmatrix}\\[9pt]=\begin{bmatrix}
-5 & -5&-5 \\
-10 & -15&5\\-15&25&49
\end{bmatrix} R H S = a C − b C = − 2 C − 3 C = − 2 ⎣ ⎡ 1 2 3 1 3 − 5 1 − 1 − 7 ⎦ ⎤ − 3 ⎣ ⎡ 1 2 3 1 3 − 5 1 − 1 − 7 ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ − 2 − 4 − 6 − 2 − 6 10 − 2 2 14 ⎦ ⎤ − ⎣ ⎡ 3 6 9 3 9 − 15 3 − 3 − 21 ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ − 5 − 10 − 15 − 5 − 15 25 − 5 5 49 ⎦ ⎤
Hence, RHS=LHS
( i i i ) ( A T ) T = [ 3 0 2 4 − 6 3 − 2 1 8 ] ′ ′ = [ 3 4 − 2 0 − 6 1 2 3 8 ] ′ = [ 3 0 2 4 − 6 3 − 2 1 8 ] = A (iii) (A^T)^T=\begin{bmatrix}
3 & 0&2 \\
4 & -6&3\\-2&1&8
\end{bmatrix}''=\begin{bmatrix}
3 & 4&-2 \\
0& -6&1\\2&3&8
\end{bmatrix}'=\begin{bmatrix}
3 & 0&2 \\
4 & -6&3\\-2&1&8
\end{bmatrix}=A ( iii ) ( A T ) T = ⎣ ⎡ 3 4 − 2 0 − 6 1 2 3 8 ⎦ ⎤ ′′ = ⎣ ⎡ 3 0 2 4 − 6 3 − 2 1 8 ⎦ ⎤ ′ = ⎣ ⎡ 3 4 − 2 0 − 6 1 2 3 8 ⎦ ⎤ = A
Hence, ( A T ) T = A (A^T)^T=A ( A T ) T = A
#331389 on Nov 2022
Comments