solution:
[ 1 2 − 1 4 1 0 0 0 2 3 2 0 0 1 0 0 3 1 0 3 0 0 1 0 2 0 2 1 0 0 0 1 ] \left[
\begin{array}{c c c c | c c c c}
1 &2& -1 &4 & 1 &0&0&0\\
2& 3 &2 &0 &0&1&0&0\\
3& 1& 0& 3 &0&0&1&0\\
2 &0& 2& 1& 0&0&0&1
\end{array}\right] ⎣ ⎡ 1 2 3 2 2 3 1 0 − 1 2 0 2 4 0 3 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ⎦ ⎤
2 line ->2 line -2* 1 line
[ 1 2 − 1 4 1 0 0 0 2 − 2 ∗ 1 3 − 2 ∗ 2 2 − 2 ∗ ( − 1 ) 0 − 2 ∗ 4 0 − 2 ∗ 1 1 − 2 ∗ 0 0 − 2 ∗ 0 0 − 2 ∗ 0 3 1 0 3 0 0 1 0 2 0 2 1 0 0 0 1 ] = = [ 1 2 − 1 4 1 0 0 0 0 − 1 4 − 8 − 2 1 0 0 3 1 0 3 0 0 1 0 2 0 2 1 0 0 0 1 ] \left[
\begin{array}{c c c c | c c c c}
1 &2& -1 &4 & 1 &0&0&0\\
2-2*1& 3-2*2 &2-2 *(-1)&0-2*4 &0-2*1&1-2*0&0-2*0&0-2*0\\
3& 1& 0& 3 &0&0&1&0\\
2 &0& 2& 1& 0&0&0&1
\end{array}\right]=\\
=
\left[
\begin{array}{c c c c | c c c c}
1 &2& -1 &4 & 1 &0&0&0\\
0& -1 &4&-8 &-2&1&0&0\\
3& 1& 0& 3 &0&0&1&0\\
2 &0& 2& 1& 0&0&0&1
\end{array}\right] ⎣ ⎡ 1 2 − 2 ∗ 1 3 2 2 3 − 2 ∗ 2 1 0 − 1 2 − 2 ∗ ( − 1 ) 0 2 4 0 − 2 ∗ 4 3 1 1 0 − 2 ∗ 1 0 0 0 1 − 2 ∗ 0 0 0 0 0 − 2 ∗ 0 1 0 0 0 − 2 ∗ 0 0 1 ⎦ ⎤ = = ⎣ ⎡ 1 0 3 2 2 − 1 1 0 − 1 4 0 2 4 − 8 3 1 1 − 2 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ⎦ ⎤
3 line-> 3 line -3* 1 line
[ 1 2 − 1 4 1 0 0 0 0 − 1 4 − 8 − 2 1 0 0 3 − 3 ∗ 1 1 − 3 ∗ 2 0 − 3 ∗ ( − 1 ) 3 − 3 ∗ 4 0 − 3 ∗ 1 0 − 3 ∗ 0 1 − 3 ∗ 0 0 − 3 ∗ 0 2 0 2 1 0 0 0 1 ] = = [ 1 2 − 1 4 1 0 0 0 0 − 1 4 − 8 − 2 1 0 0 0 − 5 3 − 9 − 3 0 1 0 2 0 2 1 0 0 0 1 ] \left[
\begin{array}{c c c c | c c c c}
1 &2& -1 &4 & 1 &0&0&0\\
0& -1 &4&-8 &-2&1&0&0\\
3-3*1& 1-3*2& 0-3*(-1)& 3-3*4 &0-3*1&0-3*0&1-3*0&0-3*0\\
2 &0& 2& 1& 0&0&0&1
\end{array}\right]=\\=
\left[
\begin{array}{c c c c | c c c c}
1 &2& -1 &4 & 1 &0&0&0\\
0& -1 &4&-8 &-2&1&0&0\\
0& -5& 3& -9 &-3&0&1&0\\
2 &0& 2& 1& 0&0&0&1
\end{array}\right] ⎣ ⎡ 1 0 3 − 3 ∗ 1 2 2 − 1 1 − 3 ∗ 2 0 − 1 4 0 − 3 ∗ ( − 1 ) 2 4 − 8 3 − 3 ∗ 4 1 1 − 2 0 − 3 ∗ 1 0 0 1 0 − 3 ∗ 0 0 0 0 1 − 3 ∗ 0 0 0 0 0 − 3 ∗ 0 1 ⎦ ⎤ = = ⎣ ⎡ 1 0 0 2 2 − 1 − 5 0 − 1 4 3 2 4 − 8 − 9 1 1 − 2 − 3 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ⎦ ⎤
4 line-> 4 line -2* 1 line
[ 1 2 − 1 4 1 0 0 0 0 − 1 4 − 8 − 2 1 0 0 0 − 5 3 − 9 − 3 0 1 0 2 − 2 ∗ 1 0 − 2 ∗ 2 2 − 2 ∗ ( − 1 ) 1 − 2 ∗ 4 0 − 2 ∗ 1 0 − 2 ∗ 0 0 − 2 ∗ 0 1 − 2 ∗ 0 ] = = [ 1 2 − 1 4 1 0 0 0 0 − 1 4 − 8 − 2 1 0 0 0 − 5 3 − 9 − 3 0 1 0 0 − 4 4 − 7 − 2 0 0 1 ] \left[
\begin{array}{c c c c | c c c c}
1 &2& -1 &4 & 1 &0&0&0\\
0& -1 &4&-8 &-2&1&0&0\\
0& -5& 3& -9 &-3&0&1&0\\
2 -2*1&0-2*2& 2-2*(-1)& 1-2*4& 0-2*1&0-2*0&0-2*0&1-2*0
\end{array}\right]=\\=\left[
\begin{array}{c c c c | c c c c}
1 &2& -1 &4 & 1 &0&0&0\\
0& -1 &4&-8 &-2&1&0&0\\
0& -5& 3& -9 &-3&0&1&0\\
0&-4& 4& -7& -2&0&0&1
\end{array}\right] ⎣ ⎡ 1 0 0 2 − 2 ∗ 1 2 − 1 − 5 0 − 2 ∗ 2 − 1 4 3 2 − 2 ∗ ( − 1 ) 4 − 8 − 9 1 − 2 ∗ 4 1 − 2 − 3 0 − 2 ∗ 1 0 1 0 0 − 2 ∗ 0 0 0 1 0 − 2 ∗ 0 0 0 0 1 − 2 ∗ 0 ⎦ ⎤ = = ⎣ ⎡ 1 0 0 0 2 − 1 − 5 − 4 − 1 4 3 4 4 − 8 − 9 − 7 1 − 2 − 3 − 2 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ⎦ ⎤
2 line -> (-1)*2 line
[ 1 2 − 1 4 1 0 0 0 0 ∗ ( − 1 ) ( − 1 ) ∗ ( − 1 ) 4 ∗ ( − 1 ) ( − 8 ) ∗ ( − 1 ) ( − 2 ) ∗ ( − 1 ) 1 ∗ ( − 1 ) 0 ∗ ( − 1 ) 0 ∗ ( − 1 ) 0 − 5 3 − 9 − 3 0 1 0 0 − 4 4 − 7 − 2 0 0 1 ] = = [ 1 2 − 1 4 1 0 0 0 0 1 − 4 8 2 − 1 0 0 0 − 5 3 − 9 − 3 0 1 0 0 − 4 4 − 7 − 2 0 0 1 ] \left[
\begin{array}{c c c c | c c c c}
1 &2& -1 &4 & 1 &0&0&0\\
0*(-1)& (-1)*(-1) &4*(-1)&(-8)*(-1) &(-2)*(-1)&1*(-1)&0*(-1)&0*(-1)\\
0& -5& 3& -9 &-3&0&1&0\\
0&-4& 4& -7& -2&0&0&1
\end{array}\right]=\\=\left[
\begin{array}{c c c c | c c c c}
1 &2& -1 &4 & 1 &0&0&0\\
0& 1 &-4&8 &2&-1&0&0\\
0& -5& 3& -9 &-3&0&1&0\\
0&-4& 4& -7& -2&0&0&1
\end{array}\right] ⎣ ⎡ 1 0 ∗ ( − 1 ) 0 0 2 ( − 1 ) ∗ ( − 1 ) − 5 − 4 − 1 4 ∗ ( − 1 ) 3 4 4 ( − 8 ) ∗ ( − 1 ) − 9 − 7 1 ( − 2 ) ∗ ( − 1 ) − 3 − 2 0 1 ∗ ( − 1 ) 0 0 0 0 ∗ ( − 1 ) 1 0 0 0 ∗ ( − 1 ) 0 1 ⎦ ⎤ = = ⎣ ⎡ 1 0 0 0 2 1 − 5 − 4 − 1 − 4 3 4 4 8 − 9 − 7 1 2 − 3 − 2 0 − 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ⎦ ⎤
3 line -> 3 line+ 5* 2 line
[ 1 2 − 1 4 1 0 0 0 0 1 − 4 8 2 − 1 0 0 0 + 5 ∗ 0 − 5 + 5 ∗ 1 3 + 5 ∗ ( − 4 ) − 9 + 5 ∗ 8 − 3 + 5 ∗ 2 0 + 5 ∗ ( − 1 ) 1 + 5 ∗ 0 0 + 5 ∗ 0 0 − 4 4 − 7 − 2 0 0 1 ] = = [ 1 2 − 1 4 1 0 0 0 0 1 − 4 8 2 − 1 0 0 0 0 − 17 31 7 − 5 1 0 0 − 4 4 − 7 − 2 0 0 1 ] \left[
\begin{array}{c c c c | c c c c}
1 &2& -1 &4 & 1 &0&0&0\\
0& 1 &-4&8 &2&-1&0&0\\
0+5*0& -5+5*1& 3+5*(-4)& -9+5*8 &-3+5*2&0+5*(-1)&1+5*0&0+5*0\\
0&-4& 4& -7& -2&0&0&1
\end{array}\right]=\\=\left[
\begin{array}{c c c c | c c c c}
1 &2& -1 &4 & 1 &0&0&0\\
0& 1 &-4&8 &2&-1&0&0\\
0& 0& -17& 31 &7&-5&1&0\\
0&-4& 4& -7& -2&0&0&1
\end{array}\right] ⎣ ⎡ 1 0 0 + 5 ∗ 0 0 2 1 − 5 + 5 ∗ 1 − 4 − 1 − 4 3 + 5 ∗ ( − 4 ) 4 4 8 − 9 + 5 ∗ 8 − 7 1 2 − 3 + 5 ∗ 2 − 2 0 − 1 0 + 5 ∗ ( − 1 ) 0 0 0 1 + 5 ∗ 0 0 0 0 0 + 5 ∗ 0 1 ⎦ ⎤ = = ⎣ ⎡ 1 0 0 0 2 1 0 − 4 − 1 − 4 − 17 4 4 8 31 − 7 1 2 7 − 2 0 − 1 − 5 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ⎦ ⎤
4 line -> 4 line +4* 2 line
[ 1 2 − 1 4 1 0 0 0 0 1 − 4 8 2 − 1 0 0 0 0 − 17 31 7 − 5 1 0 0 + 4 ∗ 0 − 4 + 4 ∗ 1 4 + 4 ∗ ( − 4 ) − 7 + 4 ∗ 8 − 2 + 4 ∗ 2 0 + 4 ∗ ( − 1 ) 0 + 4 ∗ ( 0 ) 1 + 4 ∗ 0 ] = = [ 1 2 − 1 4 1 0 0 0 0 1 − 4 8 2 − 1 0 0 0 0 − 17 31 7 − 5 1 0 0 0 − 12 25 6 − 4 0 1 ] \left[
\begin{array}{c c c c | c c c c}
1 &2& -1 &4 & 1 &0&0&0\\
0& 1 &-4&8 &2&-1&0&0\\
0& 0& -17& 31 &7&-5&1&0\\
0+4*0&-4+4*1& 4+4*(-4)& -7+4*8& -2+4*2&0+4*(-1)&0+4*(0)&1+4*0
\end{array}\right]=\\=\left[
\begin{array}{c c c c | c c c c}
1 &2& -1 &4 & 1 &0&0&0\\
0& 1 &-4&8 &2&-1&0&0\\
0& 0& -17& 31 &7&-5&1&0\\
0&0& -12& 25& 6&-4&0&1
\end{array}\right] ⎣ ⎡ 1 0 0 0 + 4 ∗ 0 2 1 0 − 4 + 4 ∗ 1 − 1 − 4 − 17 4 + 4 ∗ ( − 4 ) 4 8 31 − 7 + 4 ∗ 8 1 2 7 − 2 + 4 ∗ 2 0 − 1 − 5 0 + 4 ∗ ( − 1 ) 0 0 1 0 + 4 ∗ ( 0 ) 0 0 0 1 + 4 ∗ 0 ⎦ ⎤ = = ⎣ ⎡ 1 0 0 0 2 1 0 0 − 1 − 4 − 17 − 12 4 8 31 25 1 2 7 6 0 − 1 − 5 − 4 0 0 1 0 0 0 0 1 ⎦ ⎤
3 line->− 1 17 \frac{-1}{17} 17 − 1
[ 1 2 − 1 4 1 0 0 0 0 1 − 4 8 2 − 1 0 0 0 ∗ − 1 17 0 ∗ − 1 17 − 17 ∗ − 1 17 31 ∗ − 1 17 7 ∗ − 1 17 − 5 ∗ − 1 17 1 ∗ − 1 17 0 ∗ − 1 17 0 0 − 12 25 6 − 4 0 1 ] = = [ 1 2 − 1 4 1 0 0 0 0 1 − 4 8 2 − 1 0 0 0 0 1 − 31 17 − 7 17 5 17 − 1 17 0 0 0 − 12 25 6 − 4 0 1 ] \left[
\begin{array}{c c c c | c c c c}
1 &2& -1 &4 & 1 &0&0&0\\
0& 1 &-4&8 &2&-1&0&0\\
0*\frac{-1}{17}& 0*\frac{-1}{17}& -17*\frac{-1}{17}& 31*\frac{-1}{17} &7*\frac{-1}{17}&-5*\frac{-1}{17}&1*\frac{-1}{17}&0*\frac{-1}{17}\\
0&0& -12& 25& 6&-4&0&1
\end{array}\right]=\\=\left[
\begin{array}{c c c c | c c c c}
1 &2& -1 &4 & 1 &0&0&0\\
0& 1 &-4&8 &2&-1&0&0\\
0 & 0& 1& \frac{-31}{17} &\frac{-7}{17}&\frac{5}{17}&\frac{-1}{17}&0\\
0&0& -12& 25& 6&-4&0&1
\end{array}\right] ⎣ ⎡ 1 0 0 ∗ 17 − 1 0 2 1 0 ∗ 17 − 1 0 − 1 − 4 − 17 ∗ 17 − 1 − 12 4 8 31 ∗ 17 − 1 25 1 2 7 ∗ 17 − 1 6 0 − 1 − 5 ∗ 17 − 1 − 4 0 0 1 ∗ 17 − 1 0 0 0 0 ∗ 17 − 1 1 ⎦ ⎤ = = ⎣ ⎡ 1 0 0 0 2 1 0 0 − 1 − 4 1 − 12 4 8 17 − 31 25 1 2 17 − 7 6 0 − 1 17 5 − 4 0 0 17 − 1 0 0 0 0 1 ⎦ ⎤
4 line-> 4 line +12 * 3 line
[ 1 2 − 1 4 1 0 0 0 0 1 − 4 8 2 − 1 0 0 0 0 1 − 31 17 − 7 17 5 17 − 1 17 0 0 + 12 ∗ 0 0 + 12 ∗ 0 − 12 + 12 ∗ 1 25 + 12 ∗ − 31 17 6 + 12 ∗ − 7 17 − 4 + 12 ∗ 5 17 0 + 12 ∗ − 1 17 1 + 12 ∗ 0 ] = = [ 1 2 − 1 4 1 0 0 0 0 1 − 4 8 2 − 1 0 0 0 0 1 − 31 17 − 7 17 5 17 − 1 17 0 0 0 0 53 17 18 17 − 8 17 − 12 17 17 17 ] \left[
\begin{array}{c c c c | c c c c}
1 &2& -1 &4 & 1 &0&0&0\\
0& 1 &-4&8 &2&-1&0&0\\
0 & 0& 1& \frac{-31}{17} &\frac{-7}{17}&\frac{5}{17}&\frac{-1}{17}&0\\
0+12*0&0+12*0& -12+12*1& 25+12*\frac{-31}{17}& 6+12*\frac{-7}{17}&-4+12*\frac{5}{17}&0+12*\frac{-1}{17}&1+12*0
\end{array}\right]=\\=\left[
\begin{array}{c c c c | c c c c}
1 &2& -1 &4 & 1 &0&0&0\\
0& 1 &-4&8 &2&-1&0&0\\
0 & 0& 1& \frac{-31}{17} &\frac{-7}{17}&\frac{5}{17}&\frac{-1}{17}&0\\
0&0& 0& \frac{53}{17}& \frac{18}{17}&\frac{-8}{17}&\frac{-12}{17}&\frac{17}{17}
\end{array}\right] ⎣ ⎡ 1 0 0 0 + 12 ∗ 0 2 1 0 0 + 12 ∗ 0 − 1 − 4 1 − 12 + 12 ∗ 1 4 8 17 − 31 25 + 12 ∗ 17 − 31 1 2 17 − 7 6 + 12 ∗ 17 − 7 0 − 1 17 5 − 4 + 12 ∗ 17 5 0 0 17 − 1 0 + 12 ∗ 17 − 1 0 0 0 1 + 12 ∗ 0 ⎦ ⎤ = = ⎣ ⎡ 1 0 0 0 2 1 0 0 − 1 − 4 1 0 4 8 17 − 31 17 53 1 2 17 − 7 17 18 0 − 1 17 5 17 − 8 0 0 17 − 1 17 − 12 0 0 0 17 17 ⎦ ⎤
4 line -> 17 53 \frac{17}{53} 53 17
[ 1 2 − 1 4 1 0 0 0 0 1 − 4 8 2 − 1 0 0 0 0 1 − 31 17 − 7 17 5 17 − 1 17 0 0 ∗ 17 53 0 ∗ 17 53 0 ∗ 17 53 53 17 ∗ 17 53 18 17 ∗ 17 53 − 8 17 ∗ 17 53 − 12 17 ∗ 17 53 17 17 ∗ 17 53 ] = = [ 1 2 − 1 4 1 0 0 0 0 1 − 4 8 2 − 1 0 0 0 0 1 − 31 17 − 7 17 5 17 − 1 17 0 0 0 0 1 18 53 − 8 53 − 12 53 17 53 ] \left[
\begin{array}{c c c c | c c c c}
1 &2& -1 &4 & 1 &0&0&0\\
0& 1 &-4&8 &2&-1&0&0\\
0 & 0& 1& \frac{-31}{17} &\frac{-7}{17}&\frac{5}{17}&\frac{-1}{17}&0\\
0*\frac{17}{53}&0*\frac{17}{53}& 0*\frac{17}{53}& \frac{53}{17}*\frac{17}{53}& \frac{18}{17}*\frac{17}{53}&\frac{-8}{17}*\frac{17}{53}&\frac{-12}{17}*\frac{17}{53}&\frac{17}{17}*\frac{17}{53}
\end{array}\right]=\\=\left[
\begin{array}{c c c c | c c c c}
1 &2& -1 &4 & 1 &0&0&0\\
0& 1 &-4&8 &2&-1&0&0\\
0 & 0& 1& \frac{-31}{17} &\frac{-7}{17}&\frac{5}{17}&\frac{-1}{17}&0\\
0&0& 0& 1& \frac{18}{53}&\frac{-8}{53}&\frac{-12}{53}&\frac{17}{53}
\end{array}\right] ⎣ ⎡ 1 0 0 0 ∗ 53 17 2 1 0 0 ∗ 53 17 − 1 − 4 1 0 ∗ 53 17 4 8 17 − 31 17 53 ∗ 53 17 1 2 17 − 7 17 18 ∗ 53 17 0 − 1 17 5 17 − 8 ∗ 53 17 0 0 17 − 1 17 − 12 ∗ 53 17 0 0 0 17 17 ∗ 53 17 ⎦ ⎤ = = ⎣ ⎡ 1 0 0 0 2 1 0 0 − 1 − 4 1 0 4 8 17 − 31 1 1 2 17 − 7 53 18 0 − 1 17 5 53 − 8 0 0 17 − 1 53 − 12 0 0 0 53 17 ⎦ ⎤
3 line -> 3 line +31 17 \frac{31}{17} 17 31
[ 1 2 − 1 4 1 0 0 0 0 1 − 4 8 2 − 1 0 0 0 + 31 17 ∗ 0 0 + 31 17 ∗ 0 1 + 31 17 ∗ 0 − 31 17 + 31 17 ∗ 1 − 7 17 + 31 17 ∗ 18 53 5 17 + 31 17 ∗ − 8 53 − 1 17 + 31 17 ∗ − 12 53 0 + 31 17 ∗ 17 53 0 0 0 1 18 53 − 8 53 − 12 53 17 53 ] = = [ 1 2 − 1 4 1 0 0 0 0 1 − 4 8 2 − 1 0 0 0 0 1 0 11 53 1 53 − 25 53 31 53 0 0 0 1 18 53 − 8 53 − 12 53 17 53 ] \left[
\begin{array}{cccc|cccc}
1 &2& -1 &4 & 1 &0&0&0\\
0& 1 &-4&8 &2&-1&0&0\\
0+\frac{31}{17} *0& 0+\frac{31}{17} *0& 1+\frac{31}{17} *0& \frac{-31}{17}+\frac{31}{17} *1 & \frac{-7}{17}+\frac{31}{17}*\frac{18}{53}&\frac{5}{17}+\frac{31}{17}*\frac{-8}{53}&\frac{-1}{17}+\frac{31}{17}*\frac{-12}{53}&0+\frac{31}{17}*\frac{17}{53}\\
0&0& 0& 1& \frac{18}{53}&\frac{-8}{53}&\frac{-12}{53}&\frac{17}{53}
\end{array}\right]=\\=\left[
\begin{array}{c c c c | c c c c}
1 &2& -1 &4 & 1 &0&0&0\\
0& 1 &-4&8 &2&-1&0&0\\
0 & 0& 1& 0 &\frac{11}{53}&\frac{1}{53}&\frac{-25}{53}&\frac{31}{53}\\
0&0& 0& 1& \frac{18}{53}&\frac{-8}{53}&\frac{-12}{53}&\frac{17}{53}
\end{array}\right] ⎣ ⎡ 1 0 0 + 17 31 ∗ 0 0 2 1 0 + 17 31 ∗ 0 0 − 1 − 4 1 + 17 31 ∗ 0 0 4 8 17 − 31 + 17 31 ∗ 1 1 1 2 17 − 7 + 17 31 ∗ 53 18 53 18 0 − 1 17 5 + 17 31 ∗ 53 − 8 53 − 8 0 0 17 − 1 + 17 31 ∗ 53 − 12 53 − 12 0 0 0 + 17 31 ∗ 53 17 53 17 ⎦ ⎤ = = ⎣ ⎡ 1 0 0 0 2 1 0 0 − 1 − 4 1 0 4 8 0 1 1 2 53 11 53 18 0 − 1 53 1 53 − 8 0 0 53 − 25 53 − 12 0 0 53 31 53 17 ⎦ ⎤
2 line ->2 line -8* 4 line
[ 1 2 − 1 4 1 0 0 0 0 − 8 ∗ 0 1 − 8 ∗ 0 − 4 − 8 ∗ 0 8 − 8 ∗ 1 2 − 8 ∗ 18 53 − 1 − 8 ∗ − 8 53 0 − 8 ∗ − 12 53 0 − 8 ∗ 17 53 0 0 1 0 11 53 1 53 − 25 53 31 53 0 0 0 1 18 53 − 8 53 − 12 53 17 53 ] = = [ 1 2 − 1 4 1 0 0 0 0 1 − 4 0 − 38 53 11 53 96 53 − 136 53 0 0 1 0 11 53 1 53 − 25 53 31 53 0 0 0 1 18 53 − 8 53 − 12 53 17 53 ] \left[
\begin{array}{cccc|cccc}
1 &2& -1 &4 & 1 &0&0&0\\
0-8*0& 1-8*0& -4-8*0& 8-8*1 & 2-8*\frac{18}{53} &-1-8*\frac{-8}{53}&0-8*\frac{-12}{53}&0-8*\frac{17}{53}\\0 & 0& 1& 0 &\frac{11}{53}&\frac{1}{53}&\frac{-25}{53}&\frac{31}{53}\\
0&0& 0& 1& \frac{18}{53}&\frac{-8}{53}&\frac{-12}{53}&\frac{17}{53}
\end{array}\right]=\\=\left[
\begin{array}{c c c c | c c c c}
1 &2& -1 &4 & 1 &0&0&0\\
0& 1 &-4& 0 &\frac{-38}{53}&\frac{11}{53}&\frac{96}{53}&\frac{-136}{53}\\
0 & 0& 1& 0 &\frac{11}{53}&\frac{1}{53}&\frac{-25}{53}&\frac{31}{53}\\
0&0& 0& 1& \frac{18}{53}&\frac{-8}{53}&\frac{-12}{53}&\frac{17}{53}
\end{array}\right] ⎣ ⎡ 1 0 − 8 ∗ 0 0 0 2 1 − 8 ∗ 0 0 0 − 1 − 4 − 8 ∗ 0 1 0 4 8 − 8 ∗ 1 0 1 1 2 − 8 ∗ 53 18 53 11 53 18 0 − 1 − 8 ∗ 53 − 8 53 1 53 − 8 0 0 − 8 ∗ 53 − 12 53 − 25 53 − 12 0 0 − 8 ∗ 53 17 53 31 53 17 ⎦ ⎤ = = ⎣ ⎡ 1 0 0 0 2 1 0 0 − 1 − 4 1 0 4 0 0 1 1 53 − 38 53 11 53 18 0 53 11 53 1 53 − 8 0 53 96 53 − 25 53 − 12 0 53 − 136 53 31 53 17 ⎦ ⎤
1 line ->1 line -4* 4 line
[ 1 − 4 ∗ 0 2 − 4 ∗ 0 − 1 − 4 ∗ 0 4 − 4 ∗ 1 1 − 4 ∗ 18 53 0 − 4 ∗ − 8 53 0 − 4 ∗ − 12 53 0 − 4 ∗ 17 53 0 1 − 4 0 − 38 53 11 53 96 53 − 136 53 0 0 1 0 11 53 1 53 − 25 53 31 53 0 0 0 1 18 53 − 8 53 − 12 53 17 53 ] = = [ 1 2 − 1 0 − 19 53 32 53 48 53 − 68 53 0 1 − 4 0 − 38 53 11 53 96 53 − 136 53 0 0 1 0 11 53 1 53 − 25 53 31 53 0 0 0 1 18 53 − 8 53 − 12 53 17 53 ] \left[
\begin{array}{cccc|cccc}
1-4*0& 2-4*0& -1-4*0& 4-4*1 &1-4*\frac{18}{53} &0-4*\frac{-8}{53}&0-4*\frac{-12}{53}&0-4*\frac{17}{53}\\
0& 1 &-4& 0 &\frac{-38}{53}&\frac{11}{53}&\frac{96}{53}&\frac{-136}{53}\\0 & 0& 1& 0 &\frac{11}{53}&\frac{1}{53}&\frac{-25}{53}&\frac{31}{53}\\
0&0& 0& 1& \frac{18}{53}&\frac{-8}{53}&\frac{-12}{53}&\frac{17}{53}
\end{array}\right]=\\=\left[
\begin{array}{c c c c | c c c c}
1 &2& -1 & 0 & \frac{-19}{53} &\frac{32}{53}&\frac{48}{53}&\frac{-68}{53}\\
0& 1 &-4& 0 &\frac{-38}{53}&\frac{11}{53}&\frac{96}{53}&\frac{-136}{53}\\
0 & 0& 1& 0 &\frac{11}{53}&\frac{1}{53}&\frac{-25}{53}&\frac{31}{53}\\
0&0& 0& 1& \frac{18}{53}&\frac{-8}{53}&\frac{-12}{53}&\frac{17}{53}
\end{array}\right] ⎣ ⎡ 1 − 4 ∗ 0 0 0 0 2 − 4 ∗ 0 1 0 0 − 1 − 4 ∗ 0 − 4 1 0 4 − 4 ∗ 1 0 0 1 1 − 4 ∗ 53 18 53 − 38 53 11 53 18 0 − 4 ∗ 53 − 8 53 11 53 1 53 − 8 0 − 4 ∗ 53 − 12 53 96 53 − 25 53 − 12 0 − 4 ∗ 53 17 53 − 136 53 31 53 17 ⎦ ⎤ = = ⎣ ⎡ 1 0 0 0 2 1 0 0 − 1 − 4 1 0 0 0 0 1 53 − 19 53 − 38 53 11 53 18 53 32 53 11 53 1 53 − 8 53 48 53 96 53 − 25 53 − 12 53 − 68 53 − 136 53 31 53 17 ⎦ ⎤
2 line ->2 line +4* 3 line
[ 1 2 − 1 0 − 19 53 32 53 48 53 − 68 53 0 + 4 ∗ 0 1 + 4 ∗ 0 − 4 + 4 ∗ 1 0 + 4 ∗ 0 − 38 53 + 4 ∗ 11 53 11 53 + 4 ∗ 1 53 96 53 + 4 ∗ − 25 53 − 136 53 + 4 ∗ 31 53 0 0 1 0 11 53 1 53 − 25 53 31 53 0 0 0 1 18 53 − 8 53 − 12 53 17 53 ] = = [ 1 2 − 1 0 − 19 53 32 53 48 53 − 68 53 0 1 0 0 6 53 15 53 − 4 53 − 12 53 0 0 1 0 11 53 1 53 − 25 53 31 53 0 0 0 1 18 53 − 8 53 − 12 53 17 53 ] \left[
\begin{array}{cccc|cccc}
1 &2& -1 & 0 & \frac{-19}{53} &\frac{32}{53}&\frac{48}{53}&\frac{-68}{53}\\
0+4*0& 1+4*0& -4+4*1& 0+4*0 & \frac{-38}{53}+4*\frac{11}{53} &\frac{11}{53}+4*\frac{1}{53}&\frac{96}{53}+4*\frac{-25}{53}&\frac{-136}{53}+4*\frac{31}{53}\\0 & 0& 1& 0 &\frac{11}{53}&\frac{1}{53}&\frac{-25}{53}&\frac{31}{53}\\
0&0& 0& 1& \frac{18}{53}&\frac{-8}{53}&\frac{-12}{53}&\frac{17}{53}
\end{array}\right]=\\=\left[
\begin{array}{c c c c | c c c c}
1 &2& -1 & 0 & \frac{-19}{53} &\frac{32}{53}&\frac{48}{53}&\frac{-68}{53}\\
0& 1 &0& 0 &\frac{6}{53}&\frac{15}{53}&\frac{-4}{53}&\frac{-12}{53}\\
0 & 0& 1& 0 &\frac{11}{53}&\frac{1}{53}&\frac{-25}{53}&\frac{31}{53}\\
0&0& 0& 1& \frac{18}{53}&\frac{-8}{53}&\frac{-12}{53}&\frac{17}{53}
\end{array}\right] ⎣ ⎡ 1 0 + 4 ∗ 0 0 0 2 1 + 4 ∗ 0 0 0 − 1 − 4 + 4 ∗ 1 1 0 0 0 + 4 ∗ 0 0 1 53 − 19 53 − 38 + 4 ∗ 53 11 53 11 53 18 53 32 53 11 + 4 ∗ 53 1 53 1 53 − 8 53 48 53 96 + 4 ∗ 53 − 25 53 − 25 53 − 12 53 − 68 53 − 136 + 4 ∗ 53 31 53 31 53 17 ⎦ ⎤ = = ⎣ ⎡ 1 0 0 0 2 1 0 0 − 1 0 1 0 0 0 0 1 53 − 19 53 6 53 11 53 18 53 32 53 15 53 1 53 − 8 53 48 53 − 4 53 − 25 53 − 12 53 − 68 53 − 12 53 31 53 17 ⎦ ⎤
1 line ->1 line +1* 3 line
[ 1 + 1 ∗ 0 2 + 1 ∗ 0 − 1 + 1 ∗ 1 0 + 1 ∗ 0 − 19 53 + 1 ∗ 11 53 32 53 + 1 ∗ 1 53 48 53 + 1 ∗ − 25 53 − 68 53 + 1 ∗ 31 53 0 1 0 0 6 53 15 53 − 4 53 − 12 53 0 0 1 0 11 53 1 53 − 25 53 31 53 0 0 0 1 18 53 − 8 53 − 12 53 17 53 ] = = [ 1 2 0 0 − 8 53 33 53 23 53 − 37 53 0 1 0 0 6 53 15 53 − 4 53 − 12 53 0 0 1 0 11 53 1 53 − 25 53 31 53 0 0 0 1 18 53 − 8 53 − 12 53 17 53 ] \left[
\begin{array}{cccc|cccc}
1+1*0& 2+1*0& -1+1*1& 0+1*0 & \frac{-19}{53}+1*\frac{11}{53} &\frac{32}{53}+1*\frac{1}{53}&\frac{48}{53}+1*\frac{-25}{53}&\frac{-68}{53}+1*\frac{31}{53}\\0& 1 &0& 0 &\frac{6}{53}&\frac{15}{53}&\frac{-4}{53}&\frac{-12}{53}\\0 & 0& 1& 0 &\frac{11}{53}&\frac{1}{53}&\frac{-25}{53}&\frac{31}{53}\\
0&0& 0& 1& \frac{18}{53}&\frac{-8}{53}&\frac{-12}{53}&\frac{17}{53}
\end{array}\right]=\\=\left[
\begin{array}{c c c c | c c c c}
1 &2& 0 & 0 & \frac{-8}{53} &\frac{33}{53}&\frac{23}{53}&\frac{-37}{53}\\
0& 1 &0& 0 &\frac{6}{53}&\frac{15}{53}&\frac{-4}{53}&\frac{-12}{53}\\
0 & 0& 1& 0 &\frac{11}{53}&\frac{1}{53}&\frac{-25}{53}&\frac{31}{53}\\
0&0& 0& 1& \frac{18}{53}&\frac{-8}{53}&\frac{-12}{53}&\frac{17}{53}
\end{array}\right] ⎣ ⎡ 1 + 1 ∗ 0 0 0 0 2 + 1 ∗ 0 1 0 0 − 1 + 1 ∗ 1 0 1 0 0 + 1 ∗ 0 0 0 1 53 − 19 + 1 ∗ 53 11 53 6 53 11 53 18 53 32 + 1 ∗ 53 1 53 15 53 1 53 − 8 53 48 + 1 ∗ 53 − 25 53 − 4 53 − 25 53 − 12 53 − 68 + 1 ∗ 53 31 53 − 12 53 31 53 17 ⎦ ⎤ = = ⎣ ⎡ 1 0 0 0 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 53 − 8 53 6 53 11 53 18 53 33 53 15 53 1 53 − 8 53 23 53 − 4 53 − 25 53 − 12 53 − 37 53 − 12 53 31 53 17 ⎦ ⎤
1 line -> 1 line -2* 2 line
[ 1 − 2 ∗ 0 2 − 2 ∗ 1 0 − 2 ∗ 0 0 − 2 ∗ 0 − 8 53 − 2 ∗ 6 53 33 53 − 2 ∗ 15 53 23 53 + 2 ∗ − 4 53 − 37 53 − 2 ∗ 12 53 0 1 0 0 6 53 15 53 − 4 53 − 12 53 0 0 1 0 11 53 1 53 − 25 53 31 53 0 0 0 1 18 53 − 8 53 − 12 53 17 53 ] = = [ 1 0 0 0 − 20 53 3 53 31 53 − 13 53 0 1 0 0 6 53 15 53 − 4 53 − 12 53 0 0 1 0 11 53 1 53 − 25 53 31 53 0 0 0 1 18 53 − 8 53 − 12 53 17 53 ] \left[
\begin{array}{cccc|cccc}
1-2*0& 2-2*1& 0-2*0& 0-2*0 & \frac{-8}{53}-2*\frac{6}{53} &\frac{33}{53}-2*\frac{15}{53}&\frac{23}{53}+2*\frac{-4}{53}&\frac{-37}{53}-2*\frac{12}{53}\\0& 1 &0& 0 &\frac{6}{53}&\frac{15}{53}&\frac{-4}{53}&\frac{-12}{53}\\0 & 0& 1& 0 &\frac{11}{53}&\frac{1}{53}&\frac{-25}{53}&\frac{31}{53}\\
0&0& 0& 1& \frac{18}{53}&\frac{-8}{53}&\frac{-12}{53}&\frac{17}{53}
\end{array}\right]=\\=\left[
\begin{array}{c c c c | c c c c}
1 &0& 0 & 0 & \frac{-20}{53} &\frac{3}{53}&\frac{31}{53}&\frac{-13}{53}\\
0& 1 &0& 0 &\frac{6}{53}&\frac{15}{53}&\frac{-4}{53}&\frac{-12}{53}\\
0 & 0& 1& 0 &\frac{11}{53}&\frac{1}{53}&\frac{-25}{53}&\frac{31}{53}\\
0&0& 0& 1& \frac{18}{53}&\frac{-8}{53}&\frac{-12}{53}&\frac{17}{53}
\end{array}\right] ⎣ ⎡ 1 − 2 ∗ 0 0 0 0 2 − 2 ∗ 1 1 0 0 0 − 2 ∗ 0 0 1 0 0 − 2 ∗ 0 0 0 1 53 − 8 − 2 ∗ 53 6 53 6 53 11 53 18 53 33 − 2 ∗ 53 15 53 15 53 1 53 − 8 53 23 + 2 ∗ 53 − 4 53 − 4 53 − 25 53 − 12 53 − 37 − 2 ∗ 53 12 53 − 12 53 31 53 17 ⎦ ⎤ = = ⎣ ⎡ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 53 − 20 53 6 53 11 53 18 53 3 53 15 53 1 53 − 8 53 31 53 − 4 53 − 25 53 − 12 53 − 13 53 − 12 53 31 53 17 ⎦ ⎤
Answer:[ − 20 53 3 53 31 53 − 13 53 6 53 15 53 − 4 53 − 12 53 11 53 1 53 − 25 53 31 53 18 53 − 8 53 − 12 53 17 53 ] \left[
\begin{array}{c c c c }
\frac{-20}{53} &\frac{3}{53}&\frac{31}{53}&\frac{-13}{53}\\
\frac{6}{53}&\frac{15}{53}&\frac{-4}{53}&\frac{-12}{53}\\
\frac{11}{53}&\frac{1}{53}&\frac{-25}{53}&\frac{31}{53}\\
\frac{18}{53}&\frac{-8}{53}&\frac{-12}{53}&\frac{17}{53}
\end{array}\right] ⎣ ⎡ 53 − 20 53 6 53 11 53 18 53 3 53 15 53 1 53 − 8 53 31 53 − 4 53 − 25 53 − 12 53 − 13 53 − 12 53 31 53 17 ⎦ ⎤
#340153 on Dec 2023
Comments