Let f ( x ) = a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e f ( x ) = a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e , then we have a system of equations
{ f ( − 1 ) = a − b + c − d + e = 3 f ( 3 ) = 81 a + 27 b + 9 c + 3 d + e = 39 f ( 6 ) = 1296 a + 216 b + 36 c + 6 d + e = 822 f ( 7 ) = 2401 a + 343 b + 49 c + 7 d + e = 1611 f ( 0 ) = e = − 6 \begin{cases}
f(-1)=a-b+c-d+e=3\\
f(3)=81a+27b+9c+3d+e=39\\
f(6)=1296a+216b+36c+6d+e=822\\
f(7)=2401a+343b+49c+7d+e=1611\\
f(0)=e=-6
\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ f ( − 1 ) = a − b + c − d + e = 3 f ( 3 ) = 81 a + 27 b + 9 c + 3 d + e = 39 f ( 6 ) = 1296 a + 216 b + 36 c + 6 d + e = 822 f ( 7 ) = 2401 a + 343 b + 49 c + 7 d + e = 1611 f ( 0 ) = e = − 6
Extended matrix of the system is
( 1 − 1 1 − 1 1 3 81 27 9 3 1 39 1296 216 36 6 1 822 2401 343 49 7 1 1611 0 0 0 0 1 − 6 ) \begin{pmatrix}
1&-1&1&-1&1&3\\
81&27&9&3&1&39\\
1296&216&36&6&1&822\\
2401&343&49&7&1&1611\\
0&0&0&0&1&-6
\end{pmatrix} ⎝ ⎛ 1 81 1296 2401 0 − 1 27 216 343 0 1 9 36 49 0 − 1 3 6 7 0 1 1 1 1 1 3 39 822 1611 − 6 ⎠ ⎞
Solve the system by Jordan method
( 1 − 1 1 − 1 1 3 81 27 9 3 1 39 1296 216 36 6 1 822 2401 343 49 7 1 1611 0 0 0 0 1 − 6 ) → \begin{pmatrix}
1&-1&1&-1&1&3\\
81&27&9&3&1&39\\
1296&216&36&6&1&822\\
2401&343&49&7&1&1611\\
0&0&0&0&1&-6
\end{pmatrix}\rightarrow ⎝ ⎛ 1 81 1296 2401 0 − 1 27 216 343 0 1 9 36 49 0 − 1 3 6 7 0 1 1 1 1 1 3 39 822 1611 − 6 ⎠ ⎞ →
→ ( 1 − 1 1 − 1 0 9 81 27 9 3 0 45 1296 216 36 6 0 828 2401 343 49 7 0 1617 0 0 0 0 1 − 6 ) → \rightarrow\begin{pmatrix}
1&-1&1&-1&0&9\\
81&27&9&3&0&45\\
1296&216&36&6&0&828\\
2401&343&49&7&0&1617\\
0&0&0&0&1&-6
\end{pmatrix}\rightarrow → ⎝ ⎛ 1 81 1296 2401 0 − 1 27 216 343 0 1 9 36 49 0 − 1 3 6 7 0 0 0 0 0 1 9 45 828 1617 − 6 ⎠ ⎞ →
→ ( 1 − 1 1 − 1 0 9 0 108 − 72 84 0 − 684 0 1512 − 1260 1302 0 − 10836 0 2744 − 2352 2408 0 − 19992 0 0 0 0 1 − 6 ) → \rightarrow\begin{pmatrix}
1&-1&1&-1&0&9\\
0&108&-72&84&0&-684\\
0&1512&-1260&1302&0&-10836\\
0&2744&-2352&2408&0&-19992\\
0&0&0&0&1&-6
\end{pmatrix}\rightarrow → ⎝ ⎛ 1 0 0 0 0 − 1 108 1512 2744 0 1 − 72 − 1260 − 2352 0 − 1 84 1302 2408 0 0 0 0 0 1 9 − 684 − 10836 − 19992 − 6 ⎠ ⎞ →
→ ( 1 − 1 1 − 1 0 9 0 9 − 6 7 0 − 57 0 36 − 30 31 0 − 258 0 49 − 42 43 0 − 357 0 0 0 0 1 − 6 ) → \rightarrow\begin{pmatrix}
1&-1&1&-1&0&9\\
0&9&-6&7&0&-57\\
0&36&-30&31&0&-258\\
0&49&-42&43&0&-357\\
0&0&0&0&1&-6
\end{pmatrix}\rightarrow → ⎝ ⎛ 1 0 0 0 0 − 1 9 36 49 0 1 − 6 − 30 − 42 0 − 1 7 31 43 0 0 0 0 0 1 9 − 57 − 258 − 357 − 6 ⎠ ⎞ →
→ ( 1 0 1 3 − 2 9 0 8 3 0 9 − 6 7 0 − 57 0 0 − 6 3 0 − 30 0 0 − 28 3 44 9 0 − 140 3 0 0 0 0 1 − 6 ) → \rightarrow\begin{pmatrix}
1&0&\frac{1}{3}&-\frac{2}{9}&0&\frac{8}{3}\\
0&9&-6&7&0&-57\\
0&0&-6&3&0&-30\\
0&0&-\frac{28}{3}&\frac{44}{9}&0&-\frac{140}{3}\\
0&0&0&0&1&-6
\end{pmatrix}\rightarrow → ⎝ ⎛ 1 0 0 0 0 0 9 0 0 0 3 1 − 6 − 6 − 3 28 0 − 9 2 7 3 9 44 0 0 0 0 0 1 3 8 − 57 − 30 − 3 140 − 6 ⎠ ⎞ →
→ ( 1 0 1 3 − 2 9 0 8 3 0 9 − 6 7 0 − 57 0 0 − 2 1 0 − 10 0 0 − 84 44 0 − 420 0 0 0 0 1 − 6 ) → \rightarrow\begin{pmatrix}
1&0&\frac{1}{3}&-\frac{2}{9}&0&\frac{8}{3}\\
0&9&-6&7&0&-57\\
0&0&-2&1&0&-10\\
0&0&-84&44&0&-420\\
0&0&0&0&1&-6
\end{pmatrix}\rightarrow → ⎝ ⎛ 1 0 0 0 0 0 9 0 0 0 3 1 − 6 − 2 − 84 0 − 9 2 7 1 44 0 0 0 0 0 1 3 8 − 57 − 10 − 420 − 6 ⎠ ⎞ →
→ ( 1 0 0 − 1 18 0 1 0 9 0 4 0 − 27 0 0 − 2 1 0 − 10 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 − 6 ) → \rightarrow\begin{pmatrix}
1&0&0&-\frac{1}{18}&0&1\\
0&9&0&4&0&-27\\
0&0&-2&1&0&-10\\
0&0&0&2&0&0\\
0&0&0&0&1&-6
\end{pmatrix}\rightarrow → ⎝ ⎛ 1 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 − 2 0 0 − 18 1 4 1 2 0 0 0 0 0 1 1 − 27 − 10 0 − 6 ⎠ ⎞ →
→ ( 1 0 0 0 0 1 0 9 0 0 0 − 27 0 0 − 2 0 0 − 10 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 − 6 ) → \rightarrow\begin{pmatrix}
1&0&0&0&0&1\\
0&9&0&0&0&-27\\
0&0&-2&0&0&-10\\
0&0&0&1&0&0\\
0&0&0&0&1&-6
\end{pmatrix}\rightarrow → ⎝ ⎛ 1 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 − 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 − 27 − 10 0 − 6 ⎠ ⎞ →
→ ( 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 − 3 0 0 1 0 0 5 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 − 6 ) \rightarrow\begin{pmatrix}
1&0&0&0&0&1\\
0&1&0&0&0&-3\\
0&0&1&0&0&5\\
0&0&0&1&0&0\\
0&0&0&0&1&-6
\end{pmatrix} → ⎝ ⎛ 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 − 3 5 0 − 6 ⎠ ⎞
We obtain a = 1 , b = − 3 , c = 5 , d = 0 , e = − 6 a=1, b=-3, c=5, d=0, e=-6 a = 1 , b = − 3 , c = 5 , d = 0 , e = − 6 , that is f ( x ) = x 4 − 3 x 3 + 5 x 2 − 6 f(x)=x^4-3x^3+5x^2-6 f ( x ) = x 4 − 3 x 3 + 5 x 2 − 6
Answer: f ( x ) = x 4 − 3 x 3 + 5 x 2 − 6 f(x)=x^4-3x^3+5x^2-6 f ( x ) = x 4 − 3 x 3 + 5 x 2 − 6
Comments