[ 1 1 1 1 − 1 0 1 0 − 1 ] ; \begin{bmatrix}
1& 1& 1 \\
1& -1& 0 \\
1& 0& -1 \\
\end{bmatrix}; ⎣ ⎡ 1 1 1 1 − 1 0 1 0 − 1 ⎦ ⎤ ; [ 4 0 0 0 1 0 0 0 1 ] ; \begin{bmatrix}
4& 0& 0 \\
0& 1& 0 \\
0& 0& 1 \\
\end{bmatrix}; ⎣ ⎡ 4 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎦ ⎤ ;
[ 1 1 1 1 − 1 0 1 0 − 1 ] × T = [ 4 0 0 0 1 0 0 0 1 ] ; \begin{bmatrix}
1& 1& 1 \\
1& -1& 0 \\
1& 0& -1 \\
\end{bmatrix} \times T=
\begin{bmatrix}
4& 0& 0 \\
0& 1& 0 \\
0& 0& 1 \\
\end{bmatrix}; ⎣ ⎡ 1 1 1 1 − 1 0 1 0 − 1 ⎦ ⎤ × T = ⎣ ⎡ 4 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎦ ⎤ ;
T = [ 1 1 1 1 − 1 0 1 0 − 1 ] − 1 [ 4 0 0 0 1 0 0 0 1 ] ; T=\begin{bmatrix}
1& 1& 1 \\
1& -1& 0 \\
1& 0& -1 \\
\end{bmatrix} ^{-1}
\begin{bmatrix}
4& 0& 0 \\
0& 1& 0 \\
0& 0& 1 \\
\end{bmatrix}; T = ⎣ ⎡ 1 1 1 1 − 1 0 1 0 − 1 ⎦ ⎤ − 1 ⎣ ⎡ 4 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎦ ⎤ ;
Consider the matrix [ 1 1 1 1 − 1 0 1 0 − 1 ] \begin{bmatrix}
1& 1& 1 \\
1& -1& 0 \\
1& 0& -1 \\
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 1 1 1 − 1 0 1 0 − 1 ⎦ ⎤ is A. We use Linear Row Reduction to find the Inverse Matrix of A:
A − 1 = [ 1 1 1 1 0 0 1 − 1 0 0 1 0 1 0 − 1 0 0 1 ] − 1 A^{-1}=\begin{bmatrix}
1& \ \ \ 1&1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1&0&0 \\
1& -1& 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0&1&0 \\
1&\ \ \ 0& -1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0&0&1 \\
\end{bmatrix} ^{-1} A − 1 = ⎣ ⎡ 1 1 1 1 − 1 0 1 1 0 0 − 1 0 0 1 0 0 0 1 ⎦ ⎤ − 1 = { r 1 = r 1 + r 2 + r 3 3 r 2 = r 1 + r 3 − 2 × r 2 3 r 3 = r 1 + r 2 − 2 × r 3 3 } \begin{Bmatrix}
r_1=\frac{r_1+r_2+r_3}{3} \\
r_2=\frac{r_1+r_3-2\times r_2}{3} \\
r_3=\frac{r_1+r_2-2\times r_3}{3}
\end{Bmatrix} ⎩ ⎨ ⎧ r 1 = 3 r 1 + r 2 + r 3 r 2 = 3 r 1 + r 3 − 2 × r 2 r 3 = 3 r 1 + r 2 − 2 × r 3 ⎭ ⎬ ⎫ =
A − 1 = [ 1 0 0 1 3 1 3 1 3 0 1 0 1 3 − 2 3 1 3 0 0 1 1 3 1 3 − 2 3 ] ; A^{-1}=\begin{bmatrix}
1&0&0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\
0&1&0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\
0&0&1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\
\end{bmatrix} ; A − 1 = ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 0 0 3 1 0 3 1 1 3 1 3 1 − 3 2 3 1 3 1 3 1 − 3 2 ⎦ ⎤ ;
T = [ 1 3 1 3 1 3 1 3 − 2 3 1 3 1 3 1 3 − 2 3 ] [ 4 0 0 0 1 0 0 0 1 ] ; T=\begin{bmatrix}
\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\
\frac{1}{3} & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\
\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
4& 0& 0 \\
0& 1& 0 \\
0& 0& 1 \\
\end{bmatrix}; T = ⎣ ⎡ 3 1 3 1 3 1 3 1 − 3 2 3 1 3 1 3 1 − 3 2 ⎦ ⎤ ⎣ ⎡ 4 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎦ ⎤ ;
T = [ 4 3 1 3 1 3 4 3 − 2 3 1 3 4 3 1 3 − 2 3 ] ; T=\begin{bmatrix}
\frac{4}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\
\frac{4}{3} & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\
\frac{4}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\
\end{bmatrix} ; T = ⎣ ⎡ 3 4 3 4 3 4 3 1 − 3 2 3 1 3 1 3 1 − 3 2 ⎦ ⎤ ; .
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