a) Find eigenvalues from the characteristic polynomial of A:
∣ 1 − λ 0 0 1 5 − λ − 3 2 8 − 5 − λ ∣ \begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 & 0 \\ 1 & 5-\lambda & -3 \\ 2 & 8 & -5-\lambda \end{vmatrix} ∣ ∣ 1 − λ 1 2 0 5 − λ 8 0 − 3 − 5 − λ ∣ ∣ = − λ 3 + λ 2 + λ − 1 = − ( λ − 1 ) × ( λ 2 − 1 ) = − ( λ − 1 ) × ( λ − 1 ) × ( λ + 1 ) =−λ^3+λ^2+λ−1=−(λ−1)×(λ^2−1)=−(λ−1)×(λ−1)×(λ+1) = − λ 3 + λ 2 + λ − 1 = − ( λ − 1 ) × ( λ 2 − 1 ) = − ( λ − 1 ) × ( λ − 1 ) × ( λ + 1 )
Hence, Eigenvalues are 1, 1, -1.
Corresponding to eigenvalue 1, G.M. = 3 − ρ ( A − I ) 3 - \rho(A-I) 3 − ρ ( A − I )
= 3 − ρ [ 0 0 0 1 4 − 3 2 8 − 6 ] = 3 − 1 = 2 3 - \rho \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & -3 \\ 2 & 8 & -6 \end{bmatrix} = 3-1 = 2 3 − ρ ⎣ ⎡ 0 1 2 0 4 8 0 − 3 − 6 ⎦ ⎤ = 3 − 1 = 2
Corresponding to eigenvalue -1, G.M. = 1.
Hence, A matrix is diagonlizable.
Characteristic polynomial of B is
∣ 2 − λ 0 0 − 2 2 − λ − 1 − 1 0 1 − λ ∣ = 0 \begin{vmatrix} 2-\lambda & 0 & 0 \\ -2 & 2-\lambda & -1 \\ -1 & 0 & 1-\lambda \end{vmatrix}=0 ∣ ∣ 2 − λ − 2 − 1 0 2 − λ 0 0 − 1 1 − λ ∣ ∣ = 0
⟹ − λ 3 + 5 λ 2 − 8 λ + 4 = 0 = − ( λ − 1 ) ( λ 2 − 4 λ + 4 ) = − ( λ − 1 ) ( λ − 2 ) ( λ − 2 ) = 0 \implies -\lambda^3+5 \lambda^2-8\lambda+4 = 0 \\
=-(\lambda-1)(\lambda^2-4\lambda+4)=-(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-2) = 0 ⟹ − λ 3 + 5 λ 2 − 8 λ + 4 = 0 = − ( λ − 1 ) ( λ 2 − 4 λ + 4 ) = − ( λ − 1 ) ( λ − 2 ) ( λ − 2 ) = 0
Hence, eigenvalues of B are 1,2,2.
Corresponding to eigenvalue 2, G.M. = 3 − ρ ( A − 2 I ) = 3 − ρ [ 0 0 0 − 2 0 − 1 − 1 0 − 1 ] 3-\rho(A-2I) = 3 - \rho \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & -1 \end{bmatrix} 3 − ρ ( A − 2 I ) = 3 − ρ ⎣ ⎡ 0 − 2 − 1 0 0 0 0 − 1 − 1 ⎦ ⎤
= 3 - 1 = 2.
Hence, B matrix is not diagonalizable.
b) According to Cayley-Hamilton theorem, C h ( B ) = 0 Ch(B)=0 C h ( B ) = 0
− B 3 + 5 B 2 − 8 B + 4 I = 0 ⟹ 4 I = B 3 − 5 B 2 + 8 B ⟹ B − 1 = 1 4 [ B 2 − 5 B + 8 I ] -B^3+5 B^2-8B+4I = 0 \\
\implies 4I = B^3 - 5B^2+8B \\
\implies B^{-1} = \frac{1}{4} [B^2-5B+8I] − B 3 + 5 B 2 − 8 B + 4 I = 0 ⟹ 4 I = B 3 − 5 B 2 + 8 B ⟹ B − 1 = 4 1 [ B 2 − 5 B + 8 I ]
So, 4 B − 1 = [ 2 0 0 − 2 2 − 1 − 1 0 1 ] [ 2 0 0 − 2 2 − 1 − 1 0 1 ] − 5 [ 2 0 0 − 2 2 − 1 − 1 0 1 ] + 8 [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] 4 B^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix} - 5 \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix} + 8 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} 4 B − 1 = ⎣ ⎡ 2 − 2 − 1 0 2 0 0 − 1 1 ⎦ ⎤ ⎣ ⎡ 2 − 2 − 1 0 2 0 0 − 1 1 ⎦ ⎤ − 5 ⎣ ⎡ 2 − 2 − 1 0 2 0 0 − 1 1 ⎦ ⎤ + 8 ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎦ ⎤
⟹ B − 1 = [ 1 2 0 0 1 4 1 2 − 1 2 1 2 0 1 ] \implies B^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{-1}{2} \\
\frac{1}{2} & 0 & 1 \end{bmatrix} ⟹ B − 1 = ⎣ ⎡ 2 1 4 1 2 1 0 2 1 0 0 2 − 1 1 ⎦ ⎤
c) ∣ A ∣ = − 25 + 24 = − 1 |A| = -25+24 = -1 ∣ A ∣ = − 25 + 24 = − 1
Cofactors of A are C 11 = − 2 , C 12 = − 1 , C 13 = − 2 , C 21 = 0 , C 22 = − 5 , C 23 = − 8 , C 31 = 0 , C 32 = 3 , C 33 = 5 C_{11} = -2, C_{12} =-1, C_{13} = -2, C_{21} = 0, C_{22} = -5, \\
C_{23} =-8, C_{31} = 0, C_{32} = 3, C_{33} = 5 C 11 = − 2 , C 12 = − 1 , C 13 = − 2 , C 21 = 0 , C 22 = − 5 , C 23 = − 8 , C 31 = 0 , C 32 = 3 , C 33 = 5
a d j ( A ) = [ − 1 − 1 − 2 0 − 5 − 8 0 3 5 ] T = [ − 1 0 0 − 1 − 5 3 − 2 − 8 5 ] adj(A) = \begin{bmatrix} -1 & -1 & -2 \\ 0 & -5 & -8 \\
0 & 3 & 5 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ -1 & -5 & 3 \\
-2 & -8 & 5 \end{bmatrix} a d j ( A ) = ⎣ ⎡ − 1 0 0 − 1 − 5 3 − 2 − 8 5 ⎦ ⎤ T = ⎣ ⎡ − 1 − 1 − 2 0 − 5 − 8 0 3 5 ⎦ ⎤
A − 1 = 1 ∣ A ∣ a d j ( A ) = [ 1 0 0 1 5 − 3 2 8 − 5 ] A^{-1} =\frac{1}{|A|}adj(A) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & - 3 \\ 2 & 8 & -5 \end{bmatrix} A − 1 = ∣ A ∣ 1 a d j ( A ) = ⎣ ⎡ 1 1 2 0 5 8 0 − 3 − 5 ⎦ ⎤
Comments