A = [ a 1 0 1 0 b 0 b a ] , a ≠ 0 A=\begin{bmatrix}
a & 1&0\\
1&0&b\\
0 &b&a
\end{bmatrix}, a\neq0 A = ⎣ ⎡ a 1 0 1 0 b 0 b a ⎦ ⎤ , a = 0
(a) A − 1 : C = [ a 1 0 ∣ 1 0 0 1 0 b ∣ 0 1 0 0 b a ∣ 0 0 1 ] A^{-1}:\\
C=\begin{bmatrix}
a & 1&0|1&0&0 \\
1&0&b|0&1&0\\
0&b&a|0&0&1
\end{bmatrix} A − 1 : C = ⎣ ⎡ a 1 0 1 0 b 0∣1 b ∣0 a ∣0 0 1 0 0 0 1 ⎦ ⎤
IIr↔ \leftrightarrow ↔
C = [ 1 0 b ∣ 0 1 0 a 1 0 ∣ 1 0 0 0 b a ∣ 0 0 1 ] C=\begin{bmatrix}
1&0&b|0&1&0\\
a & 1&0|1&0&0 \\
0&b&a|0&0&1
\end{bmatrix} C = ⎣ ⎡ 1 a 0 0 1 b b ∣0 0∣1 a ∣0 1 0 0 0 0 1 ⎦ ⎤
IIr+Ir(-a)
C = [ 1 0 b ∣ 0 1 0 0 1 − a b ∣ 1 − a 0 0 b a ∣ 0 0 1 ] C=\begin{bmatrix}
1&0&b|0&1&0\\
0 & 1&-ab|1&-a&0 \\
0&b&a|0&0&1
\end{bmatrix} C = ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 b b ∣0 − ab ∣1 a ∣0 1 − a 0 0 0 1 ⎦ ⎤
IIIr+IIr(-b)
C = [ 1 0 b ∣ 0 1 0 0 1 − a b ∣ 1 − a 0 0 0 a + a b 2 ∣ − b a b 1 ] C=\begin{bmatrix}
1&0&b|0&1&0\\
0 & 1&-ab|1&-a&0 \\
0&0&a+ab^2|-b&ab&1
\end{bmatrix} C = ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 0 b ∣0 − ab ∣1 a + a b 2 ∣ − b 1 − a ab 0 0 1 ⎦ ⎤
IIIr⋅ 1 a ( 1 + b 2 ) \cdot\frac{1}{a(1+b^2)} ⋅ a ( 1 + b 2 ) 1
C = [ 1 0 b ∣ 0 1 0 0 1 − a b ∣ 1 − a 0 0 0 1 ∣ − b a ( 1 + b 2 ) b ( 1 + b 2 ) 1 a ( 1 + b 2 ) ] C=\begin{bmatrix}
1&0&b|0&1&0\\
0 & 1&-ab|1&-a&0 \\
0&0&1|\frac{-b}{a(1+b^2)}
&\frac{b}{(1+b^2)}
&\frac{1}{a(1+b^2)}
\end{bmatrix} C = ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 0 b ∣0 − ab ∣1 1∣ a ( 1 + b 2 ) − b 1 − a ( 1 + b 2 ) b 0 0 a ( 1 + b 2 ) 1 ⎦ ⎤
Ir+IIIr(-b)
IIr+IIIr(ab)
C = [ 1 0 0 ∣ b 2 a ( 1 + b 2 ) 1 1 + b 2 − b a ( 1 + b 2 ) 0 1 0 ∣ 1 1 + b 2 − a 1 + b 2 b ( 1 + b 2 ) 0 0 1 ∣ − b a ( 1 + b 2 ) b ( 1 + b 2 ) 1 a ( 1 + b 2 ) ] C=\begin{bmatrix}
1&0&0|\frac{b^2}{a(1+b^2)}&\frac{1}{1+b^2}
&\frac{-b}{a(1+b^2)}\\
0 & 1&0|\frac{1}{1+b^2}
&\frac{-a}{1+b^2}
&\frac{b}{(1+b^2)} \\
0&0&1|\frac{-b}{a(1+b^2)}
&\frac{b}{(1+b^2)}&
\frac{1}{a
(1+b^2)}
\end{bmatrix} C = ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 0 0∣ a ( 1 + b 2 ) b 2 0∣ 1 + b 2 1 1∣ a ( 1 + b 2 ) − b 1 + b 2 1 1 + b 2 − a ( 1 + b 2 ) b a ( 1 + b 2 ) − b ( 1 + b 2 ) b a ( 1 + b 2 ) 1 ⎦ ⎤
A − 1 = [ b 2 a ( 1 + b 2 ) 1 1 + b 2 − b a ( 1 + b 2 ) 1 1 + b 2 − a 1 + b 2 b ( 1 + b 2 ) − b a ( 1 + b 2 ) b ( 1 + b 2 ) 1 a ( 1 + b 2 ) ] A^{-1}=\begin{bmatrix}
\frac{b^2}{a(1+b^2)}&\frac{1}{1+b^2}
&\frac{-b}{a(1+b^2)}\\
\frac{1}{1+b^2}
&\frac{-a}{1+b^2}
&\frac{b}{(1+b^2)} \\
\frac{-b}{a(1+b^2)}
&\frac{b}{(1+b^2)}&
\frac{1}{a
(1+b^2)}
\end{bmatrix} A − 1 = ⎣ ⎡ a ( 1 + b 2 ) b 2 1 + b 2 1 a ( 1 + b 2 ) − b 1 + b 2 1 1 + b 2 − a ( 1 + b 2 ) b a ( 1 + b 2 ) − b ( 1 + b 2 ) b a ( 1 + b 2 ) 1 ⎦ ⎤
d e t A = a ( 1 + b 2 ) detA=a(1+b^2) d e t A = a ( 1 + b 2 )
(b) R=4, R+2=6
{ x 1 − 3 x 3 = 6 2 x 1 + x 2 = 1 9 x 2 − 6 x 3 = − 2 } \begin{Bmatrix}
x_1-3x_3=6 \\
2x_1+x_2=1\\
9x_2-6x_3=-2
\end{Bmatrix} ⎩ ⎨ ⎧ x 1 − 3 x 3 = 6 2 x 1 + x 2 = 1 9 x 2 − 6 x 3 = − 2 ⎭ ⎬ ⎫
A = [ 1 0 − 3 2 1 0 0 9 − 6 ] B = [ 6 1 − 2 ] X = [ x 1 x 2 x 3 ] A X = B X = A − 1 B C = [ 1 0 − 3 ∣ 1 0 0 2 1 0 ∣ 0 1 0 0 9 − 6 ∣ 0 0 1 ] A=\begin{bmatrix}
1&0&-3 \\
2&1&0\\
0&9&-6
\end{bmatrix}
B=\begin{bmatrix}
6 \\
1\\-2
\end{bmatrix}
X=\begin{bmatrix}
x_1\\ x_2\\x_3\end{bmatrix}\\
AX=B\\
X=A^{-1}B\\
C=\begin{bmatrix}
1 & 0&-3|1&0&0 \\
2 &1&0|0&1&0\\
0&9&-6|0&0&1
\end{bmatrix} A = ⎣ ⎡ 1 2 0 0 1 9 − 3 0 − 6 ⎦ ⎤ B = ⎣ ⎡ 6 1 − 2 ⎦ ⎤ X = ⎣ ⎡ x 1 x 2 x 3 ⎦ ⎤ A X = B X = A − 1 B C = ⎣ ⎡ 1 2 0 0 1 9 − 3∣1 0∣0 − 6∣0 0 1 0 0 0 1 ⎦ ⎤
IIr+Ir(-2)
C = [ 1 0 − 3 ∣ 1 0 0 0 1 6 ∣ − 2 1 0 0 9 − 6 ∣ 0 0 1 ] C=\begin{bmatrix}
1 & 0&-3|1&0&0 \\
0 &1&6|-2&1&0\\
0&9&-6|0&0&1
\end{bmatrix} C = ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 9 − 3∣1 6∣ − 2 − 6∣0 0 1 0 0 0 1 ⎦ ⎤
IIIr+IIr(-9)
C = [ 1 0 − 3 ∣ 1 0 0 0 1 6 ∣ − 2 1 0 0 0 − 60 ∣ 18 − 9 1 ] C=\begin{bmatrix}
1 & 0&-3|1&0&0 \\
0 &1&6|-2&1&0\\
0&0&-60|18&-9
&1
\end{bmatrix} C = ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 0 − 3∣1 6∣ − 2 − 60∣18 0 1 − 9 0 0 1 ⎦ ⎤
IIIr⋅ 1 − 60 \cdot\frac{1}{-60} ⋅ − 60 1
C = [ 1 0 − 3 ∣ 1 0 0 0 1 6 ∣ − 2 1 0 0 0 1 ∣ − 3 10 3 20 − 1 60 ] C=\begin{bmatrix}
1 & 0&-3|1&0&0 \\
0 &1&6|-2&1&0\\
0&0&1|-\frac{3}{10}
&\frac{3}{20}&-\frac{1}{60}
\end{bmatrix} C = ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 0 − 3∣1 6∣ − 2 1∣ − 10 3 0 1 20 3 0 0 − 60 1 ⎦ ⎤
Ir+IIIr(3)
IIr+IIIr(-6)
C = [ 1 0 0 ∣ 1 10 9 20 − 1 20 0 1 0 ∣ − 1 5 − 1 10 − 1 60 0 0 1 ∣ − 3 10 3 20 − 1 60 ] C=\begin{bmatrix}
1 & 0&0|\frac{1}{10}&\frac{9}{20}&-\frac{1}{20}
\\
0 &1&0|-\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}&-\frac{1}{60}
\\
0&0&1|-\frac{3}{10}
&\frac{3}{20}&-\frac{1}{60}
\end{bmatrix} C = ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 0 0∣ 10 1 0∣ − 5 1 1∣ − 10 3 20 9 − 10 1 20 3 − 20 1 − 60 1 − 60 1 ⎦ ⎤
A − 1 = [ 1 10 9 20 − 1 20 − 1 5 − 1 10 − 1 60 − 3 10 3 20 − 1 60 ] A^{-1}=\begin{bmatrix}
\frac{1}{10}&\frac{9}{20}&-\frac{1}{20}
\\
-\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}&-\frac{1}{60}
\\
-\frac{3}{10}
&\frac{3}{20}&-\frac{1}{60}
\end{bmatrix} A − 1 = ⎣ ⎡ 10 1 − 5 1 − 10 3 20 9 − 10 1 20 3 − 20 1 − 60 1 − 60 1 ⎦ ⎤
X = [ 1 10 9 20 − 1 20 − 1 5 − 1 10 − 1 60 − 3 10 3 20 − 1 60 ] ⋅ [ 6 1 − 2 ] = = [ 23 20 − 38 30 − 97 60 ] X=\begin{bmatrix}
\frac{1}{10}&\frac{9}{20}&-\frac{1}{20}
\\
-\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}&-\frac{1}{60}
\\
-\frac{3}{10}
&\frac{3}{20}&-\frac{1}{60}
\end{bmatrix}\cdot
\begin{bmatrix}
6 \\1\\-2
\end{bmatrix}=\\
=\begin{bmatrix}
\frac{23}{20}\\
-\frac{38}{30}\\
-\frac{97}{60}
\end{bmatrix} X = ⎣ ⎡ 10 1 − 5 1 − 10 3 20 9 − 10 1 20 3 − 20 1 − 60 1 − 60 1 ⎦ ⎤ ⋅ ⎣ ⎡ 6 1 − 2 ⎦ ⎤ = = ⎣ ⎡ 20 23 − 30 38 − 60 97 ⎦ ⎤
(c)
d e t ( a d j ( A B − 1 ) ) = d e t ( a d j ( A ) ) d e t ( a d j ( B − 1 ) ) d e t ( a d j ( A ) ) = d e t ( A ) = a ( 1 + b 2 ) d e t ( B ) = R + 3 = 7 d e t ( a d j ( B − 1 ) ) = 1 7 d e t ( a d j ( A B − 1 ) ) = a ( 1 + b 2 ) 7 det(adj(AB^{-1}))=det(adj(A))det(adj(B^{-1}))\\
det(adj(A))=det(A)=a(1+b^2)\\
det(B)=R+3=7\\
det(adj(B^{-1}))=\frac{1}{7}\\
det(adj(AB^{-1}))=\frac{a(1+b^2)}{7} d e t ( a d j ( A B − 1 )) = d e t ( a d j ( A )) d e t ( a d j ( B − 1 )) d e t ( a d j ( A )) = d e t ( A ) = a ( 1 + b 2 ) d e t ( B ) = R + 3 = 7 d e t ( a d j ( B − 1 )) = 7 1 d e t ( a d j ( A B − 1 )) = 7 a ( 1 + b 2 )
Question 3
A = [ a 1 a 2 a 3 ] = [ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ] d e t A ≠ 0 B = [ 2 a 1 + 4 a 2 − 2 a 3 − a 1 − 4 a 2 + 3 a 3 a 2 − a 3 3 a 1 − 2 a 2 + 6 a 3 ] = = [ b 1 b 2 b 3 b 4 ] A=[a_1\quad
a_2\quad
a_3]=\begin{bmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}
\\
a_{21}&a_{22}&a_{23} \\
a_{31}&
a_{32}&a_{33}
\end{bmatrix}\\
detA\neq0\\
B=[2a_1+4a_2-2a_3\quad -a_1-4a_2+3a_3\\
\quad a_2-a_3\quad 3a_1-2a_2+6a_3]=\\
=\begin{bmatrix}
b_1\quad b_2 \quad b_3 \quad b_4
\end{bmatrix} A = [ a 1 a 2 a 3 ] = ⎣ ⎡ a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 ⎦ ⎤ d e t A = 0 B = [ 2 a 1 + 4 a 2 − 2 a 3 − a 1 − 4 a 2 + 3 a 3 a 2 − a 3 3 a 1 − 2 a 2 + 6 a 3 ] = = [ b 1 b 2 b 3 b 4 ]
b 1 = [ 2 a 11 + 4 a 12 − 2 a 13 2 a 21 + 4 a 22 − 2 a 23 2 a 31 + 4 a 32 − 2 a 33 ] b 2 = [ − a 11 − 4 a 12 + 3 a 13 − a 21 − 4 a 22 + 3 a 23 − a 31 − 4 a 32 + 3 a 33 ] b 3 = [ a 12 − a 13 a 22 − a 23 a 32 − a 33 ] b 4 = [ 3 a 11 − 2 a 12 + 6 a 13 3 a 21 − 2 a 22 + 6 a 23 3 a 31 − 2 a 32 + 6 a 33 ] b_1=\begin{bmatrix}
2a_{11}+4a_{12}-2a_{13}\\
2a_{21}+4a_{22}-2a_{23}\\
2a_{31}+4a_{32}-2a_{33}\\
\end{bmatrix}\\
b_2=\begin{bmatrix}
-a_{11}-4a_{12}+3a_{13}\\
-a_{21}-4a_{22}+3a_{23}\\
-a_{31}-4a_{32}+3a_{33}
\end{bmatrix}\\
b_3=\begin{bmatrix}
a_{12}-a_{13}\\
a_{22}-a_{23}\\
a_{32}-a_{33}
\end{bmatrix}\\
b_4=\begin{bmatrix}
3a_{11}-2a_{12}+6a_{13}\\
3a_{21}-2a_{22}+6a_{23}\\
3a_{31}-2a_{32}+6a_{33}
\end{bmatrix} b 1 = ⎣ ⎡ 2 a 11 + 4 a 12 − 2 a 13 2 a 21 + 4 a 22 − 2 a 23 2 a 31 + 4 a 32 − 2 a 33 ⎦ ⎤ b 2 = ⎣ ⎡ − a 11 − 4 a 12 + 3 a 13 − a 21 − 4 a 22 + 3 a 23 − a 31 − 4 a 32 + 3 a 33 ⎦ ⎤ b 3 = ⎣ ⎡ a 12 − a 13 a 22 − a 23 a 32 − a 33 ⎦ ⎤ b 4 = ⎣ ⎡ 3 a 11 − 2 a 12 + 6 a 13 3 a 21 − 2 a 22 + 6 a 23 3 a 31 − 2 a 32 + 6 a 33 ⎦ ⎤
B x = b B : 3 × 4 b : 3 × 1 x : 3 × 1 Bx=b\\
B:3\times4\\
b:3
\times1\\
x:3\times1 B x = b B : 3 × 4 b : 3 × 1 x : 3 × 1
#339914 on Dec 2023
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