Question

U(x,y)+iv(x,y) a. Z^2+2iz b. e^z2 c. In(1+z)

Answer 1

a)

$z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy$

$2iz=2i(x+iy)=-2y+2ix$

$z^2+2iz=x^2-y^2-2y+2ixy+2ix-(x^2-y^2-2y)+i(2x+2xy)$

$U=x^2-y^2-2y;\quad V=2x+2xy$

b)

$e^{z^2}=e^{(x+iy)^2}=e^{x^2-y^2+2ixy}=e^{x^2-y^2}e^{2ixy}=e^{x^2-y^2}(\cos(2xy)+i\sin(2xy))$

$U=e^{x^2-y^2}\cos(2xy);\quad V=e^{x^2-y^2}\sin(2xy)$

c)

$ln(1+z)=ln(1+x+iy)$

$lnz=ln|z|+i(\arg(z)+2\pi k)$

$|z+1|=\sqrt{(x+1)^2+y^2}$

$\arg(z+1)=\arctan\frac{y}{x+1}$

$ln(z+1)=ln\sqrt{(x+1)^2+y^2}+i(\arctan\frac{y}{x+1}+2\pi k)$

$U=ln\sqrt{(x+1)^2+y^2} ;\quad V=\arctan\frac{y}{x+1}+2\pi k$