B=(∇u)×(∇v)
A=21(u∇v−v∇u)
B=∇×A
for solenoidal vector field:
∇⋅B=0
∇u=∂x∂ui+∂y∂uj+∂z∂uk
∇v=∂x∂vi+∂y∂vj+∂z∂vk
B=(∇u)×(∇v)=∣∣i∂x∂u∂x∂vj∂y∂u∂y∂vk∂z∂u∂z∂v∣∣=
=(∂y∂u∂z∂v−∂y∂v∂z∂u)i−(∂x∂u∂z∂v−∂z∂u∂x∂v)j+(∂x∂u∂y∂v−∂y∂u∂x∂v)k=0
so, ∇⋅B=0
A=21(u∇v−v∇u)=21(u∂x∂vi+u∂y∂vj+u∂z∂vk−v∂x∂ui−v∂y∂uj−v∂z∂uk)
∇×A=[∂y∂(u∂z∂v−v∂z∂u)−∂z∂(u∂y∂v−v∂y∂u)]i+[∂z∂(u∂z∂v−v∂z∂u)−∂x∂(u∂z∂v−v∂z∂u)]j+
+[∂x∂(u∂y∂v−v∂y∂u)−∂y∂(u∂x∂v−v∂x∂u)]k=B
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