L [ f ( t ) ] = F ( s ) = ∫ 0 ∞ f ( t ) e − s t d t = ∫ 0 ∞ t 2 sin ( a t ) e − s t d t = lim A → ∞ ∫ 0 A t 2 sin ( a t ) e − s t d t = [ u = t d v = t sin ( a t ) e − s t d t d u = d t v = ∫ t sin ( a t ) e − s t d t ] − − ( ∗ ) \begin{aligned}
\mathcal{L}[f(t)] &=F(s)=\int_{0}^{\infty} f(t) e^{-s t} d t=\int_{0}^{\infty} t^{2} \sin (a t) e^{-s t} d t \\
&=\lim _{A \rightarrow \infty} \int_{0}^{A} t^{2} \sin (a t) e^{-s t} d t\\
&=\left[\begin{array}{cc}
u=t & d v=t \sin (a t) e^{-s t} d t \\
d u=d t & v=\int t \sin (a t) e^{-s t} d t
\end{array}\right]--(*)
\end{aligned} L [ f ( t )] = F ( s ) = ∫ 0 ∞ f ( t ) e − s t d t = ∫ 0 ∞ t 2 sin ( a t ) e − s t d t = A → ∞ lim ∫ 0 A t 2 sin ( a t ) e − s t d t = [ u = t d u = d t d v = t sin ( a t ) e − s t d t v = ∫ t sin ( a t ) e − s t d t ] − − ( ∗ )
v = ∫ t sin ( a t ) e − s t d t = 1 2 i [ ∫ t e ( i a − s ) t d t − ∫ t e − ( i a + s ) t d t ] = 1 2 i [ t e ( i a − s ) t i a − s − ∫ e ( i a − s ) t i a − s d t + t e − ( i a + s ) t i a + s − ∫ e − ( i a + s ) t i a + s d t ] = 1 2 i [ t e ( i a − s ) t i a − s − e ( i a − s ) t ( i a − s ) 2 + t e − ( i a + s ) t i a + s + e − ( i a + s ) t ( i a + s ) 2 ] − − ( i ) \begin{aligned}
v &=\int t \sin (a t) e^{-s t} d t=\frac{1}{2 i}\left[\int t e^{(i a-s) t} d t-\int t e^{-(i a+s) t} d t\right] \\
&=\frac{1}{2 i}\left[t \frac{e^{(i a-s) t}}{i a-s}-\int \frac{e^{(i a-s) t}}{i a-s} d t+t \frac{e^{-(i a+s) t}}{i a+s}-\int \frac{e^{-(i a+s) t}}{i a+s} d t\right] \\
&=\frac{1}{2 i}\left[t \frac{e^{(i a-s) t}}{i a-s}-\frac{e^{(i a-s) t}}{(i a-s)^{2}}+t \frac{e^{-(i a+s) t}}{i a+s}+\frac{e^{-(i a+s) t}}{(i a+s)^{2}}\right]
\end{aligned} --(i) v = ∫ t sin ( a t ) e − s t d t = 2 i 1 [ ∫ t e ( ia − s ) t d t − ∫ t e − ( ia + s ) t d t ] = 2 i 1 [ t ia − s e ( ia − s ) t − ∫ ia − s e ( ia − s ) t d t + t ia + s e − ( ia + s ) t − ∫ ia + s e − ( ia + s ) t d t ] = 2 i 1 [ t ia − s e ( ia − s ) t − ( ia − s ) 2 e ( ia − s ) t + t ia + s e − ( ia + s ) t + ( ia + s ) 2 e − ( ia + s ) t ] − − ( i )
Integrating v, we obtain;
∫ v d t = 1 2 i [ ∫ t e ( i a − s ) t i a − s d t − e ( i a − s ) t ( i a − s ) 3 + ∫ t e − ( i a + s ) t i a + s d t − e − ( i a + s ) t ( i a + s ) 3 ] − − ( i i ) \int v d t=\frac{1}{2 i}\left[\int t \frac{e^{(i a-s) t}}{i a-s} d t-\frac{e^{(i a-s) t}}{(i a-s)^{3}}+\int t \frac{e^{-(i a+s) t}}{i a+s} d t-\frac{e^{-(i a+s) t}}{(i a+s)^{3}}\right]--(ii) ∫ v d t = 2 i 1 [ ∫ t ia − s e ( ia − s ) t d t − ( ia − s ) 3 e ( ia − s ) t + ∫ t ia + s e − ( ia + s ) t d t − ( ia + s ) 3 e − ( ia + s ) t ] − − ( ii )
= 1 2 i { 1 i a − s [ t e ( i a − s ) t i a − s − e ( i a − s ) t ( i a − s ) 2 ] − e ( i a − s ) t ( i a − s ) 3 − 1 i a + s [ t e − ( i a + s ) t i a + s + e − ( i a + s ) t ( i a + s ) 2 ] − e − ( i a + s ) t ( i a + s ) 3 } = 1 2 i [ t e ( i a − s ) t ( i a − s ) 2 − 2 e ( i a − s ) t ( i a − s ) 3 − t e − ( i a + s ) t ( i a + s ) 2 − 2 e − ( i a + s ) t ( i a + s ) 3 ] \begin{array}{l}
=\frac{1}{2 i}\left\{\frac{1}{i a-s}\left[t \frac{e^{(i a-s) t}}{i a-s}-\frac{e^{(i a-s) t}}{(i a-s)^{2}}\right]-\frac{e^{(i a-s) t}}{(i a-s)^{3}}\right. \\
\left.-\frac{1}{i a+s}\left[t \frac{e^{-(i a+s) t}}{i a+s}+\frac{e^{-(i a+s) t}}{(i a+s)^{2}}\right]-\frac{e^{-(i a+s) t}}{(i a+s)^{3}}\right\} \\
=\frac{1}{2 i}\left[t \frac{e^{(i a-s) t}}{(i a-s)^{2}}-2 \frac{e^{(i a-s) t}}{(i a-s)^{3}}-t \frac{e^{-(i a+s) t}}{(i a+s)^{2}}-2 \frac{e^{-(i a+s) t}}{(i a+s)^{3}}\right]
\end{array} = 2 i 1 { ia − s 1 [ t ia − s e ( ia − s ) t − ( ia − s ) 2 e ( ia − s ) t ] − ( ia − s ) 3 e ( ia − s ) t − ia + s 1 [ t ia + s e − ( ia + s ) t + ( ia + s ) 2 e − ( ia + s ) t ] − ( ia + s ) 3 e − ( ia + s ) t } = 2 i 1 [ t ( ia − s ) 2 e ( ia − s ) t − 2 ( ia − s ) 3 e ( ia − s ) t − t ( ia + s ) 2 e − ( ia + s ) t − 2 ( ia + s ) 3 e − ( ia + s ) t ]
Returning back to the start and using 1 and 2, we have
lim A → ∞ ( u v ∣ 0 A − ∫ 0 A v d u ) = lim A → ∞ { t 2 i [ t e ( i a − s ) t i a − s − e ( i a − s ) t ( i a − s ) 2 + t e − ( i a + s ) t i a + s + e − ( i a + s ) t ( i a + s ) 2 ] ∣ 0 A − 1 2 i [ t e ( i a − s ) t ( i a − s ) 2 − 2 e ( i a − s ) t ( i a − s ) 3 − t e − ( i a + s ) t ( i a + s ) 2 − 2 e − ( i a + s ) t ( i a + s ) 3 ] ∣ 0 A } = lim A → ∞ { A 2 i [ A e ( i a − s ) A i a − s − e ( i a − s ) A ( i a − s ) 2 + A e − ( i a + s ) A i a + s + e − ( i a + s ) A ( i a + s ) 2 ] − 1 2 i [ A e ( i a − s ) A ( i a − s ) 2 − 2 e ( i a − s ) A ( i a − s ) 3 − A e − ( i a + s ) A ( i a + s ) 2 − 2 e − ( i a + s ) A ( i a + s ) 3 ] + 1 2 i [ − 2 1 ( i a − s ) 3 − 2 1 ( i a + s ) 3 ] } \begin{aligned}& \lim _{A \rightarrow \infty}\left(\left.u v\right|_{0} ^{A}-\int_{0}^{A} v d u\right) \\
=& \lim _{A \rightarrow \infty}\left\{\left.\frac{t}{2 i}\left[t \frac{e^{(i a-s) t}}{i a-s}-\frac{e^{(i a-s) t}}{(i a-s)^{2}}+t \frac{e^{-(i a+s) t}}{i a+s}+\frac{e^{-(i a+s) t}}{(i a+s)^{2}}\right]\right|_{0} ^{A}\right.\\
&\left.-\left.\frac{1}{2 i}\left[t \frac{e^{(i a-s) t}}{(i a-s)^{2}}-2 \frac{e^{(i a-s) t}}{(i a-s)^{3}}-t \frac{e^{-(i a+s) t}}{(i a+s)^{2}}-2 \frac{e^{-(i a+s) t}}{(i a+s)^{3}}\right]\right|_{0} ^{A}\right\} \\
=& \lim _{A \rightarrow \infty}\left\{\frac{A}{2 i}\left[\frac{A e^{(i a-s) A}}{i a-s}-\frac{e^{(i a-s) A}}{(i a-s)^{2}}+\frac{A e^{-(i a+s) A}}{i a+s}+\frac{e^{-(i a+s) A}}{(i a+s)^{2}}\right]\right.\\
&-\frac{1}{2 i}\left[\frac{A e^{(i a-s) A}}{(i a-s)^{2}}-2 \frac{e^{(i a-s) A}}{(i a-s)^{3}}-\frac{A e^{-(i a+s) A}}{(i a+s)^{2}}-2 \frac{e^{-(i a+s) A}}{(i a+s)^{3}}\right] \\
&\left.+\frac{1}{2 i}\left[-2 \frac{1}{(i a-s)^{3}}-2 \frac{1}{(i a+s)^{3}}\right]\right\}
\end{aligned} = = A → ∞ lim ( uv ∣ 0 A − ∫ 0 A v d u ) A → ∞ lim { 2 i t [ t ia − s e ( ia − s ) t − ( ia − s ) 2 e ( ia − s ) t + t ia + s e − ( ia + s ) t + ( ia + s ) 2 e − ( ia + s ) t ] ∣ ∣ 0 A − 2 i 1 [ t ( ia − s ) 2 e ( ia − s ) t − 2 ( ia − s ) 3 e ( ia − s ) t − t ( ia + s ) 2 e − ( ia + s ) t − 2 ( ia + s ) 3 e − ( ia + s ) t ] ∣ ∣ 0 A } A → ∞ lim { 2 i A [ ia − s A e ( ia − s ) A − ( ia − s ) 2 e ( ia − s ) A + ia + s A e − ( ia + s ) A + ( ia + s ) 2 e − ( ia + s ) A ] − 2 i 1 [ ( ia − s ) 2 A e ( ia − s ) A − 2 ( ia − s ) 3 e ( ia − s ) A − ( ia + s ) 2 A e − ( ia + s ) A − 2 ( ia + s ) 3 e − ( ia + s ) A ] + 2 i 1 [ − 2 ( ia − s ) 3 1 − 2 ( ia + s ) 3 1 ] }
F ( s ) = − 2 2 i [ 1 ( i a − s ) 3 + 1 ( i a + s ) 3 ] = − 1 i ( i a + s ) 3 + ( i a − s ) 3 [ ( i a − s ) ( i a + s ) ] 3 = − 1 i − i a 3 − 3 a 2 s + 3 i a s 2 + s 3 + ( − i a 3 + 3 a 2 s + 3 i a s 2 − s 3 ) ( − a 2 − s 2 ) 3 = − 1 i − 2 i a 3 + 6 i a s 2 − ( a 2 + s 2 ) 3 = 2 a ( 3 s 2 − a 2 ) ( a 2 + s 2 ) 3 \begin{aligned}
F(s) &=\frac{-2}{2 i}\left[\frac{1}{(i a-s)^{3}}+\frac{1}{(i a+s)^{3}}\right]=\frac{-1}{i} \frac{(i a+s)^{3}+(i a-s)^{3}}{[(i a-s)(i a+s)]^{3}} \\
&=\frac{-1}{i} \frac{-i a^{3}-3 a^{2} s+3 i a s^{2}+s^{3}+\left(-i a^{3}+3 a^{2} s+3 i a s^{2}-s^{3}\right)}{\left(-a^{2}-s^{2}\right)^{3}} \\
&=\frac{-1}{i} \frac{-2 i a^{3}+6 i a s^{2}}{-\left(a^{2}+s^{2}\right)^{3}}=\frac{2 a\left(3 s^{2}-a^{2}\right)}{\left(a^{2}+s^{2}\right)^{3}}
\end{aligned} F ( s ) = 2 i − 2 [ ( ia − s ) 3 1 + ( ia + s ) 3 1 ] = i − 1 [( ia − s ) ( ia + s ) ] 3 ( ia + s ) 3 + ( ia − s ) 3 = i − 1 ( − a 2 − s 2 ) 3 − i a 3 − 3 a 2 s + 3 ia s 2 + s 3 + ( − i a 3 + 3 a 2 s + 3 ia s 2 − s 3 ) = i − 1 − ( a 2 + s 2 ) 3 − 2 i a 3 + 6 ia s 2 = ( a 2 + s 2 ) 3 2 a ( 3 s 2 − a 2 )
#332078 on Oct 2022
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