Question

Derive the reduction formula

integeration(x²+a²)^n/2dx = x(x²+a²)^n/2÷n+1+ na²/n+1×integeration (x² +a²)^n/2-1dx

Use the formula to integrate integration(x²+a²)^5/2

Answer 1

$$\int udv=uv-\int vdu$$

$u=(x^2+a^2)^{n/2}, du=nx(x^2+a^2)^{n/2-1}dx$

$dv=dx, v=x$

$$\int (x^2+a^2)^{n/2}dx=x(x^2+a^2)^{n/2}-\int x^2n(x^2+a^2)^{n/2-1}dx$$

$$=x(x^2+a^2)^{n/2}-n\int (x^2+a^2)^{n/2}dx+na^2\int (x^2+a^2)^{n/2-1}dx$$

Then

$$\int (x^2+a^2)^{n/2}dx=\dfrac{1}{n+1}x(x^2+a^2)^{n/2}$$

$$+\dfrac{na^2}{n+1}\int(x^2+a^2)^{n/2-1}dx, n\not=-1$$

$n=5$

$$\int (x^2+a^2)^{5/2}dx=\dfrac{1}{6}x(x^2+a^2)^{5/2}$$

$$+\dfrac{5a^2}{6}\int(x^2+a^2)^{3/2}dx$$

$$\int(x^2+a^2)^{3/2}dx=\dfrac{1}{4}x(x^2+a^2)^{1/2}$$

$$+\dfrac{3a^2}{4}\int(x^2+a^2)^{1/2}dx$$

$$\int(x^2+a^2)^{1/2}dx=\dfrac{1}{2}x(x^2+a^2)^{1/2}$$

$$+\dfrac{a^2}{2}\int(x^2+a^2)^{-1/2}dx$$

$$\int(x^2+a^2)^{-1/2}dx=\ln(|a\sqrt{x^2+a^2}+|x||a||)+C_1$$

$$\int(x^2+a^2)^{1/2}dx=\dfrac{1}{2}x(x^2+a^2)^{1/2}$$

$$+\dfrac{a^2}{2}\ln(|a\sqrt{x^2+a^2}+|x||a||)+C_2$$