Given, f ( x ) = e − 3 x 2 x − 5 ( 6 − 5 x ) 4 f(x)=\dfrac{e^{-3x}\sqrt{2x-5}}{(6-5x)^{4}} f ( x ) = ( 6 − 5 x ) 4 e − 3 x 2 x − 5
ln f ( x ) = ln { e − 3 x 2 x − 5 ( 6 − 5 x ) 4 } = ln ( e − 3 x 2 x − 5 ) − ln ( 6 − 5 x ) 4 ( using ln ( a b ) = ln a − ln b ) ln f ( x ) = − 3 x + 1 2 ln ( 2 x − 5 ) − 4 ln ( 6 − 5 x ) ( using ln ( a b ) = ln a + ln b , ln e x = x and ln a b = b ln a ) \ln f(x)=\ln\bigg\{\dfrac{e^{-3x}\sqrt{2x-5}}{(6-5x)^{4}}\bigg\}\\~
\\~~~~~~~~~~~~~=\ln (e^{-3x}\sqrt{2x-5}) - \ln (6-5x)^{4}~~~(\text{using}~\ln (\frac{a}{b})=\ln a- \ln b)\\~\\\ln f(x)=-3x+\dfrac{1}{2}\ln(2x-5)-4\ln(6-5x)\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(\text{using $\ln (ab)=\ln a + \ln b, \ln e^{x} = x$ and $\ln a^{b} = b \ln a$) }\\~\\ ln f ( x ) = ln { ( 6 − 5 x ) 4 e − 3 x 2 x − 5 } = ln ( e − 3 x 2 x − 5 ) − ln ( 6 − 5 x ) 4 ( using ln ( b a ) = ln a − ln b ) ln f ( x ) = − 3 x + 2 1 ln ( 2 x − 5 ) − 4 ln ( 6 − 5 x ) ( using ln ( ab ) = ln a + ln b , ln e x = x and ln a b = b ln a )
Differentiating with respect to x,
f ′ ( x ) f ( x ) = − 3 + 1 2 ⋅ 1 2 x − 5 ⋅ 2 − 4 ⋅ 1 6 − 5 x ⋅ ( − 5 ) f ′ ( x ) = f ( x ) { − 3 + 1 2 x − 5 + 20 6 − 5 x } = f ( x ) { − 3 ( 2 x − 5 ) ( 6 − 5 x ) + 6 − 5 x + 20 ( 2 x − 5 ) ( 2 x − 5 ) ( 6 − 5 x ) } f ′ ( x ) = e − 3 x 2 x − 5 ( 6 − 5 x ) 4 { 30 x 2 − 76 x − 4 ( 2 x − 5 ) ( 6 − 5 x ) } f ′ ( x ) = 2 e − 3 x { 15 x 2 − 38 x − 2 2 x − 5 ( 6 − 5 x ) 5 } \dfrac{f'(x)}{f(x)} = -3 + \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2x-5}\cdot 2 - 4 \cdot \dfrac{1}{6-5x}\cdot (-5)\\~\\
f'(x) = f(x)\bigg\{ -3 + \dfrac{1}{2x-5} + \dfrac{20}{6-5x}\bigg\}\\~\\
~~~~~~~~~~=f(x)\bigg\{ \dfrac{-3(2x-5)(6-5x)+6-5x+20(2x-5)}{(2x-5)(6-5x)}\bigg\}\\~\\
f'(x)=\dfrac{e^{-3x}\sqrt{2x-5}}{(6-5x)^{4}}\bigg\{ \dfrac{30x^{2}-76x-4}{(2x-5)(6-5x)}\bigg\}\\~\\
f'(x)=2e^{-3x}\bigg\{ \dfrac{15x^{2}-38x-2}{\sqrt{2x-5}(6-5x)^{5}}\bigg\} f ( x ) f ′ ( x ) = − 3 + 2 1 ⋅ 2 x − 5 1 ⋅ 2 − 4 ⋅ 6 − 5 x 1 ⋅ ( − 5 ) f ′ ( x ) = f ( x ) { − 3 + 2 x − 5 1 + 6 − 5 x 20 } = f ( x ) { ( 2 x − 5 ) ( 6 − 5 x ) − 3 ( 2 x − 5 ) ( 6 − 5 x ) + 6 − 5 x + 20 ( 2 x − 5 ) } f ′ ( x ) = ( 6 − 5 x ) 4 e − 3 x 2 x − 5 { ( 2 x − 5 ) ( 6 − 5 x ) 30 x 2 − 76 x − 4 } f ′ ( x ) = 2 e − 3 x { 2 x − 5 ( 6 − 5 x ) 5 15 x 2 − 38 x − 2 }
#339914 on Dec 2023
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