We have an explicitly defined function f ( y ) = y 2 f(y) = y^2 f ( y ) = y 2 .
So the length of this curve on the segment y ∈ [ 0 , 1 ] y \in [0, 1] y ∈ [ 0 , 1 ] will be calculated using the formula:
L = ∫ 0 1 1 + f ′ ( y ) 2 d y L = \intop_0^1\sqrt{1 + {f'(y)}^2}dy L = ∫ 0 1 1 + f ′ ( y ) 2 d y , then f ′ ( y ) = 2 y f'(y) = 2y f ′ ( y ) = 2 y ⟹ L = ∫ 0 1 1 + 4 y 2 d y \implies L = \intop_0^1\sqrt{1 + 4y^2}dy ⟹ L = ∫ 0 1 1 + 4 y 2 d y .
∫ 0 1 1 + 4 y 2 d y = \intop_0^1\sqrt{1 + 4y^2}dy = ∫ 0 1 1 + 4 y 2 d y =
= [ u = 1 + 4 y 2 d u = 4 y 1 + 4 y 2 d v = d y d = y ] = y 1 + 4 y 2 ∣ 0 1 − = \begin{bmatrix}
u=\sqrt{1 + 4y^2} & du=\frac{4y}{\sqrt{1 + 4y^2} }\\
dv = dy & d = y
\end{bmatrix}
= y\sqrt{1+4y^2}\mid_0^1- = [ u = 1 + 4 y 2 d v = d y d u = 1 + 4 y 2 4 y d = y ] = y 1 + 4 y 2 ∣ 0 1 −
− ∫ 0 1 4 y 2 1 + 4 y 2 d y - \int_0^1\frac{4y^2}{\sqrt{1+4y^2}}dy − ∫ 0 1 1 + 4 y 2 4 y 2 d y .
∫ 0 1 4 y 2 1 + 4 y 2 d y = ∫ 0 1 1 + 4 y 2 − 1 1 + 4 y 2 d y = ∫ 0 1 1 + 4 y 2 d y − \int_0^1\frac{4y^2}{\sqrt{1+4y^2}}dy = \int_0^1\frac{1+4y^2-1}{\sqrt{1+4y^2}}dy =\int_0^1\sqrt{1+4y^2}dy - ∫ 0 1 1 + 4 y 2 4 y 2 d y = ∫ 0 1 1 + 4 y 2 1 + 4 y 2 − 1 d y = ∫ 0 1 1 + 4 y 2 d y −
− ∫ 0 1 d y 1 + 4 y 2 -\int_0^1\frac{dy}{\sqrt{1+4y^2}} − ∫ 0 1 1 + 4 y 2 d y .
So, L = y 1 + 4 y 2 ∣ 0 1 − L + ∫ 0 1 d y 1 + 4 y 2 L= y\sqrt{1+4y^2}\mid_0^1-L +\int_0^1\frac{dy}{\sqrt{1+4y^2}} L = y 1 + 4 y 2 ∣ 0 1 − L + ∫ 0 1 1 + 4 y 2 d y .
2 L = y 1 + 4 y 2 ∣ 0 1 + ∫ 0 1 d y 1 + 4 y 2 2L = y\sqrt{1+4y^2}\mid_0^1+\int_0^1\frac{dy}{\sqrt{1+4y^2}} 2 L = y 1 + 4 y 2 ∣ 0 1 + ∫ 0 1 1 + 4 y 2 d y .
L = 5 2 + 1 2 × 1 2 ∫ 0 1 d ( 2 y ) 1 + ( 2 y ) 2 L = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\int_0^1\frac{d(2y)}{\sqrt{1+(2y)^2}} L = 2 5 + 2 1 × 2 1 ∫ 0 1 1 + ( 2 y ) 2 d ( 2 y ) .
L = 5 2 + 1 4 l n ∣ 2 y + 1 + 4 y 2 ∣ ∣ 0 1 L = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{4}ln\mid2y + \sqrt{1+4y^2}\mid\vert_0^1 L = 2 5 + 4 1 l n ∣ 2 y + 1 + 4 y 2 ∣ ∣ 0 1 .
L = 5 2 + 1 4 l n ∣ 2 + 5 ∣ − 1 4 l n ∣ 1 ∣ L = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{4}ln\mid2+\sqrt{5}\mid - \frac{1}{4}ln\mid1\mid L = 2 5 + 4 1 l n ∣ 2 + 5 ∣ − 4 1 l n ∣ 1 ∣ .
But l n ∣ 1 ∣ = 0 ln\mid1\mid = 0 l n ∣ 1 ∣= 0 , then
L = 5 2 + 1 4 l n ∣ 2 + 5 ∣ ≈ 1.4789 L = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{4}ln\mid2+\sqrt{5}\mid \approx1.4789 L = 2 5 + 4 1 l n ∣ 2 + 5 ∣≈ 1.4789 .
Answer: 1.4789
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