Initial system is : 2x + y + z = 4
x - y + 2z = 2
3x - 2y - z = 0
x = d e t x d e t y = d e t y d e t z = d e t z d e t x = \frac{det_x}{det} \quad y = \frac{det_y}{det} \quad z = \frac{det_z}{det} x = d e t d e t x y = d e t d e t y z = d e t d e t z
d e t ( 2 1 1 1 − 1 2 3 − 2 − 1 ) = 2 ∣ − 1 2 − 2 − 1 ∣ − 1 ∣ 1 2 3 − 1 ∣ + 1 ∣ 1 − 1 3 − 2 ∣ det \begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 2 \\
3 & -2 & -1
\end{pmatrix} = 2 \begin{vmatrix}
-1 & 2 \\
-2 & -1
\end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix}
1 & 2 \\
3 & -1
\end{vmatrix} + 1\begin{vmatrix}
1 & -1 \\
3 & -2
\end{vmatrix} d e t ⎝ ⎛ 2 1 3 1 − 1 − 2 1 2 − 1 ⎠ ⎞ = 2 ∣ ∣ − 1 − 2 2 − 1 ∣ ∣ − 1 ∣ ∣ 1 3 2 − 1 ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ 1 3 − 1 − 2 ∣ ∣
2 ( − 1 ∗ − 1 − 2 ∗ − 2 ) − 1 ( 1 ∗ − 1 − 2 ∗ 3 ) + 1 ( 1 ∗ − 2 − ( − 1 ) ∗ 3 ) = 10 + 7 + 1 = 18 2( -1*-1 - 2 * -2) - 1(1*-1 - 2*3) + 1(1*-2 - (-1)*3) = 10 + 7 + 1 = 18 2 ( − 1 ∗ − 1 − 2 ∗ − 2 ) − 1 ( 1 ∗ − 1 − 2 ∗ 3 ) + 1 ( 1 ∗ − 2 − ( − 1 ) ∗ 3 ) = 10 + 7 + 1 = 18
d e t x = d e t ( 4 1 1 2 − 1 2 0 − 2 − 1 ) = 4 ∣ − 1 2 − 2 − 1 ∣ − 1 ∣ 2 2 0 − 1 ∣ + 1 ∣ 2 − 1 0 − 2 ∣ det_x = det \begin{pmatrix}
4 & 1 & 1 \\
2 & -1 & 2 \\
0 & -2 & -1
\end{pmatrix} = 4 \begin{vmatrix}
-1 & 2 \\
-2 & -1
\end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix}
2 & 2 \\
0 & -1
\end{vmatrix} + 1\begin{vmatrix}
2 & -1 \\
0 & -2
\end{vmatrix} d e t x = d e t ⎝ ⎛ 4 2 0 1 − 1 − 2 1 2 − 1 ⎠ ⎞ = 4 ∣ ∣ − 1 − 2 2 − 1 ∣ ∣ − 1 ∣ ∣ 2 0 2 − 1 ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ 2 0 − 1 − 2 ∣ ∣
4 ( − 1 ∗ − 1 − 2 ∗ − 2 ) − 1 ( 2 ∗ − 1 − 2 ∗ 0 ) + 1 ( 2 ∗ − 2 − ( − 1 ) ∗ 0 ) = 20 + 2 − 4 = 18 4(-1 *-1 - 2*-2) - 1(2*-1 - 2*0) + 1(2*-2 - (-1)*0) = 20 + 2 - 4 = 18 4 ( − 1 ∗ − 1 − 2 ∗ − 2 ) − 1 ( 2 ∗ − 1 − 2 ∗ 0 ) + 1 ( 2 ∗ − 2 − ( − 1 ) ∗ 0 ) = 20 + 2 − 4 = 18
d e t y = d e t ( 2 4 1 1 2 2 3 0 − 1 ) = 2 ∣ 2 2 0 − 1 ∣ − 4 ∣ 1 2 3 − 1 ∣ + 1 ∣ 1 2 3 0 ∣ det_y = det \begin{pmatrix}
2 & 4 & 1 \\
1 & 2 & 2 \\
3 & 0 & -1
\end{pmatrix} = 2 \begin{vmatrix}
2 & 2 \\
0 & -1
\end{vmatrix} - 4\begin{vmatrix}
1 & 2 \\
3 & -1
\end{vmatrix} + 1\begin{vmatrix}
1 & 2 \\
3 & 0
\end{vmatrix} d e t y = d e t ⎝ ⎛ 2 1 3 4 2 0 1 2 − 1 ⎠ ⎞ = 2 ∣ ∣ 2 0 2 − 1 ∣ ∣ − 4 ∣ ∣ 1 3 2 − 1 ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ 1 3 2 0 ∣ ∣
2 ( 2 ∗ − 1 − 2 ∗ 0 ) − 4 ( 1 ∗ − 1 − 2 ∗ 3 ) + 1 ( 1 ∗ 0 − 2 ∗ 3 ) = − 4 + 28 − 6 = 18 2(2*-1 - 2*0) - 4(1*-1 - 2*3) + 1(1*0 - 2*3) = -4 + 28 - 6 = 18 2 ( 2 ∗ − 1 − 2 ∗ 0 ) − 4 ( 1 ∗ − 1 − 2 ∗ 3 ) + 1 ( 1 ∗ 0 − 2 ∗ 3 ) = − 4 + 28 − 6 = 18
d e t z = d e t ( 2 1 4 1 − 1 2 3 − 2 0 ) = 2 ∣ − 1 2 − 2 0 ∣ − 1 ∣ 1 2 3 0 ∣ + 4 ∣ 1 − 1 3 − 2 ∣ det_z = det \begin{pmatrix}
2 & 1 & 4 \\
1 & -1 & 2 \\
3 & -2 & 0
\end{pmatrix} = 2 \begin{vmatrix}
-1 & 2 \\
-2 & 0
\end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix}
1 & 2 \\
3 & 0
\end{vmatrix} + 4\begin{vmatrix}
1 & -1 \\
3 & -2
\end{vmatrix} d e t z = d e t ⎝ ⎛ 2 1 3 1 − 1 − 2 4 2 0 ⎠ ⎞ = 2 ∣ ∣ − 1 − 2 2 0 ∣ ∣ − 1 ∣ ∣ 1 3 2 0 ∣ ∣ + 4 ∣ ∣ 1 3 − 1 − 2 ∣ ∣
2 ( − 1 ∗ 0 − 2 ∗ − 2 ) − 1 ( 1 ∗ 0 − 2 ∗ 3 ) + 4 ( 1 ∗ − 2 − ( − 1 ) ∗ 3 ) = 8 + 6 + 4 = 18 2(-1*0 - 2*-2) - 1(1*0 - 2*3) + 4(1*-2 - (-1)*3) = 8 + 6 + 4 = 18 2 ( − 1 ∗ 0 − 2 ∗ − 2 ) − 1 ( 1 ∗ 0 − 2 ∗ 3 ) + 4 ( 1 ∗ − 2 − ( − 1 ) ∗ 3 ) = 8 + 6 + 4 = 18
x = d e t x d e t y = d e t y d e t z = d e t z d e t x = \frac{det_x}{det} \quad y = \frac{det_y}{det} \quad z = \frac{det_z}{det} x = d e t d e t x y = d e t d e t y z = d e t d e t z
x = 18 18 y = 18 18 = 1 z = 18 18 = 1 x = \frac{18}{18} \quad y = \frac{18}{18} = 1 \quad z= \frac{18}{18} = 1 x = 18 18 y = 18 18 = 1 z = 18 18 = 1
#340153 on Dec 2023
Comments