x + y − 2 + ( 2 x − 3 y + 1 ) d y d x = 0 x+y-2+\left(2x-3y+1\right)\frac{dy}{dx}=0 x + y − 2 + ( 2 x − 3 y + 1 ) d x d y = 0
x + y − 2 + ( 2 x − 3 y + 1 ) y ′ = 0 x+y-2+\left(2x-3y+1\right)y'\:=0 x + y − 2 + ( 2 x − 3 y + 1 ) y ′ = 0
x + y − 2 + ( 2 x − 3 y + 1 ) y ′ − ( x + y ) = 0 − ( x + y ) x+y-2+\left(2x-3y+1\right)y'\:-\left(x+y\right)=0-\left(x+y\right) x + y − 2 + ( 2 x − 3 y + 1 ) y ′ − ( x + y ) = 0 − ( x + y )
− 2 + ( 2 x − 3 y + 1 ) y ′ = − ( x + y ) -2+\left(2x-3y+1\right)y'\:=-\left(x+y\right) − 2 + ( 2 x − 3 y + 1 ) y ′ = − ( x + y )
− 2 + ( 2 x − 3 y + 1 ) y ′ + 2 = − ( x + y ) + 2 -2+\left(2x-3y+1\right)y'\:+2=-\left(x+y\right)+2 − 2 + ( 2 x − 3 y + 1 ) y ′ + 2 = − ( x + y ) + 2
( 2 x − 3 y + 1 ) y ′ = − x − y + 2 \left(2x-3y+1\right)y'\:=-x-y+2 ( 2 x − 3 y + 1 ) y ′ = − x − y + 2
( 2 x − 3 y + 1 ) y ′ 2 x − 3 y + 1 = − x 2 x − 3 y + 1 − y 2 x − 3 y + 1 + 2 2 x − 3 y + 1 \frac{\left(2x-3y+1\right)y'\:}{2x-3y+1}=-\frac{x}{2x-3y+1}-\frac{y}{2x-3y+1}+\frac{2}{2x-3y+1} 2 x − 3 y + 1 ( 2 x − 3 y + 1 ) y ′ = − 2 x − 3 y + 1 x − 2 x − 3 y + 1 y + 2 x − 3 y + 1 2
y ′ = − x − y + 2 2 x − 3 y + 1 y'\:=\frac{-x-y+2}{2x-3y+1} y ′ = 2 x − 3 y + 1 − x − y + 2
( − x + 2 − 2 x v − v − 3 v + 1 ) ′ = − x − − x + 2 − 2 x v − v − 3 v + 1 + 2 2 x − 3 ⋅ − x + 2 − 2 x v − v − 3 v + 1 + 1 \left(\frac{-x+2-2xv-v}{-3v+1}\right)'\:=\frac{-x-\frac{-x+2-2xv-v}{-3v+1}+2}{2x-3\cdot \frac{-x+2-2xv-v}{-3v+1}+1} ( − 3 v + 1 − x + 2 − 2 xv − v ) ′ = 2 x − 3 ⋅ − 3 v + 1 − x + 2 − 2 xv − v + 1 − x − − 3 v + 1 − x + 2 − 2 xv − v + 2
( − x + 2 − 2 x v − v − 3 v + 1 ) ′ = v \left(\frac{-x+2-2xv-v}{-3v+1}\right)'\:=v ( − 3 v + 1 − x + 2 − 2 xv − v ) ′ = v
( − x + 2 − 2 x v − v − 3 v + 1 ) ′ \left(\frac{-x+2-2xv-v}{-3v+1}\right)'\: ( − 3 v + 1 − x + 2 − 2 xv − v ) ′
= ( − x + 2 − 2 x v − v ) ′ ( − 3 v + 1 ) − ( − 3 v + 1 ) ′ ( − x + 2 − 2 x v − v ) ( − 3 v + 1 ) 2 =\frac{\left(-x+2-2xv-v\right)'\left(-3v+1\right)-\left(-3v+1\right)'\left(-x+2-2xv-v\right)}{\left(-3v+1\right)^2} = ( − 3 v + 1 ) 2 ( − x + 2 − 2 xv − v ) ′ ( − 3 v + 1 ) − ( − 3 v + 1 ) ′ ( − x + 2 − 2 xv − v )
− 5 x v ′ + 5 v ′ + 6 v 2 + v − 1 ( − 3 v + 1 ) 2 = v \frac{-5xv'\:+5v'\:+6v^2+v-1}{\left(-3v+1\right)^2}=v ( − 3 v + 1 ) 2 − 5 x v ′ + 5 v ′ + 6 v 2 + v − 1 = v
1 9 v 3 − 12 v 2 + 1 v ′ = 1 − 5 x + 5 \frac{1}{9v^3-12v^2+1}v'\:=\frac{1}{-5x+5} 9 v 3 − 12 v 2 + 1 1 v ′ = − 5 x + 5 1
− 1 5 ln ( 3 v − 1 ) + 2 5 ( 1 4 ln ( 36 v 2 − 36 v − 12 ) + 1 4 21 ( ln ∣ 3 ( 2 v − 1 ) 7 + 1 ∣ − ln ∣ 3 ( 2 v − 1 ) 7 − 1 ∣ ) ) = − 1 5 ln ( − 5 x + 5 ) + C 1 -\frac{1}{5}\ln \left(3v-1\right)+\frac{2}{5}\left(\frac{1}{4}\ln \left(36v^2-36v-12\right)+\frac{1}{4\sqrt{21}}\left(\ln \left|\frac{\sqrt{3}\left(2v-1\right)}{\sqrt{7}}+1\right|-\ln \left|\frac{\sqrt{3}\left(2v-1\right)}{\sqrt{7}}-1\right|\right)\right)=-\frac{1}{5}\ln(-5x+5)+C_1 − 5 1 ln ( 3 v − 1 ) + 5 2 ( 4 1 ln ( 36 v 2 − 36 v − 12 ) + 4 21 1 ( ln ∣ ∣ 7 3 ( 2 v − 1 ) + 1 ∣ ∣ − ln ∣ ∣ 7 3 ( 2 v − 1 ) − 1 ∣ ∣ ) ) = − 5 1 ln ( − 5 x + 5 ) + C 1
#340153 on Dec 2023
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