ANSWER
To prove the statement, we use the definitions:
Definition 1 Let { ( x n , y n ) } \left\{ \left( { x }_{ n\ },{y}_{n} \right) \right\} { ( x n , y n ) } is a sequence in R 2 \R^{2} R 2 . We say that ( x n , y n ) \left( { x }_{ n\quad },{ y }_{ n } \right) ( x n , y n ) convergens to ( x 0 , y 0 ) \left( { x }_{0\ },{ y }_{ 0 } \right) ( x 0 , y 0 ) and write ( x n , y n ) → ( x 0 , y 0 ) \left( { x }_{ n\ },{ y }_{ n } \right) \rightarrow \left( { x }_{ 0\ },{ y }_{ 0 } \right) ( x n , y n ) → ( x 0 , y 0 ) if for every ε > 0 \varepsilon >0\quad ε > 0 there is an N 0 ∈ N N_{0}\in \N N 0 ∈ N such that for all n ∈ N , n\in \N, n ∈ N , if n > N 0 n>N_{0} n > N 0 , then
∥ ( x n , y n ) − ( x 0 , y 0 ) ∥ = ( x n − x 0 ) 2 + ( y n − y 0 ) 2 < ε \left\| \left( { x }_{ n\quad },{ y }_{ n } \right) -\left( { x }_{ 0\quad },{ y }_{ 0 } \right) \right\| =\sqrt { { \left( { x }_{ n }-{ x }_{ 0\quad } \right) }^{ 2 }+{ \left( { y }_{ n }-{ y }_{ 0\quad } \right) }^{ 2 } } <\varepsilon ∥ ( x n , y n ) − ( x 0 , y 0 ) ∥ = ( x n − x 0 ) 2 + ( y n − y 0 ) 2 < ε
Definition 2 Let { ( x n ) } \left\{ \left( { x }_{ n }\right ) \right\} { ( x n ) } is a sequence in R \R R . We say that ( x n ) \left( { x }_{ n } \right) ( x n ) convergens to ( x 0 ) \left( { x }_{0\ } \right) ( x 0 ) and write x n → x 0 { x }_{ n } \rightarrow { x }_{ 0 } x n → x 0 if for every ε > 0 \varepsilon >0\quad ε > 0 there is an N x ∈ N N_{x}\in \N N x ∈ N such that for all n ∈ N n\in\N n ∈ N if n > N x n>N_{x} n > N x , then
∣ x n − x 0 ∣ < ε |x_{ n }-x_{ 0 }|<\varepsilon ∣ x n − x 0 ∣ < ε
1) Let ( x n , y n ) → ( x 0 , y 0 ) \left( { x }_{ n\ },{ y }_{ n } \right) \rightarrow \left( { x }_{ 0\ },{ y }_{ 0 } \right) ( x n , y n ) → ( x 0 , y 0 ) .If ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 and n > N 0 n>N_{0} n > N 0 , such that ∥ ( x n , y n ) − ( x 0 , y 0 ) ∥ < ε \left\| \left( { x }_{ n\quad },{ y }_{ n } \right) -\left( { x }_{ 0\quad },{ y }_{ 0 } \right) \right\| <\varepsilon ∥ ( x n , y n ) − ( x 0 , y 0 ) ∥ < ε ,then for all n > N 0 n>N_{0} n > N 0 :
∣ x n − x 0 ∣ = ( x n − x 0 ) 2 ≤ ( x n − x 0 ) 2 + ( y n − y 0 ) 2 = ∥ ( x n , y n ) − ( x 0 , y 0 ) ∥ < ε |{ x }_{ n }-{ x }_{ 0\quad }|\quad =\sqrt { { \left( { x }_{ n }-{ x }_{ 0\quad } \right) }^{ 2 }\quad } \le \sqrt { { \left( { x }_{ n }-{ x }_{ 0\quad } \right) }^{ 2 }+{ \left( { y }_{ n }-{ y }_{ 0\quad } \right) }^{ 2 } } =\left\| \left( { x }_{ n\quad },{ y }_{ n } \right) -\left( { x }_{ 0\quad },{ y }_{ 0 } \right) \right\|<\varepsilon ∣ x n − x 0 ∣ = ( x n − x 0 ) 2 ≤ ( x n − x 0 ) 2 + ( y n − y 0 ) 2 = ∥ ( x n , y n ) − ( x 0 , y 0 ) ∥ < ε
and ∣ y n − y 0 ∣ = ( y n − y 0 ) 2 ≤ ( x n − x 0 ) 2 + ( y n − y 0 ) 2 = ∥ ( x n , y n ) − ( x 0 , y 0 ) ∥ < ε |{ y }_{ n }-{ y }_{ 0\ }|\quad =\sqrt { { \left( { y }_{ n }-{ y }_{ 0\quad } \right) }^{ 2 } } \le \sqrt { { \left( { x }_{ n }-{ x }_{ 0\quad } \right) }^{ 2 }+{ \left( { y }_{ n }-{ y }_{ 0\quad } \right) }^{ 2 } } =\left\| \left( { x }_{ n\quad },{ y }_{ n } \right) -\left( { x }_{ 0\quad },{ y }_{ 0 } \right) \right\| <\varepsilon ∣ y n − y 0 ∣ = ( y n − y 0 ) 2 ≤ ( x n − x 0 ) 2 + ( y n − y 0 ) 2 = ∥ ( x n , y n ) − ( x 0 , y 0 ) ∥ < ε
Therefore, by the definition 2 x n → x 0 { x }_{ n } \rightarrow { x }_{ 0 } x n → x 0 and y n → y 0 {y }_{ n } \rightarrow { y }_{ 0 } y n → y 0
2) If x n → x 0 { x }_{ n } \rightarrow { x }_{ 0 } x n → x 0 and y n → y 0 {y }_{ n } \rightarrow { y }_{ 0 } y n → y 0 , then by the definition 2 , for every ε > 0 \varepsilon >0\quad ε > 0 there is an N x , N y ∈ N N_{x}, N_{y}\in \N N x , N y ∈ N such that for all n ∈ N , n\in \N, n ∈ N , if n > N x n>N_{x} n > N x , then
∣ x n − x 0 ∣ < ε 2 |x_{n} -x_{0}|<\frac { \varepsilon }{ \sqrt { 2 } } ∣ x n − x 0 ∣ < 2 ε
and if n > N y n>N_{y} n > N y , then
∣ y n − y 0 ∣ < ε 2 |y_{n} -y_{0}|<\frac { \varepsilon }{ \sqrt { 2 } } ∣ y n − y 0 ∣ < 2 ε .
Let N 0 = max { N x , N y } { N }_{ 0 }=\max { \left\{ N_{ x },\quad N_{ y } \right\} } N 0 = max { N x , N y } . Since N 0 > N x , N 0 > N y N_{0}>N_{x}, N_{0}>N_{y} N 0 > N x , N 0 > N y , then for all n > N 0 n>N_{0} n > N 0 ( ⇒ n > N x , n > N y ) (\Rightarrow n>N_{x}, n>N_{y}) ( ⇒ n > N x , n > N y )
∥ ( x n , y n ) − ( x 0 , y 0 ) ∥ = ( x n − x 0 ) 2 + ( y n − y 0 ) 2 < ε 2 2 + ε 2 2 = ε \left\| \left( { x }_{ n\quad },{ y }_{ n } \right) -\left( { x }_{ 0\quad },{ y }_{ 0 } \right) \right\| =\sqrt { { \left( { x }_{ n }-{ x }_{ 0\quad } \right) }^{ 2 }+{ \left( { y }_{ n }-{ y }_{ 0\quad } \right) }^{ 2 } } <\sqrt { \frac { { \varepsilon }^{ 2 } }{ 2 } +\frac { { \varepsilon }^{ 2 } }{ 2 } } =\varepsilon ∥ ( x n , y n ) − ( x 0 , y 0 ) ∥ = ( x n − x 0 ) 2 + ( y n − y 0 ) 2 < 2 ε 2 + 2 ε 2 = ε .
Therefore, by the definition 1, ( x n , y n ) → ( x 0 , y 0 ) \left( { x }_{ n\ },{ y }_{ n } \right) \rightarrow \left( { x }_{ 0\ },{ y }_{ 0 } \right) ( x n , y n ) → ( x 0 , y 0 ) .
Hence, 1 ) ⇔ 2 ) 1)\Leftrightarrow 2) 1 ) ⇔ 2 ) .
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