e x a c t q u e s t i o n i s T h e f i r s t f o u r m o m e n t s o f a d i s t r i b u t i o n a b o u t t h e v a l u e 5 o f a v a r i a b l e a r e 2 , 20 , 40 , a n d 50 . c a l c u l a t e d f i r s t f o u r c e n t r a l m o m e n t s a b o u t t h e m e a n a n d β 1 a n d β 2 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − s o l u t i o n L e t r t h m o m e n t o f a v a r i a b l e x a b o u t 5 i s μ r ′ = E ( x r − 5 ) r a n d l e f t r t h m o m e n t o f x a b o u t i t s m e a n b e μ r = E ( x r − 5 ) r . s o μ 1 ′ = 2 ⟹ E ( x i ) − 5 = 2 ⟹ E ( x i ) = x ˉ = 2 + 5 = 7 S o , − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − f i r s t m o m e n t a b o u t m e a n = μ 1 = E ( x i − x ˉ ) = E ( x i ) − x ˉ = 7 − 7 = 0... ( 1 ) − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − 2 n d m o m e n t a b o u t m e a n = μ 2 = E ( x i − x ˉ ) 2 = E ( x i − 7 ) 2 = E [ ( x i − 5 ) + ( 5 − 7 ) ] 2 = E [ ( x i − 5 ) − 2 ] 2 = E ( x i − 5 ) 2 − 4 E ( x i − 5 ) + 4 = μ 2 ′ − 4 μ 1 ′ + 4 = 20 − 4 × 2 + 4 = 20 − 8 + 4 = 16.... ( 2 ) − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − 3 r d m o m e n t a b o u t m e a n = μ 3 = E ( x i − 7 ) 3 = E [ ( x i − 5 ) + ( 5 − 7 ) ] 3 = E [ ( x i − 5 ) − 2 ] 3 = E [ ( x i − 5 ) 3 − 3 ( x − 5 ) 2 × 2 + 3 ( x i − 5 ) × 2 2 − 2 3 ] = E ( x i − 5 ) 3 − 6 E ( x i − 5 ) 2 + 12 E ( x i − 5 ) − 8 = μ 3 ′ − 6 μ 2 ′ 2 + 12 μ 1 ′ − 8 = 40 − 6 × 20 + 12 × 2 − 8 = − 64...... ( 3 ) − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − 4 t h m o m e n t a b o u t m e a n = μ 4 = E ( x i − 7 ) 4 = E [ ( x i − 5 ) − ( 7 − 5 ) ] 4 = E ( x i − 5 ) 4 − 4 C 1 E ( x i − 5 ) 3 × 2 + 4 C 2 E ( x i − 5 ) 2 × ( 2 ) 2 − 4 C 3 E ( x i − 5 ) × ( 2 ) 3 + 4 C 4 ( 2 ) 4 = μ 4 ′ − 4 × 2 μ 3 ′ + 6 × 4 μ 2 ′ − 4 × 8 μ 1 ′ + 1 × 16 = 50 − 8 × 40 + 24 × 20 − 32 × 2 + 1 × 16 = 50 − 320 + 480 − 64 + 16 = 546 − 384 = 162... ( 4 ) − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − S k e w n e s s = β 1 = ( μ 3 2 μ 2 3 ) = ( 64 × 64 16 × 16 × 16 ) = − 1 ( n e g a t i v e s i g n b e c a u s e s i g n o f μ 3 i s n e g a t i v e ) h e n c e β 1 = 1 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − K u r t o s i s = β 2 = μ 4 μ 2 2 = 162 16 × 16 ∼ 0.63 \space exact \space question \space is \space \\
The \space first \space four \space moments \space of \space a \space distribution \space about \\ \space the \space value \space 5 \space of \space a \space variable \space are \space 2 \space , \space 20 \space , \space 40 \space , \space and \space 50 \space . \\ \space calculated \space first \space four \space central \space moments \space about \space the \space mean \space and \space \ \space \beta_1 \space and \space \beta_2 \space \\----------------------------\\
solution\\
Let \space rth \space moment \space of \space a \space variable \space x \space about \space 5 \space is \space
\\
\mu'_r=E(x_r-5)^r\\and \space left \space rth \space moment \space of \space x \space about \space its \space mean \space be\\
\mu_r=E(x_r-5)^r.
\\
so \space \mu'_1 =2 \implies E(x_i)-5=2 \implies E(x_i) =\bar{x}=2+5=7 \\
So, \\----------------------\\first \space moment \space about \space mean \space = μ_1=E(x_i−\bar{x})=E(x_i)−\bar{x}=7−7=0...(1)
\\
----------------------\\
2nd \space moment \space about \space mean \space =μ_2=E(x_i−\bar{x})^2=E(x_i−7)^2\\=E[(x_i−5)+(5−7)]^2=E[(x_i−5)−2]^2=E(x_i−5)^2−4E(x_i−5)+4\\=μ^′_2−4μ^′_1+4=20−4×2+4=20−8+4=16....(2)\\
----------------------\\3rd \space moment \space about \space mean \space =μ_3=E(x_i−7)^3=E[(x_i−5)+(5−7)]^3=E[(x_i−5)−2]^3\\=E[(x_i−5)^3−3(x−5)^2×2+3(x_i−5)×2^2−2^3]=E(x_i−5)^3−6E(x_i−5)^2+12E(x_i−5)−8\\=μ^′_3−6μ^{'2}_2+12μ^′_1−8=40−6×20+12×2−8=−64 . .....(3)
\\
----------------------\\4th \space moment \space about \space mean \space =μ_4=E(x_i−7)^4=E[(x_i−5)−(7−5)]^4\\=E(x_i−5)^4−^4C_1E(x_i−5)^3×2+^4C_2E(x_i−5)^2×(2)^2−^4C_3E(x_i−5)×(2)^3+^4C_4(2)^4\\=μ^′_4−4×2μ^′_3+6×4μ^′_2−4×8μ^′_1+1×16=50−8×40+24×20−32×2+1×16\\=50−320+480−64+16=546−384=162...(4)\\----------------------\\
Skewness= \sqrt{β_1}=\sqrt{(\frac{μ^2_3}{μ^3_2})}=\sqrt{(\frac{64×64}{16×16×16})}=−1\\ (negative \space sign \space because \space sign \space of \space μ_3 \space is \space negative)\\
hence \space \beta_1 =1\\
\\----------------------\\
Kurtosis= β_2=\frac{μ_4}{μ^2_2}=\frac{162}{16×16}∼0.63 e x a c t q u es t i o n i s T h e f i rs t f o u r m o m e n t s o f a d i s t r ib u t i o n ab o u t t h e v a l u e 5 o f a v a r iab l e a re 2 , 20 , 40 , an d 50 . c a l c u l a t e d f i rs t f o u r ce n t r a l m o m e n t s ab o u t t h e m e an an d β 1 an d β 2 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − so l u t i o n L e t r t h m o m e n t o f a v a r iab l e x ab o u t 5 i s μ r ′ = E ( x r − 5 ) r an d l e f t r t h m o m e n t o f x ab o u t i t s m e an b e μ r = E ( x r − 5 ) r . so μ 1 ′ = 2 ⟹ E ( x i ) − 5 = 2 ⟹ E ( x i ) = x ˉ = 2 + 5 = 7 S o , − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − f i rs t m o m e n t ab o u t m e an = μ 1 = E ( x i − x ˉ ) = E ( x i ) − x ˉ = 7 − 7 = 0... ( 1 ) − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − 2 n d m o m e n t ab o u t m e an = μ 2 = E ( x i − x ˉ ) 2 = E ( x i − 7 ) 2 = E [( x i − 5 ) + ( 5 − 7 ) ] 2 = E [( x i − 5 ) − 2 ] 2 = E ( x i − 5 ) 2 − 4 E ( x i − 5 ) + 4 = μ 2 ′ − 4 μ 1 ′ + 4 = 20 − 4 × 2 + 4 = 20 − 8 + 4 = 16.... ( 2 ) − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − 3 r d m o m e n t ab o u t m e an = μ 3 = E ( x i − 7 ) 3 = E [( x i − 5 ) + ( 5 − 7 ) ] 3 = E [( x i − 5 ) − 2 ] 3 = E [( x i − 5 ) 3 − 3 ( x − 5 ) 2 × 2 + 3 ( x i − 5 ) × 2 2 − 2 3 ] = E ( x i − 5 ) 3 − 6 E ( x i − 5 ) 2 + 12 E ( x i − 5 ) − 8 = μ 3 ′ − 6 μ 2 ′ 2 + 12 μ 1 ′ − 8 = 40 − 6 × 20 + 12 × 2 − 8 = − 64...... ( 3 ) − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − 4 t h m o m e n t ab o u t m e an = μ 4 = E ( x i − 7 ) 4 = E [( x i − 5 ) − ( 7 − 5 ) ] 4 = E ( x i − 5 ) 4 − 4 C 1 E ( x i − 5 ) 3 × 2 + 4 C 2 E ( x i − 5 ) 2 × ( 2 ) 2 − 4 C 3 E ( x i − 5 ) × ( 2 ) 3 + 4 C 4 ( 2 ) 4 = μ 4 ′ − 4 × 2 μ 3 ′ + 6 × 4 μ 2 ′ − 4 × 8 μ 1 ′ + 1 × 16 = 50 − 8 × 40 + 24 × 20 − 32 × 2 + 1 × 16 = 50 − 320 + 480 − 64 + 16 = 546 − 384 = 162... ( 4 ) − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − S k e w n ess = β 1 = ( μ 2 3 μ 3 2 ) = ( 16 × 16 × 16 64 × 64 ) = − 1 ( n e g a t i v e s i g n b ec a u se s i g n o f μ 3 i s n e g a t i v e ) h e n ce β 1 = 1 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − K u r t os i s = β 2 = μ 2 2 μ 4 = 16 × 16 162 ∼ 0.63
Comments
Leave a comment