a)
A = [ 2 1 2 1 2 2 1 1 3 ] A=\begin{bmatrix}
2& 1 & 2 \\
1 & 2 & 2 \\
1 & 1 & 3
\end{bmatrix} A = ⎣ ⎡ 2 1 1 1 2 1 2 2 3 ⎦ ⎤
A − λ I = [ 2 − λ 1 2 1 2 − λ 2 1 1 3 − λ ] A-\lambda I=\begin{bmatrix}
2 -\lambda & 1 & 2 \\
1 & 2-\lambda & 2 \\
1 & 1 & 3-\lambda
\end{bmatrix} A − λ I = ⎣ ⎡ 2 − λ 1 1 1 2 − λ 1 2 2 3 − λ ⎦ ⎤ The characteristic equation
∣ 2 − λ 1 2 1 2 − λ 2 1 1 3 − λ ∣ = 0 \begin{vmatrix}
2 -\lambda & 1 & 2 \\
1 & 2-\lambda & 2 \\
1 & 1 & 3-\lambda
\end{vmatrix}=0 ∣ ∣ 2 − λ 1 1 1 2 − λ 1 2 2 3 − λ ∣ ∣ = 0
( 2 − λ ) ∣ 2 − λ 2 1 3 − λ ∣ − ( 1 ) ∣ 1 2 1 3 − λ ∣ (2 -\lambda)\begin{vmatrix}
2 -\lambda & 2 \\
1 & 3 -\lambda
\end{vmatrix}-(1)\begin{vmatrix}
1 & 2 \\
1 & 3 -\lambda
\end{vmatrix} ( 2 − λ ) ∣ ∣ 2 − λ 1 2 3 − λ ∣ ∣ − ( 1 ) ∣ ∣ 1 1 2 3 − λ ∣ ∣
+ ( 2 ) ∣ 1 2 − λ 1 1 ∣ +(2)\begin{vmatrix}
1 & 2-\lambda \\
1 & 1
\end{vmatrix} + ( 2 ) ∣ ∣ 1 1 2 − λ 1 ∣ ∣
= ( 2 − λ ) ( ( 2 − λ ) ( 3 − λ ) − 2 ) − ( 3 − λ − 2 ) =(2-\lambda)((2-\lambda)(3-\lambda)-2)-(3-\lambda-2) = ( 2 − λ ) (( 2 − λ ) ( 3 − λ ) − 2 ) − ( 3 − λ − 2 )
+ 2 ( 1 − ( 2 − λ ) ) +2(1-(2-\lambda)) + 2 ( 1 − ( 2 − λ ))
= ( 2 − λ ) ( 4 − 5 λ + λ 2 ) − 1 + λ + 2 λ − 2 =(2-\lambda)(4-5\lambda+\lambda^2)-1+\lambda+2\lambda-2 = ( 2 − λ ) ( 4 − 5 λ + λ 2 ) − 1 + λ + 2 λ − 2
= 8 − 10 λ + 2 λ 2 − 4 λ + 5 λ 2 − λ 3 + 3 λ − 3 =8-10\lambda+2\lambda^2-4\lambda+5\lambda^2-\lambda^3+3\lambda-3 = 8 − 10 λ + 2 λ 2 − 4 λ + 5 λ 2 − λ 3 + 3 λ − 3
= − λ 3 + 7 λ 2 − 11 λ + 5 = 0 =-\lambda^3+7\lambda^2-11\lambda+5=0 = − λ 3 + 7 λ 2 − 11 λ + 5 = 0
− λ 2 ( λ − 1 ) + 6 λ ( λ − 1 ) − 5 ( λ − 1 ) = 0 -\lambda^2(\lambda-1)+6\lambda(\lambda-1)-5(\lambda-1)=0 − λ 2 ( λ − 1 ) + 6 λ ( λ − 1 ) − 5 ( λ − 1 ) = 0
− ( λ − 1 ) ( λ 2 − 6 λ + 5 ) = 0 -(\lambda-1)(\lambda^2-6\lambda+5)=0 − ( λ − 1 ) ( λ 2 − 6 λ + 5 ) = 0
Matrix A . A. A .
− ( λ − 1 ) ( λ − 1 ) ( λ − 5 ) = 0 -(\lambda-1)(\lambda-1)(\lambda-5)=0 − ( λ − 1 ) ( λ − 1 ) ( λ − 5 ) = 0
B = [ 3 0 2 0 1 a 0 2 2 a ] B=\begin{bmatrix}
3& 0 & 2 \\
0 & 1 & a \\
0 & 2 & 2a
\end{bmatrix} B = ⎣ ⎡ 3 0 0 0 1 2 2 a 2 a ⎦ ⎤
B − λ I = [ 3 − λ 0 2 0 1 − λ a 0 2 2 a − λ ] B-\lambda I=\begin{bmatrix}
3 -\lambda & 0 & 2 \\
0 & 1-\lambda & a \\
0 & 2 & 2a-\lambda
\end{bmatrix} B − λ I = ⎣ ⎡ 3 − λ 0 0 0 1 − λ 2 2 a 2 a − λ ⎦ ⎤ The characteristic equation
∣ 3 − λ 0 2 0 1 − λ a 0 2 2 a − λ ∣ = 0 \begin{vmatrix}
3 -\lambda & 0 & 2 \\
0 & 1-\lambda & a \\
0 & 2 & 2a-\lambda
\end{vmatrix}=0 ∣ ∣ 3 − λ 0 0 0 1 − λ 2 2 a 2 a − λ ∣ ∣ = 0
( 3 − λ ) ∣ 1 − λ a 2 2 a − λ ∣ − ( 0 ) ∣ 0 2 2 2 a − λ ∣ (3 -\lambda)\begin{vmatrix}
1 -\lambda & a \\
2 & 2a -\lambda
\end{vmatrix}-(0)\begin{vmatrix}
0 & 2 \\
2 & 2a -\lambda
\end{vmatrix} ( 3 − λ ) ∣ ∣ 1 − λ 2 a 2 a − λ ∣ ∣ − ( 0 ) ∣ ∣ 0 2 2 2 a − λ ∣ ∣
+ ( 0 ) ∣ 0 2 1 − λ a ∣ +(0)\begin{vmatrix}
0 & 2 \\
1-\lambda & a
\end{vmatrix} + ( 0 ) ∣ ∣ 0 1 − λ 2 a ∣ ∣
= ( 3 − λ ) ( ( 1 − λ ) ( 2 a − λ ) − 2 a ) =(3-\lambda)((1-\lambda)(2a-\lambda)-2a) = ( 3 − λ ) (( 1 − λ ) ( 2 a − λ ) − 2 a )
+ 2 ( 1 − ( 2 − λ ) ) +2(1-(2-\lambda)) + 2 ( 1 − ( 2 − λ ))
= ( 3 − λ ) ( 2 a − λ − 2 a λ + λ 2 − 2 a ) =(3-\lambda)(2a-\lambda-2a\lambda+\lambda^2-2a) = ( 3 − λ ) ( 2 a − λ − 2 aλ + λ 2 − 2 a )
= ( 3 − λ ) λ ( λ − ( 1 + 2 a ) ) = 0 =(3-\lambda)\lambda(\lambda-(1+2a))=0 = ( 3 − λ ) λ ( λ − ( 1 + 2 a )) = 0 Matrix B . B. B .
( 3 − λ ) λ ( λ − ( 1 + 2 a ) ) = 0 (3-\lambda)\lambda(\lambda-(1+2a))=0 ( 3 − λ ) λ ( λ − ( 1 + 2 a )) = 0
2.
Matrix A . A. A .
− ( λ − 1 ) ( λ − 1 ) ( λ − 5 ) = 0 -(\lambda-1)(\lambda-1)(\lambda-5)=0 − ( λ − 1 ) ( λ − 1 ) ( λ − 5 ) = 0 The eigen values are λ 1 = 5 , λ 2 = 1 , λ 3 = 1. \lambda_1=5, \lambda_2=1, \lambda_3=1. λ 1 = 5 , λ 2 = 1 , λ 3 = 1.
λ 1 = 5 \lambda_1=5 λ 1 = 5
[ 2 − λ 1 2 1 2 − λ 2 1 1 3 − λ ] = [ − 3 1 2 1 − 3 2 1 1 − 2 ] \begin{bmatrix}
2 -\lambda & 1 & 2 \\
1 & 2-\lambda & 2 \\
1 & 1 & 3-\lambda
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-3 & 1 & 2 \\
1 & -3 & 2 \\
1 & 1 & -2
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 2 − λ 1 1 1 2 − λ 1 2 2 3 − λ ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ − 3 1 1 1 − 3 1 2 2 − 2 ⎦ ⎤ R 1 = R 1 / ( − 3 ) R_1=R_1/(-3) R 1 = R 1 / ( − 3 )
[ 1 − 1 / 3 − 2 / 3 1 − 3 2 1 1 − 2 ] \begin{bmatrix}
1 & -1/3 & -2/3 \\
1 & -3 & 2 \\
1 & 1 & -2
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 1 1 − 1/3 − 3 1 − 2/3 2 − 2 ⎦ ⎤ R 2 = R 2 − R 1 R_2=R_2-R_1 R 2 = R 2 − R 1
[ 1 − 1 / 3 − 2 / 3 0 − 8 / 3 8 / 3 1 1 − 2 ] \begin{bmatrix}
1 & -1/3 & -2/3 \\
0 & -8/3 & 8/3 \\
1 & 1 & -2
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 0 1 − 1/3 − 8/3 1 − 2/3 8/3 − 2 ⎦ ⎤ R 3 = R 3 − R 1 R_3=R_3-R_1 R 3 = R 3 − R 1
[ 1 − 1 / 3 − 2 / 3 0 − 8 / 3 8 / 3 0 4 / 3 − 4 / 3 ] \begin{bmatrix}
1 & -1/3 & -2/3 \\
0 & -8/3 & 8/3 \\
0 & 4/3 & -4/3
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 0 0 − 1/3 − 8/3 4/3 − 2/3 8/3 − 4/3 ⎦ ⎤ R 2 = − 3 R 2 / 8 R_2=-3R_2/8 R 2 = − 3 R 2 /8
[ 1 − 1 / 3 − 2 / 3 0 1 − 1 0 4 / 3 − 4 / 3 ] \begin{bmatrix}
1 & -1/3 & -2/3 \\
0 & 1 & -1 \\
0 & 4/3 & -4/3
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 0 0 − 1/3 1 4/3 − 2/3 − 1 − 4/3 ⎦ ⎤ R 1 = R 1 + R 2 / 3 R_1=R_1+R_2/3 R 1 = R 1 + R 2 /3
[ 1 0 − 1 0 1 − 1 0 4 / 3 − 4 / 3 ] \begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 \\
0 & 1 & -1 \\
0 & 4/3 & -4/3
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 4/3 − 1 − 1 − 4/3 ⎦ ⎤ R 3 = R 3 − 4 R 2 / 3 R_3=R_3-4R_2/3 R 3 = R 3 − 4 R 2 /3
[ 1 0 − 1 0 1 − 1 0 0 0 ] \begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 \\
0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 0 − 1 − 1 0 ⎦ ⎤ Solve the matrix equation
[ 1 0 − 1 0 1 − 1 0 0 0 ] [ x 1 x 2 x 3 ] = [ 0 0 0 ] \begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 \\
0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 0 − 1 − 1 0 ⎦ ⎤ ⎣ ⎡ x 1 x 2 x 3 ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ 0 0 0 ⎦ ⎤ If we take x 3 = t , x_3=t, x 3 = t , x 1 = t , x 2 = t , x 3 = t . x_1=t, x_2=t, x_3=t. x 1 = t , x 2 = t , x 3 = t .
The eigen vector is [ 1 1 1 ] . \begin{bmatrix}
1 \\
1\\
1
\end{bmatrix}. ⎣ ⎡ 1 1 1 ⎦ ⎤ .
λ 2 = 1 \lambda_2=1 λ 2 = 1
[ 2 − λ 1 2 1 2 − λ 2 1 1 3 − λ ] = [ 1 1 2 1 1 2 1 1 2 ] \begin{bmatrix}
2 -\lambda & 1 & 2 \\
1 & 2-\lambda & 2 \\
1 & 1 & 3-\lambda
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 2
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 2 − λ 1 1 1 2 − λ 1 2 2 3 − λ ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ 1 1 1 1 1 1 2 2 2 ⎦ ⎤ R 2 = R 2 − R 1 R_2=R_2-R_1 R 2 = R 2 − R 1
[ 1 1 2 0 0 0 1 1 2 ] \begin{bmatrix}
1 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 2
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 0 1 1 0 1 2 0 2 ⎦ ⎤ R 3 = R 3 − R 1 R_3=R_3-R_1 R 3 = R 3 − R 1
[ 1 1 2 0 0 0 0 0 0 ] \begin{bmatrix}
1 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 0 0 1 0 0 2 0 0 ⎦ ⎤ Solve the matrix equation
[ 1 1 2 0 0 0 0 0 0 ] [ x 1 x 2 x 3 ] = [ 0 0 0 ] \begin{bmatrix}
1 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 0 0 1 0 0 2 0 0 ⎦ ⎤ ⎣ ⎡ x 1 x 2 x 3 ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ 0 0 0 ⎦ ⎤ If we take x 2 = t , x 3 = s , x_2=t,x_3=s, x 2 = t , x 3 = s , x 1 = − t − 2 s , x 2 = t , x 3 = s . x_1=-t-2s, x_2=t, x_3=s. x 1 = − t − 2 s , x 2 = t , x 3 = s .
The eigen vectors are [ − 1 1 0 ] , [ − 2 0 1 ] \begin{bmatrix}
-1 \\
1\\
0
\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}
-2 \\
0\\
1
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ − 1 1 0 ⎦ ⎤ , ⎣ ⎡ − 2 0 1 ⎦ ⎤
Matrix B . B. B .
( 3 − λ ) λ ( λ − ( 1 + 2 a ) ) = 0 (3-\lambda)\lambda(\lambda-(1+2a))=0 ( 3 − λ ) λ ( λ − ( 1 + 2 a )) = 0 The eigen values are λ 1 = 3 , λ 2 = 1 + 2 a , λ 3 = 0. \lambda_1=3, \lambda_2=1+2a, \lambda_3=0. λ 1 = 3 , λ 2 = 1 + 2 a , λ 3 = 0.
λ 1 = 3 \lambda_1=3 λ 1 = 3
[ 3 − λ 0 2 0 1 − λ a 0 2 2 a − λ ] = [ 0 0 2 0 − 2 a 0 2 2 a − 3 ] \begin{bmatrix}
3 -\lambda & 0 & 2 \\
0 & 1-\lambda & a \\
0 & 2 & 2a-\lambda
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 2 \\
0 & -2 & a \\
0 & 2 & 2a-3
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 3 − λ 0 0 0 1 − λ 2 2 a 2 a − λ ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ 0 0 0 0 − 2 2 2 a 2 a − 3 ⎦ ⎤
Swap the rows 1and 2
[ 0 − 2 a 0 0 2 0 2 2 a − 3 ] \begin{bmatrix}
0 & -2 & a \\
0 & 0 & 2 \\
0 & 2 & 2a-3
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 0 0 0 − 2 0 2 a 2 2 a − 3 ⎦ ⎤
R 1 = R 1 / ( − 2 ) R_1=R_1/(-2) R 1 = R 1 / ( − 2 )
[ 0 1 − a / 2 0 0 2 0 2 2 a − 3 ] \begin{bmatrix}
0 & 1 & -a/2 \\
0 & 0 & 2 \\
0 & 2 & 2a-3
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 0 0 0 1 0 2 − a /2 2 2 a − 3 ⎦ ⎤ R 3 = R 3 − 2 R 1 R_3=R_3-2R_1 R 3 = R 3 − 2 R 1
[ 0 1 − a / 2 0 0 2 0 0 3 a − 3 ] \begin{bmatrix}
0 & 1 & -a/2 \\
0 & 0 & 2 \\
0 & 0& 3a-3
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 0 0 0 1 0 0 − a /2 2 3 a − 3 ⎦ ⎤ R 2 = R 2 / 2 R_2=R_2/2 R 2 = R 2 /2
[ 0 1 − a / 2 0 0 1 0 0 3 a − 3 ] \begin{bmatrix}
0 & 1 & -a/2 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0& 3a-3
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 0 0 0 1 0 0 − a /2 1 3 a − 3 ⎦ ⎤ R 1 = R 1 + a R 2 / 2 R_1=R_1+aR_2/2 R 1 = R 1 + a R 2 /2
[ 0 1 0 0 0 1 0 0 3 a − 3 ] \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0& 3a-3
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 0 0 0 1 0 0 0 1 3 a − 3 ⎦ ⎤ R 3 = R 3 − 3 ( a − 1 ) R 2 R_3=R_3-3(a-1)R_2 R 3 = R 3 − 3 ( a − 1 ) R 2
[ 0 1 0 0 0 1 0 0 0 ] \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0& 0
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 0 0 0 1 0 0 0 1 0 ⎦ ⎤ Solve the matrix equation
[ 0 1 0 0 0 1 0 0 0 ] [ x 1 x 2 x 3 ] = [ 0 0 0 ] \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 0 0 0 1 0 0 0 1 0 ⎦ ⎤ ⎣ ⎡ x 1 x 2 x 3 ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ 0 0 0 ⎦ ⎤ If we take x 1 = t , x_1=t, x 1 = t , x 1 = t , x 2 = 0 , x 3 = 0. x_1=t, x_2=0, x_3=0. x 1 = t , x 2 = 0 , x 3 = 0.
The eigen vector is [ 1 0 0 ] . \begin{bmatrix}
1 \\
0\\
0
\end{bmatrix}. ⎣ ⎡ 1 0 0 ⎦ ⎤ .
λ 2 = 2 a + 1 \lambda_2=2a+1 λ 2 = 2 a + 1
[ 3 − λ 0 2 0 1 − λ a 0 2 2 a − λ ] = [ 2 − 2 a 0 2 0 − 2 a a 0 2 − 1 ] \begin{bmatrix}
3 -\lambda & 0 & 2 \\
0 & 1-\lambda & a \\
0 & 2 & 2a-\lambda
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
2-2a & 0 & 2 \\
0 & -2a & a \\
0 & 2 & -1
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 3 − λ 0 0 0 1 − λ 2 2 a 2 a − λ ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ 2 − 2 a 0 0 0 − 2 a 2 2 a − 1 ⎦ ⎤ R 1 = R 1 / ( 2 − 2 a ) , a ≠ 1 R_1=R_1/(2-2a), a\not=1 R 1 = R 1 / ( 2 − 2 a ) , a = 1
[ 1 0 1 / ( 1 − a ) 0 − 2 a a 0 2 − 1 ] \begin{bmatrix}
1 & 0 & 1/(1-a) \\
0 & -2a & a \\
0 & 2 & -1
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 0 0 0 − 2 a 2 1/ ( 1 − a ) a − 1 ⎦ ⎤ R 2 = R 2 / ( − 2 a ) R_2=R_2/(-2a) R 2 = R 2 / ( − 2 a )
[ 1 0 1 / ( 1 − a ) 0 1 − 1 / 2 0 2 − 1 ] \begin{bmatrix}
1 & 0 & 1/(1-a) \\
0 & 1 & -1/2 \\
0 & 2 & -1
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 2 1/ ( 1 − a ) − 1/2 − 1 ⎦ ⎤ R 3 = R 3 − 2 R 2 R_3=R_3-2R_2 R 3 = R 3 − 2 R 2
[ 1 0 1 / ( 1 − a ) 0 1 − 1 / 2 0 0 0 ] \begin{bmatrix}
1 & 0 & 1/(1-a) \\
0 & 1 & -1/2 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 0 1/ ( 1 − a ) − 1/2 0 ⎦ ⎤ Solve the matrix equation
[ 1 0 1 / ( 1 − a ) 0 1 − 1 / 2 0 0 0 ] = [ 0 0 0 ] \begin{bmatrix}
1 & 0 & 1/(1-a) \\
0 & 1 & -1/2 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 0 1/ ( 1 − a ) − 1/2 0 ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ 0 0 0 ⎦ ⎤ If we take x 3 = t , x_3=t, x 3 = t , x 1 = 1 / ( a − 1 ) , x 2 = 1 / 2 , x 3 = 1. x_1=1/(a-1), x_2=1/2, x_3=1. x 1 = 1/ ( a − 1 ) , x 2 = 1/2 , x 3 = 1.
The eigen vector is [ 1 / ( a − 1 ) 1 / 2 1 ] . \begin{bmatrix}
1 /(a-1)\\
1/2\\
1
\end{bmatrix}. ⎣ ⎡ 1/ ( a − 1 ) 1/2 1 ⎦ ⎤ .
λ 3 = 0 \lambda_3=0 λ 3 = 0
[ 3 − λ 0 2 0 1 − λ a 0 2 2 a − λ ] = [ 3 0 2 0 1 a 0 2 2 a ] \begin{bmatrix}
3 -\lambda & 0 & 2 \\
0 & 1-\lambda & a \\
0 & 2 & 2a-\lambda
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
3 & 0 & 2 \\
0 & 1 & a \\
0 & 2 & 2a
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 3 − λ 0 0 0 1 − λ 2 2 a 2 a − λ ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ 3 0 0 0 1 2 2 a 2 a ⎦ ⎤ R 1 = R 1 / 3 R_1=R_1/3 R 1 = R 1 /3
[ 1 0 2 / 3 0 1 a 0 2 2 a ] \begin{bmatrix}
1 & 0 & 2/3 \\
0 & 1 & a \\
0 & 2 & 2a
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 2 2/3 a 2 a ⎦ ⎤ R 3 = R 3 − 2 R 2 R_3=R_3-2R_2 R 3 = R 3 − 2 R 2
[ 1 0 2 / 3 0 1 a 0 0 0 ] \begin{bmatrix}
1 & 0 & 2/3 \\
0 & 1 & a \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 0 2/3 a 0 ⎦ ⎤ Solve the matrix equation
[ 1 0 2 / 3 0 1 a 0 0 0 ] = [ 0 0 0 ] \begin{bmatrix}
1 & 0 & 2/3 \\
0 & 1 & a \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 0 2/3 a 0 ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ 0 0 0 ⎦ ⎤ If we take x 3 = t , x_3=t, x 3 = t , x 1 = − 2 / 3 , x 2 = − a , x 3 = 1. x_1=-2/3, x_2=-a, x_3=1. x 1 = − 2/3 , x 2 = − a , x 3 = 1.
The eigen vector is [ − 2 / 3 − a 1 ] . \begin{bmatrix}
-2/3\\
-a\\
1
\end{bmatrix}. ⎣ ⎡ − 2/3 − a 1 ⎦ ⎤ .
#340153 on Dec 2023
Comments