1.
A x = ( 1 − 1 2 2 0 − 2 − 1 − 1 4 3 − 1 0 ) ( x 1 x 2 x 3 ) = ( x 1 − x 2 + 2 x 3 2 x 1 − 2 x 3 − x 1 − x 2 + 4 x 3 3 x 1 − x 2 ) Ax=\begin{pmatrix}
1 & -1&2 \\
2&0 & -2\\
-1&-1&4\\
3&-1&0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
x_1-x_2+2x_3 \\
2x_1-2x_3 \\
-x_1-x_2+4x_3\\
3x_1-x_2
\end{pmatrix} A x = ⎝ ⎛ 1 2 − 1 3 − 1 0 − 1 − 1 2 − 2 4 0 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ x 1 x 2 x 3 ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ x 1 − x 2 + 2 x 3 2 x 1 − 2 x 3 − x 1 − x 2 + 4 x 3 3 x 1 − x 2 ⎠ ⎞
transformation matrix:
A = ( 1 − 1 2 2 0 − 2 − 1 − 1 4 3 − 1 0 ) A=\begin{pmatrix}
1 & -1&2 \\
2&0 & -2\\
-1&-1&4\\
3&-1&0
\end{pmatrix} A = ⎝ ⎛ 1 2 − 1 3 − 1 0 − 1 − 1 2 − 2 4 0 ⎠ ⎞
2.
kernel:
x 1 − x 2 + 2 x 3 = 0 x_1-x_2+2x_3=0 x 1 − x 2 + 2 x 3 = 0
2 x 1 − 2 x 3 = 0 2x_1-2x_3=0 2 x 1 − 2 x 3 = 0
− x 1 − x 2 + 4 x 3 = 0 -x_1-x_2+4x_3=0 − x 1 − x 2 + 4 x 3 = 0
3 x 1 − x 2 = 0 3x_1-x_2=0 3 x 1 − x 2 = 0
x 1 = x 3 , x 2 = 3 x 1 x_1=x_3,x_2=3x_1 x 1 = x 3 , x 2 = 3 x 1
k e r T = s p a n ( 1 , 3 , 1 ) ker\ T=span(1,3,1) k er T = s p an ( 1 , 3 , 1 )
range:
r a n g e T = ( x 1 − x 2 + 2 x 3 2 x 1 − 2 x 3 − x 1 − x 2 + 4 x 3 3 x 1 − x 2 ) = x 1 ( 1 2 − 1 3 ) + x 2 ( − 1 0 − 1 − 1 ) + x 3 ( 2 − 2 4 0 ) = range\ T=\begin{pmatrix}
x_1-x_2+2x_3 \\
2x_1-2x_3 \\
-x_1-x_2+4x_3\\
3x_1-x_2
\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
-1\\
3
\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}
-1 \\
0 \\
-1\\
-1
\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}
2 \\
-2 \\
4\\
0
\end{pmatrix}= r an g e T = ⎝ ⎛ x 1 − x 2 + 2 x 3 2 x 1 − 2 x 3 − x 1 − x 2 + 4 x 3 3 x 1 − x 2 ⎠ ⎞ = x 1 ⎝ ⎛ 1 2 − 1 3 ⎠ ⎞ + x 2 ⎝ ⎛ − 1 0 − 1 − 1 ⎠ ⎞ + x 3 ⎝ ⎛ 2 − 2 4 0 ⎠ ⎞ =
= s p a n ( ( 1 , 2 , − 1 , 3 ) , ( − 1 , 0 , − 1 , − 1 ) , ( 2 , − 2 , 4 , 0 ) ) =span((1,2,-1,3),(-1,0,-1,-1),(2,-2,4,0)) = s p an (( 1 , 2 , − 1 , 3 ) , ( − 1 , 0 , − 1 , − 1 ) , ( 2 , − 2 , 4 , 0 ))
Comments