a)
(A+B) does not exist, since matrices are of different sizes (2x3 and 3x2)
A B = ( 8 − 1 2 2 0 − 5 ) ( − 1 7 3 − 2 1 5 ) = ( − 8 − 3 + 2 56 + 2 + 10 − 2 − 5 14 − 25 ) = ( − 9 68 − 7 − 11 ) AB=\begin{pmatrix}
8 & -1 &2\\
2 & 0&-5
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-1 & 7 \\
3 & -2\\
1&5
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-8-3+2 & 56+2+10 \\
-2-5 & 14-25
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-9 & 68 \\
-7 & -11
\end{pmatrix} A B = ( 8 2 − 1 0 2 − 5 ) ⎝ ⎛ − 1 3 1 7 − 2 5 ⎠ ⎞ = ( − 8 − 3 + 2 − 2 − 5 56 + 2 + 10 14 − 25 ) = ( − 9 − 7 68 − 11 )
b)
( A B ) C = ( − 9 68 − 7 − 11 ) ( 2 1 3 5 ) = ( − 18 + 204 − 9 + 340 − 14 − 33 − 7 − 55 ) = ( 186 331 − 47 − 62 ) (AB)C=\begin{pmatrix}
-9 & 68 \\
-7 & -11
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
3 & 5
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-18+204 & -9+340 \\
-14-33 & -7-55
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
186 & 331 \\
-47 & -62
\end{pmatrix} ( A B ) C = ( − 9 − 7 68 − 11 ) ( 2 3 1 5 ) = ( − 18 + 204 − 14 − 33 − 9 + 340 − 7 − 55 ) = ( 186 − 47 331 − 62 )
B C = ( − 1 7 3 − 2 1 5 ) ( 2 1 3 5 ) = ( − 2 + 21 − 1 + 35 6 − 6 3 − 10 2 + 15 1 + 25 ) = ( 19 34 0 − 7 17 26 ) BC=\begin{pmatrix}
-1 & 7 \\
3 & -2\\
1&5
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
3 & 5
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-2+21 & -1+35 \\
6-6 & 3-10\\
2+15&1+25
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
19 & 34 \\
0 & -7\\
17&26
\end{pmatrix} BC = ⎝ ⎛ − 1 3 1 7 − 2 5 ⎠ ⎞ ( 2 3 1 5 ) = ⎝ ⎛ − 2 + 21 6 − 6 2 + 15 − 1 + 35 3 − 10 1 + 25 ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ 19 0 17 34 − 7 26 ⎠ ⎞
A ( B C ) = ( 8 − 1 2 2 0 − 5 ) ( 19 34 0 − 7 17 26 ) = ( 152 + 34 272 + 7 + 52 38 − 85 68 − 130 ) = A(BC)=\begin{pmatrix}
8 & -1 &2\\
2 & 0&-5
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
19 & 34 \\
0 & -7\\
17&26
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
152+34 & 272+7+52 \\
38-85 & 68-130
\end{pmatrix}= A ( BC ) = ( 8 2 − 1 0 2 − 5 ) ⎝ ⎛ 19 0 17 34 − 7 26 ⎠ ⎞ = ( 152 + 34 38 − 85 272 + 7 + 52 68 − 130 ) =
= ( 186 331 − 47 − 62 ) =\begin{pmatrix}
186 & 331 \\
-47 & -62
\end{pmatrix} = ( 186 − 47 331 − 62 )
c)
for C-1 :
C ∗ = ( 5 − 3 − 1 2 ) C_*=\begin{pmatrix}
5 & -3 \\
-1 & 2
\end{pmatrix} C ∗ = ( 5 − 1 − 3 2 ) , C ∗ T = ( 5 − 1 − 3 2 ) C_*^T=\begin{pmatrix}
5 & -1 \\
-3 & 2
\end{pmatrix} C ∗ T = ( 5 − 3 − 1 2 )
∣ C ∣ = 10 − 3 = 7 |C|=10-3=7 ∣ C ∣ = 10 − 3 = 7
C − 1 = C ∗ T ∣ C ∣ = = 1 7 ( 5 − 1 − 3 2 ) C^{-1}=\frac{C_*^T}{|C|}=\frac{}{}=\frac{1}{7}\begin{pmatrix}
5 & -1 \\
-3 & 2
\end{pmatrix} C − 1 = ∣ C ∣ C ∗ T = = 7 1 ( 5 − 3 − 1 2 )
C − 1 A = 1 7 ( 5 − 1 − 3 2 ) ( 8 − 1 2 2 0 − 5 ) = 1 7 ( 40 − 2 − 5 10 + 5 − 24 + 4 3 − 6 − 10 ) = C^{-1}A=\frac{1}{7}\begin{pmatrix}
5 & -1 \\
-3 & 2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
8 & -1 &2\\
2 & 0&-5
\end{pmatrix}=\frac{1}{7}\begin{pmatrix}
40-2 & -5 &10+5\\
-24+4 & 3&-6-10
\end{pmatrix}= C − 1 A = 7 1 ( 5 − 3 − 1 2 ) ( 8 2 − 1 0 2 − 5 ) = 7 1 ( 40 − 2 − 24 + 4 − 5 3 10 + 5 − 6 − 10 ) =
= 1 7 ( 38 − 5 15 − 20 3 − 16 ) =\frac{1}{7}\begin{pmatrix}
38 & -5 &15\\
-20 & 3&-16
\end{pmatrix} = 7 1 ( 38 − 20 − 5 3 15 − 16 )
Comments