8 x 2 + 7 y 2 + 3 z 2 − 8 y z + 4 x z + 12 x y 8x^2+7y^2+3z^2-8yz+4xz+12xy 8 x 2 + 7 y 2 + 3 z 2 − 8 yz + 4 x z + 12 x y
matrix in quadratic form:
A = ( 8 6 2 6 7 − 4 2 − 4 3 ) A=\begin{pmatrix}
8 & 6&2 \\
6 & 7&-4 \\
2&-4&3
\end{pmatrix} A = ⎝ ⎛ 8 6 2 6 7 − 4 2 − 4 3 ⎠ ⎞
∣ 8 − λ 6 2 6 7 − λ − 4 2 − 4 3 − λ ∣ = 0 \begin{vmatrix}
8 -\lambda& 6&2 \\
6 & 7-\lambda&-4 \\
2&-4&3-\lambda
\end{vmatrix}=0 ∣ ∣ 8 − λ 6 2 6 7 − λ − 4 2 − 4 3 − λ ∣ ∣ = 0
( 8 − λ ) ( ( 7 − λ ) ( 3 − λ ) − 16 ) − 6 ( 18 − 6 λ + 8 ) + 2 ( − 24 − 14 + 2 λ ) = 0 (8-\lambda)((7-\lambda)(3-\lambda)-16)-6(18-6\lambda+8)+2(-24-14+2\lambda)=0 ( 8 − λ ) (( 7 − λ ) ( 3 − λ ) − 16 ) − 6 ( 18 − 6 λ + 8 ) + 2 ( − 24 − 14 + 2 λ ) = 0
( 8 − λ ) ( 21 − 10 λ + λ 2 − 16 ) + 36 λ − 156 + 4 λ − 76 = 0 (8-\lambda)(21-10\lambda+\lambda^2-16)+36\lambda-156+4\lambda-76=0 ( 8 − λ ) ( 21 − 10 λ + λ 2 − 16 ) + 36 λ − 156 + 4 λ − 76 = 0
40 − 80 λ + 8 λ 2 − 5 λ + 10 λ 2 − λ 3 + 40 λ − 232 = 0 40-80\lambda+8\lambda^2-5\lambda+10\lambda^2-\lambda^3+40\lambda-232=0 40 − 80 λ + 8 λ 2 − 5 λ + 10 λ 2 − λ 3 + 40 λ − 232 = 0
λ 3 − 18 λ 2 + 45 λ + 182 = 0 \lambda^3-18\lambda^2+45\lambda+182=0 λ 3 − 18 λ 2 + 45 λ + 182 = 0
λ 1 = − 2.1 , λ 2 = 6.3 , λ 3 = 13.8 \lambda_1=-2.1,\lambda_2=6.3,\lambda_3=13.8 λ 1 = − 2.1 , λ 2 = 6.3 , λ 3 = 13.8
eigenvectors:
for λ 1 = − 2.1 \lambda_1=-2.1 λ 1 = − 2.1 :
10.1 x + 6 y + 2 z = 0 10.1x+6y+2z=0 10.1 x + 6 y + 2 z = 0
6 x + 9.1 y − 4 z = 0 6x+9.1y-4z=0 6 x + 9.1 y − 4 z = 0
2 x − 4 y + 5.1 z = 0 2x-4y+5.1z=0 2 x − 4 y + 5.1 z = 0
26.2 x + 21.1 y = 0 26.2x+21.1y=0 26.2 x + 21.1 y = 0
21.1 y − 19.3 z = 0 21.1y-19.3z=0 21.1 y − 19.3 z = 0
y = − 1.2 x , z = 1.1 y y=-1.2x,z=1.1y y = − 1.2 x , z = 1.1 y
x 1 = ( 1 − 1.2 − 1.4 ) x_1=\begin{pmatrix}
1 \\
-1.2 \\
-1.4
\end{pmatrix} x 1 = ⎝ ⎛ 1 − 1.2 − 1.4 ⎠ ⎞
for λ 2 = 6.3 \lambda_2=6.3 λ 2 = 6.3 :
1.7 x + 6 y + 2 z = 0 1.7x+6y+2z=0 1.7 x + 6 y + 2 z = 0
6 x + 0.7 y − 4 z = 0 6x+0.7y-4z=0 6 x + 0.7 y − 4 z = 0
2 x − 4 y − 3.3 z = 0 2x-4y-3.3z=0 2 x − 4 y − 3.3 z = 0
2.6 x − 11.3 y = 0 2.6x-11.3y=0 2.6 x − 11.3 y = 0
12.7 y + 5.9 z = 0 12.7y+5.9z=0 12.7 y + 5.9 z = 0
y = 0.2 x , z = − 2.2 y y=0.2x,z=-2.2y y = 0.2 x , z = − 2.2 y
x 2 = ( 1 0.2 − 0.4 ) x_2=\begin{pmatrix}
1 \\
0.2 \\
-0.4
\end{pmatrix} x 2 = ⎝ ⎛ 1 0.2 − 0.4 ⎠ ⎞
for λ 3 = 13.8 \lambda_3=13.8 λ 3 = 13.8 :
− 5.8 x + 6 y + 2 z = 0 -5.8x+6y+2z=0 − 5.8 x + 6 y + 2 z = 0
6 x − 6.8 y − 4 z = 0 6x-6.8y-4z=0 6 x − 6.8 y − 4 z = 0
2 x − 4 y − 10.8 z = 0 2x-4y-10.8z=0 2 x − 4 y − 10.8 z = 0
17.6 x − 18.8 y = 0 17.6x-18.8y=0 17.6 x − 18.8 y = 0
5.2 y + 28.4 z = 0 5.2y+28.4z=0 5.2 y + 28.4 z = 0
y = 0.9 x , z = − 0.2 y y=0.9x,z=-0.2y y = 0.9 x , z = − 0.2 y
x 3 = ( 1 0.9 − 0.2 ) x_3=\begin{pmatrix}
1 \\
0.9 \\
-0.2
\end{pmatrix} x 3 = ⎝ ⎛ 1 0.9 − 0.2 ⎠ ⎞
normalized matrix:
N = ( 1 / ∣ x 1 ∣ 1 / ∣ x 2 ∣ 1 / ∣ x 3 ∣ − 1.2 / ∣ x 1 ∣ 0.2 / ∣ x 2 ∣ 0.9 / ∣ x 3 ∣ − 1.4 / ∣ x 1 ∣ − 0.4 / ∣ x 2 ∣ − 0.2 / ∣ x 3 ∣ ) N=\begin{pmatrix}
1/|x_1| & 1/|x_2| &1/|x_3|\\
-1.2/|x_1| & 0.2/|x_2|&0.9/|x_3|\\
-1.4/|x_1|&-0.4/|x_2|&-0.2/|x_3|
\end{pmatrix} N = ⎝ ⎛ 1/∣ x 1 ∣ − 1.2/∣ x 1 ∣ − 1.4/∣ x 1 ∣ 1/∣ x 2 ∣ 0.2/∣ x 2 ∣ − 0.4/∣ x 2 ∣ 1/∣ x 3 ∣ 0.9/∣ x 3 ∣ − 0.2/∣ x 3 ∣ ⎠ ⎞
∣ x 1 ∣ = 2.1 , ∣ x 2 ∣ = 1.1 , ∣ x 3 ∣ = 1.4 |x_1|=2.1,|x_2|=1.1,|x_3|=1.4 ∣ x 1 ∣ = 2.1 , ∣ x 2 ∣ = 1.1 , ∣ x 3 ∣ = 1.4
N = ( 0.5 0.9 0.7 − 0.6 0.2 0.6 − 0.7 − 0.4 − 0.1 ) N=\begin{pmatrix}
0.5 & 0.9 &0.7\\
-0.6 & 0.2&0.6\\
-0.7&-0.4&-0.1
\end{pmatrix} N = ⎝ ⎛ 0.5 − 0.6 − 0.7 0.9 0.2 − 0.4 0.7 0.6 − 0.1 ⎠ ⎞
N T = ( 0.5 − 0.6 − 0.7 0.9 0.2 − 0.4 0.7 0.6 − 0.1 ) N^T=\begin{pmatrix}
0.5 & -0.6 &-0.7\\
0.9 & 0.2&-0.4\\
0.7&0.6&-0.1
\end{pmatrix} N T = ⎝ ⎛ 0.5 0.9 0.7 − 0.6 0.2 0.6 − 0.7 − 0.4 − 0.1 ⎠ ⎞
A N = ( 8 6 2 6 7 − 4 2 − 4 3 ) ( 0.5 0.9 0.7 − 0.6 0.2 0.6 − 0.7 − 0.4 − 0.1 ) = ( − 1 7.6 9 1.6 7 8.8 − 2.4 − 0.2 − 1.3 ) AN=\begin{pmatrix}
8 & 6&2 \\
6 & 7&-4 \\
2&-4&3
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0.5 & 0.9 &0.7\\
-0.6 & 0.2&0.6\\
-0.7&-0.4&-0.1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-1 & 7.6&9 \\
1.6 & 7&8.8 \\
-2.4&-0.2&-1.3
\end{pmatrix} A N = ⎝ ⎛ 8 6 2 6 7 − 4 2 − 4 3 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 0.5 − 0.6 − 0.7 0.9 0.2 − 0.4 0.7 0.6 − 0.1 ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ − 1 1.6 − 2.4 7.6 7 − 0.2 9 8.8 − 1.3 ⎠ ⎞
D = N T A N = ( 0.5 − 0.6 − 0.7 0.9 0.2 − 0.4 0.7 0.6 − 0.1 ) ( − 1 7.6 9 1.6 7 8.8 − 2.4 − 0.2 − 1.3 ) = D=N^TAN=\begin{pmatrix}
0.5 & -0.6 &-0.7\\
0.9 & 0.2&-0.4\\
0.7&0.6&-0.1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-1 & 7.6&9 \\
1.6 & 7&8.8 \\
-2.4&-0.2&-1.3
\end{pmatrix}= D = N T A N = ⎝ ⎛ 0.5 0.9 0.7 − 0.6 0.2 0.6 − 0.7 − 0.4 − 0.1 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ − 1 1.6 − 2.4 7.6 7 − 0.2 9 8.8 − 1.3 ⎠ ⎞ =
= ( − 8.4 0 0 0 8.3 0 0 0 11.7 ) =\begin{pmatrix}
-8.4 &0 &0\\
0 & 8.3&0\\
0&0&11.7
\end{pmatrix} = ⎝ ⎛ − 8.4 0 0 0 8.3 0 0 0 11.7 ⎠ ⎞
Canonical form: 0.2 x 2 + 8.3 y 2 + 11.7 z 2 0.2x^2+8.3y^2+11.7z^2 0.2 x 2 + 8.3 y 2 + 11.7 z 2
quadratic form Q(x) = xT · A · x is positive semidefinite if Q(x) ≥ 0
Comments