Let's find B − 1 {B^{ - 1}} B − 1 :
( 2 3 2 − 1 ∣ 1 0 0 1 ) − I ⇔ ( 2 3 0 − 4 ∣ 1 0 − 1 1 ) ⇔ ( 2 3 0 1 ∣ 1 0 1 4 − 1 4 ) − 3 I I ⇔ ( 2 0 0 1 ∣ 1 4 3 4 1 4 − 1 4 ) ⇔ ( 1 0 0 1 ∣ 1 8 3 8 1 4 − 1 4 ) \left( {\left. {\begin{matrix}
2&3\\
2&{ - 1}
\end{matrix}} \right|\begin{matrix}
1&0\\
0&1
\end{matrix}} \right)\begin{matrix}
{}\\
{ - I}
\end{matrix} \Leftrightarrow \left( {\left. {\begin{matrix}
2&3\\
0&{ - 4}
\end{matrix}} \right|\begin{matrix}
1&0\\
{ - 1}&1
\end{matrix}} \right) \Leftrightarrow \left( {\left. {\begin{matrix}
2&3\\
0&1
\end{matrix}} \right|\begin{matrix}
1&0\\
{\frac{1}{4}}&{ - \frac{1}{4}}
\end{matrix}} \right)\begin{matrix}
{ - 3II}\\
{}
\end{matrix} \Leftrightarrow \left( {\left. {\begin{matrix}
2&0\\
0&1
\end{matrix}} \right|\begin{matrix}
{\frac{1}{4}}&{\frac{3}{4}}\\
{\frac{1}{4}}&{ - \frac{1}{4}}
\end{matrix}} \right) \Leftrightarrow \left( {\left. {\begin{matrix}
1&0\\
0&1
\end{matrix}} \right|\begin{matrix}
{\frac{1}{8}}&{\frac{3}{8}}\\
{\frac{1}{4}}&{ - \frac{1}{4}}
\end{matrix}} \right) ( 2 2 3 − 1 ∣ ∣ 1 0 0 1 ) − I ⇔ ( 2 0 3 − 4 ∣ ∣ 1 − 1 0 1 ) ⇔ ( 2 0 3 1 ∣ ∣ 1 4 1 0 − 4 1 ) − 3 II ⇔ ( 2 0 0 1 ∣ ∣ 4 1 4 1 4 3 − 4 1 ) ⇔ ( 1 0 0 1 ∣ ∣ 8 1 4 1 8 3 − 4 1 )
Then
B − 1 = ( 1 8 3 8 1 4 − 1 4 ) {B^{ - 1}} = \left( {\begin{matrix}
{\frac{1}{8}}&{\frac{3}{8}}\\
{\frac{1}{4}}&{ - \frac{1}{4}}
\end{matrix}} \right) B − 1 = ( 8 1 4 1 8 3 − 4 1 )
A B − 1 = ( − 2 2 2 − 4 ) ( 1 8 3 8 1 4 − 1 4 ) = ( − 1 4 + 1 2 − 3 4 − 1 2 1 4 − 1 3 4 + 1 ) = ( 1 4 − 5 4 − 3 4 7 4 ) A{B^{ - 1}} = \left( {\begin{matrix}
{ - 2}&2\\
2&{ - 4}
\end{matrix}} \right)\left( {\begin{matrix}
{\frac{1}{8}}&{\frac{3}{8}}\\
{\frac{1}{4}}&{ - \frac{1}{4}}
\end{matrix}} \right) = \left( {\begin{matrix}
{ - \frac{1}{4} + \frac{1}{2}}&{ - \frac{3}{4} - \frac{1}{2}}\\
{\frac{1}{4} - 1}&{\frac{3}{4} + 1}
\end{matrix}} \right) = \left( {\begin{matrix}
{\frac{1}{4}}&{ - \frac{5}{4}}\\
{ - \frac{3}{4}}&{\frac{7}{4}}
\end{matrix}} \right) A B − 1 = ( − 2 2 2 − 4 ) ( 8 1 4 1 8 3 − 4 1 ) = ( − 4 1 + 2 1 4 1 − 1 − 4 3 − 2 1 4 3 + 1 ) = ( 4 1 − 4 3 − 4 5 4 7 )
Let's find ( A B − 1 ) − 1 {\left( {A{B^{ - 1}}} \right)^{ - 1}} ( A B − 1 ) − 1 :
( A B − 1 ) − 1 = ( 1 4 − 5 4 − 3 4 7 4 ∣ 1 0 0 1 ) ⇔ ( 1 − 5 − 3 7 ∣ 4 0 0 4 ) + 3 I ⇔ ( 1 − 5 0 − 8 ∣ 4 0 12 4 ) ⇔ ( 1 − 5 0 − 2 ∣ 4 0 3 1 ) − 5 2 I I ⇔ ( 1 0 0 − 2 ∣ − 7 2 − 5 2 3 1 ) ⇔ ( 1 0 0 1 ∣ − 7 2 − 5 2 − 3 2 − 1 2 ) {\left( {A{B^{ - 1}}} \right)^{ - 1}} = \left( {\left. {\begin{matrix}
{\frac{1}{4}}&{ - \frac{5}{4}}\\
{ - \frac{3}{4}}&{\frac{7}{4}}
\end{matrix}} \right|\begin{matrix}
1&0\\
0&1
\end{matrix}} \right) \Leftrightarrow \left( {\left. {\begin{matrix}
1&{ - 5}\\
{ - 3}&7
\end{matrix}} \right|\begin{matrix}
4&0\\
0&4
\end{matrix}} \right)\begin{matrix}
{}\\
{ + 3I}
\end{matrix} \Leftrightarrow \left( {\left. {\begin{matrix}
1&{ - 5}\\
0&{ - 8}
\end{matrix}} \right|\begin{matrix}
4&0\\
{12}&4
\end{matrix}} \right) \Leftrightarrow \left( {\left. {\begin{matrix}
1&{ - 5}\\
0&{ - 2}
\end{matrix}} \right|\begin{matrix}
4&0\\
3&1
\end{matrix}} \right)\begin{matrix}
{ - \frac{5}{2}II}\\
{}
\end{matrix} \Leftrightarrow \left( {\left. {\begin{matrix}
1&0\\
0&{ - 2}
\end{matrix}} \right|\begin{matrix}
{ - \frac{7}{2}}&{ - \frac{5}{2}}\\
3&1
\end{matrix}} \right) \Leftrightarrow \left( {\left. {\begin{matrix}
1&0\\
0&1
\end{matrix}} \right|\begin{matrix}
{ - \frac{7}{2}}&{ - \frac{5}{2}}\\
{ - \frac{3}{2}}&{ - \frac{1}{2}}
\end{matrix}} \right) ( A B − 1 ) − 1 = ( 4 1 − 4 3 − 4 5 4 7 ∣ ∣ 1 0 0 1 ) ⇔ ( 1 − 3 − 5 7 ∣ ∣ 4 0 0 4 ) + 3 I ⇔ ( 1 0 − 5 − 8 ∣ ∣ 4 12 0 4 ) ⇔ ( 1 0 − 5 − 2 ∣ ∣ 4 3 0 1 ) − 2 5 II ⇔ ( 1 0 0 − 2 ∣ ∣ − 2 7 3 − 2 5 1 ) ⇔ ( 1 0 0 1 ∣ ∣ − 2 7 − 2 3 − 2 5 − 2 1 )
Then
( A B − 1 ) − 1 = ( − 3.5 − 2.5 − 1.5 − 0.5 ) {\left( {A{B^{ - 1}}} \right)^{ - 1}} = \left( {\begin{matrix}
{ - 3.5}&{ - 2.5}\\
{ - 1.5}&{ - 0.5}
\end{matrix}} \right) ( A B − 1 ) − 1 = ( − 3.5 − 1.5 − 2.5 − 0.5 )
By the properties of the inverse matrix
( A B − 1 ) − 1 = ( B − 1 ) − 1 A − 1 = B A − 1 {\left( {A{B^{ - 1}}} \right)^{ - 1}} = {\left( {{B^{ - 1}}} \right)^{ - 1}}{A^{ - 1}} = B{A^{ - 1}} ( A B − 1 ) − 1 = ( B − 1 ) − 1 A − 1 = B A − 1
Answer: 1. ( A B − 1 ) − 1 = ( − 3.5 − 2.5 − 1.5 − 0.5 ) {\left( {A{B^{ - 1}}} \right)^{ - 1}} = \left( {\begin{matrix}
{ - 3.5}&{ - 2.5}\\
{ - 1.5}&{ - 0.5}
\end{matrix}} \right) ( A B − 1 ) − 1 = ( − 3.5 − 1.5 − 2.5 − 0.5 ) , 5. B A − 1 B{A^{ - 1}} B A − 1
Comments