( 1 ) y ′ ′ − 6 y ′ + 25 y = 0 A . E . m 2 − 6 m + 25 = 0 m = 6 ± 36 − 100 2 m = 6 ± 8 i 2 = 3 ± 4 i y = e 3 x ( A c o s ( 4 x ) + B s i n ( 4 x ) ) ( 2 ) y ′ ′ + y = s i n ( 2 x ) A . E . m 2 + 1 = 0 m = ± i y c = A c o s ( x ) + B s i n ( x ) . . . . . . ( 1 ) L e t y p = C c o s ( 2 x ) + D s i n ( 2 x ) T h e n y ′ ′ p = − 4 C c o s ( 2 x ) − 4 D s i n ( 2 x ) ( − 4 C c o s ( 2 x ) − 4 D s i n ( 2 x ) ) + ( − 4 C c o s ( 2 x ) − 4 D s i n ( 2 x ) ) = s i n ( 2 x ) c o l l e c t i n g a l l c o m m o n t e r m s a n d s o l v e , C = 0 , D = − 1 8 y p = − s i n ( 2 x ) 8 . . . . . . . . . . . . . . ( 2 ) y = y c + y p = − s i n ( 2 x ) 8 + A c o s ( x ) + B s i n ( x ) y = A c o s ( x ) + B s i n ( x ) − s i n ( 2 x ) 8 ( 3 ) 6 y ′ − 2 y = x y 4 , y ( 0 ) = − 2 y − 4 y ′ − y − 3 3 = x 6 ( B e r n o u l l i e q u a t i o n ) l e t z = y − 3 3 , z ′ = − 3 y − 4 y ′ T h e n w e h a v e : z ′ + 3 z = − x 2 ( L i n e a r e q u a t i o n ) z ′ + 3 z = − x 2 I F = e ∫ 3 d x = e 3 x z e 3 x = ∫ − x e 3 x 2 d x + C z e 3 x = − x e 3 x 6 + C z = − x 6 + C e − 3 x y − 3 3 = − x 6 + C e − 3 x b u t y ( 0 ) = − 2 , s u c h t h a t − 1 24 = C y − 3 3 = − x 6 − e − 3 x 24 y − 3 = − x 2 − e − 3 x 8 ( 4 ) 2 x 2 y ′ ′ + 3 x y ′ − 15 y = 0 l e t y = A x r , y ′ = A r x r − 1 , y ′ ′ = A r ( r − 1 ) x r − 2 2 x 2 ( A r ( r − 1 ) x r − 2 ) + 3 x ( A r x r − 1 ) − 15 A x r = 0 2 r ( r − 1 ) + 3 r − 15 = 0 2 r 2 + r − 15 = 0 ( 2 r − 5 ) ( r + 3 ) = 0 r = 5 2 , r = − 3 y = A 1 x 5 2 + A 2 x − 3 b u t y ( 1 ) = 0 , A 1 + A 2 = 0 . . . . . ( 1 ) a n d y ′ ( 1 ) = 1 , 5 A 1 2 − 3 A 2 = 1 . . . ( 2 ) S o l v i n g 1 a n d 2 , A 1 = 2 11 , A 2 = − 2 11 , y = 2 11 x 5 2 − 2 11 x − 3 \left(\mathrm{1}\right)\ \ y''{}{}\ -\ \ \mathrm{6}y'\ \ +\ \ \ \mathrm{25}y\ \ =0 \\
A.E.\ \ \ \ m^{\mathrm{2}}-\mathrm{6}m+\mathrm{25}=0 \\
m=\frac{\mathrm{6}\pm \sqrt{\mathrm{36}-\mathrm{100}}}{\mathrm{2}} \\
m=\frac{\mathrm{6}\pm \mathrm{8}i}{\mathrm{2}}\ \ =\ \ \mathrm{3}\pm \mathrm{4}i \\
y=e^{\mathrm{3}x}\left(A\mathrm{cos}\left(\mathrm{4}x\right)\ \ +\ \ B\mathrm{sin}\left(\mathrm{4}x\right)\right) \\
\\
\left(\mathrm{2}\right)\ \ y''{}{}\ +y\ \ =\mathrm{sin}\left(\mathrm{2}x\right) \\
A.E.\ \ \ m^{\mathrm{2}}+\mathrm{1}=0\ \ \\
m=\pm i \\
y_c\ \ =A\mathrm{cos}\left(x\right)+B\mathrm{sin}\left(x\right)......\left(\mathrm{1}\right) \\
Let\ \ y_p=C\ \mathrm{cos}\left(\mathrm{2}x\right)\ \ \ +\ \ D\ \mathrm{sin}\left(\mathrm{2}x\right)\ \ \\
Then\ \ {y''}_p=-\mathrm{4}C\ \mathrm{cos}\left(\mathrm{2}x\right)\ \ \ -\ \ \ \mathrm{4}D\ \mathrm{sin}\left(\mathrm{2}x\right)\ \ \\
\left(-\mathrm{4}C\ \mathrm{cos}\left(\mathrm{2}x\right)\ \ \ -\ \ \ \mathrm{4}D\ \mathrm{sin}\left(\mathrm{2}x\right)\ \ \right)+\left(-\mathrm{4}C\ \mathrm{cos}\left(\mathrm{2}x\right)\ \ \ -\ \ \ \mathrm{4}D\ \mathrm{sin}\left(\mathrm{2}x\right)\ \ \right)\ \ =\ \ \mathrm{sin}\left(\mathrm{2}x\right) \\
collecting\ \ all\ \ common\ \ terms\ and\ \ solve\ \ ,C=0\ \ ,\ \ D=\frac{-\mathrm{1}}{\mathrm{8}} \\
y_p=-\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{2}x\right)\ }{\mathrm{8}}\ ..............\left(\mathrm{2}\right)
y=y_c+y_p=-\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{2}x\right)\ }{\mathrm{8}}\ \ +A\mathrm{cos}\left(x\right)+B\mathrm{sin}\left(x\right) \\
y=A\mathrm{cos}\left(x\right)+B\mathrm{sin}\left(x\right)-\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{2}x\right)\ }{\mathrm{8}}\ \\
\\
\mathrm{(3)}\ \ \ \ \mathrm{6}y'\ \ -\mathrm{2}y\ \ =\ xy^{\mathrm{4}}\ ,\ \ \ \ \ y\left(0\right)=-\mathrm{2} \\
y^{-\mathrm{4}}y'\ \ -\frac{y^{-\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}\ \ =\ \frac{x}{\mathrm{6}}\ \ \ \ \left(Bernoulli\ \ equation\right) \\
let\ \ z=\ \ \frac{y^{-\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}\ \ \ \ ,\ \ z'=-\mathrm{3}y^{-\mathrm{4}}y'\ \ \\
Then\ \ we\ \ have\ \ \mathrm{:}\ \ z'\ +\mathrm{3}z\ \ =\ -\frac{x}{\mathrm{2}}\ \ \ \ \left(Linear\ \ equation\right) \\
z'\ +\mathrm{3}z\ \ =\ -\frac{x}{\mathrm{2}}\ \\
IF\ \ =\ \ e^{\int{\mathrm{3}dx}}\ \ =\ \ e^{\mathrm{3}x}
ze^{\mathrm{3}x}\ \ \ =\ \ \ \int{-\frac{xe^{\mathrm{3}x}}{\mathrm{2}}\ }\ \ dx\ \ \ +\ \ \ C \\
\\
ze^{\mathrm{3}x}\ \ =-\frac{xe^{\mathrm{3}x}}{\mathrm{6}}+C \\
\\
z=\frac{-x}{\mathrm{6}}+Ce^{-\mathrm{3}x} \\
\\
\ \ \frac{y^{-\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}\ \ \ \ =\frac{-x}{\mathrm{6}}+Ce^{-\mathrm{3}x} \\
\\
but\ \ y\left(0\right)=-\mathrm{2}\ \ \ ,\ \ such\ \ that\ \ \frac{-\mathrm{1}}{\mathrm{24}}=C \\
\frac{y^{-\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}\ \ \ \ =\frac{-x}{\mathrm{6}}-\frac{e^{-\mathrm{3}x}}{\mathrm{24}} \\
\\
y^{-\mathrm{3}}\ \ \ \ =-\frac{x}{\mathrm{2}}-\frac{e^{-\mathrm{3}x}}{\mathrm{8}} \\
\\
\left(\mathrm{4}\right)\ \ \mathrm{2}x^{\mathrm{2}}y''\ \ +\ \ \mathrm{3}xy'\ -\ \ \mathrm{15}y\ \ =0\ \ \\
let\ \ y=Ax^r\ \ ,\ \ \ y'=Arx^{r-\mathrm{1}}\ \ ,\ \ y''\ =\ \ Ar\left(r-\mathrm{1}\right)x^{r-\mathrm{2}}\ \\
\mathrm{2}x^{\mathrm{2}}\left(Ar\left(r-\mathrm{1}\right)x^{r-\mathrm{2}}\ \right)\ \ +\ \ \mathrm{3}x\left(Arx^{r-\mathrm{1}}\ \ \right)\ -\mathrm{15}Ax^r\ \ =0 \\
\mathrm{2}r\left(r-\mathrm{1}\right)+\mathrm{3}r-\mathrm{15}=0 \\
\mathrm{2}r^{\mathrm{2}}+r-\mathrm{15}=0 \\
\left(\mathrm{2}r-\mathrm{5}\right)\left(r+\mathrm{3}\right)=0 \\
r=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\ \ ,\ \ r=-\mathrm{3} \\
y=A_{\mathrm{1}}x^{\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}}{}{}{}\ \ +\ \ \ A_{\mathrm{2}}x^{-\mathrm{3}} \\
\\
but\ \ y\left(\mathrm{1}\right)=0\ \ \ \ ,\ \ \ A_{\mathrm{1}}+\ \ \ A_{\mathrm{2}}=0\ \ .....\left(\mathrm{1}\right) \\
and\ \ y\mathrm{'}\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{1}\ \ ,\ \ \frac{\mathrm{5}A_{\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}-\mathrm{3}\ A_{\mathrm{2}}=\mathrm{1}\ \ ...\left(\mathrm{2}\right) \\
Solving\ \ \ \mathrm{1}\ \ \ \ and\ \ \ \ \mathrm{2}\ \ \ , \\
A_{\mathrm{1}}=\ \frac{\mathrm{2}}{\mathrm{11}}\ \ \ ,\ \ \ \ A_{\mathrm{2}}=\frac{-\mathrm{2}}{\mathrm{11}}\ \ \ , \\
\\
y=\ \frac{\mathrm{2}}{\mathrm{11}}x^{\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}}{}{}{}\ \ -\ \ \ \ \frac{\mathrm{2}}{\mathrm{11}}x^{-\mathrm{3}} ( 1 ) y ′′ − 6 y ′ + 25 y = 0 A . E . m 2 − 6 m + 25 = 0 m = 2 6 ± 36 − 100 m = 2 6 ± 8 i = 3 ± 4 i y = e 3 x ( A cos ( 4 x ) + B sin ( 4 x ) ) ( 2 ) y ′′ + y = sin ( 2 x ) A . E . m 2 + 1 = 0 m = ± i y c = A cos ( x ) + B sin ( x ) ...... ( 1 ) L e t y p = C cos ( 2 x ) + D sin ( 2 x ) T h e n y ′′ p = − 4 C cos ( 2 x ) − 4 D sin ( 2 x ) ( − 4 C cos ( 2 x ) − 4 D sin ( 2 x ) ) + ( − 4 C cos ( 2 x ) − 4 D sin ( 2 x ) ) = sin ( 2 x ) co ll ec t in g a ll co mm o n t er m s an d so l v e , C = 0 , D = 8 − 1 y p = − 8 sin ( 2 x ) .............. ( 2 ) y = y c + y p = − 8 sin ( 2 x ) + A cos ( x ) + B sin ( x ) y = A cos ( x ) + B sin ( x ) − 8 sin ( 2 x ) ( 3 ) 6 y ′ − 2 y = x y 4 , y ( 0 ) = − 2 y − 4 y ′ − 3 y − 3 = 6 x ( B er n o u ll i e q u a t i o n ) l e t z = 3 y − 3 , z ′ = − 3 y − 4 y ′ T h e n w e ha v e : z ′ + 3 z = − 2 x ( L in e a r e q u a t i o n ) z ′ + 3 z = − 2 x I F = e ∫ 3 d x = e 3 x z e 3 x = ∫ − 2 x e 3 x d x + C z e 3 x = − 6 x e 3 x + C z = 6 − x + C e − 3 x 3 y − 3 = 6 − x + C e − 3 x b u t y ( 0 ) = − 2 , s u c h t ha t 24 − 1 = C 3 y − 3 = 6 − x − 24 e − 3 x y − 3 = − 2 x − 8 e − 3 x ( 4 ) 2 x 2 y ′′ + 3 x y ′ − 15 y = 0 l e t y = A x r , y ′ = A r x r − 1 , y ′′ = A r ( r − 1 ) x r − 2 2 x 2 ( A r ( r − 1 ) x r − 2 ) + 3 x ( A r x r − 1 ) − 15 A x r = 0 2 r ( r − 1 ) + 3 r − 15 = 0 2 r 2 + r − 15 = 0 ( 2 r − 5 ) ( r + 3 ) = 0 r = 2 5 , r = − 3 y = A 1 x 2 5 + A 2 x − 3 b u t y ( 1 ) = 0 , A 1 + A 2 = 0 ..... ( 1 ) an d y ′ ( 1 ) = 1 , 2 5 A 1 − 3 A 2 = 1 ... ( 2 ) S o l v in g 1 an d 2 , A 1 = 11 2 , A 2 = 11 − 2 , y = 11 2 x 2 5 − 11 2 x − 3
#340153 on Dec 2023
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