y ′ ′ ′ − y = 3 cos ( 2 x ) y'''-y=3\cos(2x) y ′′′ − y = 3 cos ( 2 x ) Homogeneous Equation
y ′ ′ ′ − y = 0 y'''-y=0 y ′′′ − y = 0 The characteristic (auxiliary) equation
r 3 − 1 = 0 r^3-1=0 r 3 − 1 = 0
( r − 1 ) ( r 2 + r + 1 ) = 0 (r-1)(r^2+r+1)=0 ( r − 1 ) ( r 2 + r + 1 ) = 0
r 1 = 1 , r 2 , 3 = − 1 2 ± i 3 2 r_1=1, r_2,3=-\dfrac{1}{2}\pm i\dfrac{\sqrt{3}}{2} r 1 = 1 , r 2 , 3 = − 2 1 ± i 2 3
y h = c 1 e x + e − x / 2 ( c 2 cos ( 3 2 x ) + c 3 sin ( 3 2 x ) ) y_h=c_1e^{x}+e^{-x/2}\bigg(c_2\cos(\dfrac{\sqrt{3}}{2}x)+c_3\sin(\dfrac{\sqrt{3}}{2}x)\bigg) y h = c 1 e x + e − x /2 ( c 2 cos ( 2 3 x ) + c 3 sin ( 2 3 x ) )
y p = A sin ( 2 x ) + B cos ( 2 x ) y_p=A\sin(2x)+B\cos(2x) y p = A sin ( 2 x ) + B cos ( 2 x )
y p ′ = 2 A cos ( 2 x ) − 2 B sin ( 2 x ) y_p'=2A\cos(2x)-2B\sin(2x) y p ′ = 2 A cos ( 2 x ) − 2 B sin ( 2 x )
y p ′ ′ = − 4 A sin ( 2 x ) − 4 B cos ( 2 x ) y_p''=-4A\sin(2x)-4B\cos(2x) y p ′′ = − 4 A sin ( 2 x ) − 4 B cos ( 2 x )
y p ′ ′ ′ = − 8 A cos ( 2 x ) + 8 B sin ( 2 x ) y_p'''=-8A\cos(2x)+8B\sin(2x) y p ′′′ = − 8 A cos ( 2 x ) + 8 B sin ( 2 x )
Then
− 8 A cos ( 2 x ) + 8 B sin ( 2 x ) -8A\cos(2x)+8B\sin(2x) − 8 A cos ( 2 x ) + 8 B sin ( 2 x )
− A sin ( 2 x ) − B cos ( 2 x ) = 3 cos ( 2 x ) -A\sin(2x)-B\cos(2x)=3\cos(2x) − A sin ( 2 x ) − B cos ( 2 x ) = 3 cos ( 2 x )
8 B − A = 0 8B-A=0 8 B − A = 0
− 8 A − B = 3 -8A-B=3 − 8 A − B = 3
A = − 24 65 A=-\dfrac{24}{65} A = − 65 24
B = − 3 65 B=-\dfrac{3}{65} B = − 65 3
Therefore
y ( x ) = c 1 e x + e − x / 2 ( c 2 cos ( 3 2 x ) + c 3 sin ( 3 2 x ) ) y(x)=c_1e^{x}+e^{-x/2}\bigg(c_2\cos(\dfrac{\sqrt{3}}{2}x)+c_3\sin(\dfrac{\sqrt{3}}{2}x)\bigg) y ( x ) = c 1 e x + e − x /2 ( c 2 cos ( 2 3 x ) + c 3 sin ( 2 3 x ) )
− 24 65 sin ( 2 x ) − 8 65 cos ( 2 x ) -\dfrac{24}{65}\sin(2x)-\dfrac{8}{65}\cos(2x) − 65 24 sin ( 2 x ) − 65 8 cos ( 2 x )
#340153 on Dec 2023