Question

If f(x, y) ={ 1 if x=0 or y=0 and 0 otherwise } then lim f(x, y) does not exist for limit (x, y) approaches to (0, 0).

Answer 1

Consider the limit of $f(x,y)$  along straight lines $x=t, y=at, (or \ y=ax$ , wherea is the slope) as $t→0^+$

.We have,

$lim_{(x,y)→(0,0)} ​f(x,y)=lim_{t→0^+} ​f(t,at)=0,if \ a \neq 0$  (by definition of the function).And,

$lim_{(x,y)→(0,0)} ​f(x,y)=lim_{t→0^+} ​f(t,at)=1,if \ a = 0$(by definition of the function)Thus, since the limit along a straight line depends on the slope of te line. We have that the two-variable limit does not exist.