1. P ( x ) = − 2 x 3 − 22 x 2 − 60 x P(x)=-2x^3-22x^2-60x P ( x ) = − 2 x 3 − 22 x 2 − 60 x
y y y -intercept: x = 0 x=0 x = 0
P ( 0 ) = − 2 ( 0 ) 3 − 22 ( 0 ) 2 − 60 ( 0 ) = 0 P(0)=-2(0)^3-22(0)^2-60(0)=0 P ( 0 ) = − 2 ( 0 ) 3 − 22 ( 0 ) 2 − 60 ( 0 ) = 0
Point ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 )
The graph passes through the origin.
zeros: y = 0 = > − 2 x 3 − 22 x 2 − 60 x = 0 y=0=>-2x^3-22x^2-60x=0 y = 0 => − 2 x 3 − 22 x 2 − 60 x = 0
− 2 x ( x 2 + 11 x + 30 ) = 0 -2x(x^2+11x+30)=0 − 2 x ( x 2 + 11 x + 30 ) = 0
− 2 x ( x + 6 ) ( x + 5 ) = 0 -2x(x+6)(x+5)=0 − 2 x ( x + 6 ) ( x + 5 ) = 0 z e r o s ; − 6 , − 5 , 0 zeros; -6, -5, 0 zeros ; − 6 , − 5 , 0
Point ( − 6 , 0 ) (-6,0) ( − 6 , 0 ) , Point ( − 5 , 0 ) (-5,0) ( − 5 , 0 ) , Point ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 )
y ′ = − 6 x 2 − 44 x − 60 y'=-6x^2-44x-60 y ′ = − 6 x 2 − 44 x − 60
y ′ = 0 = > − 6 x 2 − 44 x − 60 = 0 y'=0=>-6x^2-44x-60=0 y ′ = 0 => − 6 x 2 − 44 x − 60 = 0
3 x 2 + 22 x + 30 = 0 3x^2+22x+30=0 3 x 2 + 22 x + 30 = 0
D = ( 22 ) 2 − 4 ( 3 ) ( 30 ) = 124 D=(22)^2-4(3)(30)=124 D = ( 22 ) 2 − 4 ( 3 ) ( 30 ) = 124
x = − 22 ± 124 2 ( 3 ) = − 11 ± 31 3 x=\dfrac{-22\pm\sqrt{124}}{2(3)}=\dfrac{-11\pm\sqrt{31}}{3} x = 2 ( 3 ) − 22 ± 124 = 3 − 11 ± 31 There are two turning points.
y → ∞ y\to \infin y → ∞ as x → − ∞ x\to-\infin x → − ∞
y → − ∞ y\to -\infin y → − ∞ as x → ∞ x\to\infin x → ∞
2. P ( x ) = 6 x 3 + 5 x 2 − 2 x − 1 P(x)=6x^3+5x^2-2x-1 P ( x ) = 6 x 3 + 5 x 2 − 2 x − 1
y y y -intercept: x = 0 x=0 x = 0
P ( 0 ) = 6 ( 0 ) 3 + 5 ( 0 ) 2 − 2 ( 0 ) − 1 = − 1 P(0)=6(0)^3+5(0)^2-2(0)-1=-1 P ( 0 ) = 6 ( 0 ) 3 + 5 ( 0 ) 2 − 2 ( 0 ) − 1 = − 1
Point ( 0 , − 1 ) (0,-1) ( 0 , − 1 )
zeros: y = 0 = > 6 x 3 + 5 x 2 − 2 x − 1 = 0 y=0=>6x^3+5x^2-2x-1=0 y = 0 => 6 x 3 + 5 x 2 − 2 x − 1 = 0
6 x 3 + 6 x 2 − x 2 − x − x − 1 = 0 6x^3+6x^2-x^2-x-x-1=0 6 x 3 + 6 x 2 − x 2 − x − x − 1 = 0
6 x 2 ( x + 1 ) − x ( x + 1 ) − ( x + 1 ) = 0 6x^2(x+1)-x(x+1)-(x+1)=0 6 x 2 ( x + 1 ) − x ( x + 1 ) − ( x + 1 ) = 0
( x + 1 ) ( 6 x 2 − x − 1 ) = 0 (x+1)(6x^2-x-1)=0 ( x + 1 ) ( 6 x 2 − x − 1 ) = 0
( x + 1 ) ( 2 x − 1 ) ( 3 x + 1 ) = 0 (x+1)(2x-1)(3x+1)=0 ( x + 1 ) ( 2 x − 1 ) ( 3 x + 1 ) = 0
z e r o s ; − 1 , − 1 / 3 , 1 / 2 zeros; -1, -1/3, 1/2 zeros ; − 1 , − 1/3 , 1/2
Point ( − 1 , 0 ) (-1,0) ( − 1 , 0 ) , Point ( − 1 / 3 , 0 ) (-1/3,0) ( − 1/3 , 0 ) , Point ( 1 / 2 , 0 ) (1/2,0) ( 1/2 , 0 )
y ′ = 18 x 2 + 10 x − 2 y'=18x^2+10x-2 y ′ = 18 x 2 + 10 x − 2
y ′ = 0 = > 18 x 2 + 10 x − 2 = 0 y'=0=>18x^2+10x-2=0 y ′ = 0 => 18 x 2 + 10 x − 2 = 0
9 x 2 + 5 x − 1 = 0 9x^2+5x-1=0 9 x 2 + 5 x − 1 = 0
D = ( 5 ) 2 − 4 ( 9 ) ( − 1 ) = 61 D=(5)^2-4(9)(-1)=61 D = ( 5 ) 2 − 4 ( 9 ) ( − 1 ) = 61
x = − 5 ± 61 2 ( 9 ) x=\dfrac{-5\pm\sqrt{61}}{2(9)} x = 2 ( 9 ) − 5 ± 61 There are two turning points.
y → − ∞ y\to -\infin y → − ∞ as x → − ∞ x\to-\infin x → − ∞
y → ∞ y\to \infin y → ∞ as x → ∞ x\to\infin x → ∞
4. P ( x ) = x 4 + x 3 − 10 x 2 + 8 P(x)=x^4+x^3-10x^2+8 P ( x ) = x 4 + x 3 − 10 x 2 + 8
y y y -intercept:x = 0 x=0 x = 0
P ( 0 ) = ( 0 ) 4 + ( 0 ) 3 − 10 ( 0 ) 2 + 8 = 8 P(0)=(0)^4+(0)^3-10(0)^2+8=8 P ( 0 ) = ( 0 ) 4 + ( 0 ) 3 − 10 ( 0 ) 2 + 8 = 8
Point ( 0 , 8 ) (0,8) ( 0 , 8 )
zeros: y = 0 = > x 4 + x 3 − 10 x 2 + 8 = 0 y=0=>x^4+x^3-10x^2+8=0 y = 0 => x 4 + x 3 − 10 x 2 + 8 = 0
x 4 − x 3 + 2 x 3 − 2 x 2 − 8 x 2 + 8 = 0 x^4-x^3+2x^3-2x^2-8x^2+8=0 x 4 − x 3 + 2 x 3 − 2 x 2 − 8 x 2 + 8 = 0
x 3 ( x − 1 ) + 2 x 2 ( x − 1 ) − 8 ( x + 1 ) ( x − 1 ) = 0 x^3(x-1)+2x^2(x-1)-8(x+1)(x-1)=0 x 3 ( x − 1 ) + 2 x 2 ( x − 1 ) − 8 ( x + 1 ) ( x − 1 ) = 0
( x − 1 ) ( x 3 + 2 x 2 − 8 x − 8 ) = 0 (x-1)(x^3+2x^2-8x-8)=0 ( x − 1 ) ( x 3 + 2 x 2 − 8 x − 8 ) = 0 x 1 = 1 x_1=1 x 1 = 1
P ( − 4 ) = ( − 4 ) 4 + ( − 4 ) 3 − 10 ( − 4 ) 2 + 8 = 40 > 0 P(-4)=(-4)^4+(-4)^3-10(-4)^2+8=40>0 P ( − 4 ) = ( − 4 ) 4 + ( − 4 ) 3 − 10 ( − 4 ) 2 + 8 = 40 > 0
P ( − 3 ) = ( − 3 ) 4 + ( − 3 ) 3 − 10 ( − 3 ) 2 + 8 = − 28 < 0 P(-3)=(-3)^4+(-3)^3-10(-3)^2+8=-28<0 P ( − 3 ) = ( − 3 ) 4 + ( − 3 ) 3 − 10 ( − 3 ) 2 + 8 = − 28 < 0 There is c 1 ∈ ( − 4 , − 3 ) c_1\in(-4, -3) c 1 ∈ ( − 4 , − 3 ) such that y ( c 1 ) = 0. y(c_1)=0. y ( c 1 ) = 0.
P ( − 1 ) = ( − 1 ) 4 + ( − 1 ) 3 − 10 ( − 1 ) 2 + 8 = − 2 < 0 P(-1)=(-1)^4+(-1)^3-10(-1)^2+8=-2<0 P ( − 1 ) = ( − 1 ) 4 + ( − 1 ) 3 − 10 ( − 1 ) 2 + 8 = − 2 < 0
P ( 0 ) = ( 0 ) 4 + ( 0 ) 3 − 10 ( 0 ) 2 + 8 = 8 > 0 P(0)=(0)^4+(0)^3-10(0)^2+8=8>0 P ( 0 ) = ( 0 ) 4 + ( 0 ) 3 − 10 ( 0 ) 2 + 8 = 8 > 0 There is c 2 ∈ ( − 1 , 0 ) c_2\in(-1, 0) c 2 ∈ ( − 1 , 0 ) such that y ( c 2 ) = 0. y(c_2)=0. y ( c 2 ) = 0.
P ( 2 ) = ( 2 ) 4 + ( 2 ) 3 − 10 ( 2 ) 2 + 8 = − 8 < 0 P(2)=(2)^4+(2)^3-10(2)^2+8=-8<0 P ( 2 ) = ( 2 ) 4 + ( 2 ) 3 − 10 ( 2 ) 2 + 8 = − 8 < 0
P ( 3 ) = ( 3 ) 4 + ( 3 ) 3 − 10 ( 3 ) 2 + 8 = 26 > 0 P(3)=(3)^4+(3)^3-10(3)^2+8=26>0 P ( 3 ) = ( 3 ) 4 + ( 3 ) 3 − 10 ( 3 ) 2 + 8 = 26 > 0 There is c 3 ∈ ( 2 , 3 ) c_3\in(2, 3) c 3 ∈ ( 2 , 3 ) such that y ( c 3 ) = 0. y(c_3)=0. y ( c 3 ) = 0.
z e r o s ; c 1 , c 2 , 1 , c 3 . zeros; c_1, c_2, 1, c_3. zeros ; c 1 , c 2 , 1 , c 3 .
Point ( − 1 , 0 ) (-1,0) ( − 1 , 0 ) , Point ( − 1 / 3 , 0 ) (-1/3,0) ( − 1/3 , 0 ) , Point ( 1 / 2 , 0 ) (1/2,0) ( 1/2 , 0 )
y ′ = 4 x 3 + 3 x 2 − 20 x y'=4x^3+3x^2-20x y ′ = 4 x 3 + 3 x 2 − 20 x
y ′ = 0 = > 4 x 3 + 3 x 2 − 20 x = 0 y'=0=>4x^3+3x^2-20x=0 y ′ = 0 => 4 x 3 + 3 x 2 − 20 x = 0
x ( 4 x 2 + 3 x − 20 ) = 0 x(4x^2+3x-20)=0 x ( 4 x 2 + 3 x − 20 ) = 0
x 1 = 0 x_1=0 x 1 = 0 Or
4 x 2 + 3 x − 20 = 0 4x^2+3x-20=0 4 x 2 + 3 x − 20 = 0
D = ( 3 ) 2 − 4 ( 4 ) ( − 20 ) = 329 D=(3)^2-4(4)(-20)=329 D = ( 3 ) 2 − 4 ( 4 ) ( − 20 ) = 329
x = − 3 ± 329 2 ( 4 ) x=\dfrac{-3\pm\sqrt{329}}{2(4)} x = 2 ( 4 ) − 3 ± 329 There are three turning points.
y → ∞ y\to\infin y → ∞ as x → − ∞ x\to-\infin x → − ∞
y → ∞ y\to \infin y → ∞ as x → ∞ x\to\infin x → ∞
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