f ( x ) = x 5 − 34 x 3 + 29 x 2 + 212 x − 300 ( a ) u p p e r b o u n d s N = 1 + 300 1 2 ≈ 18 1 0 − 34 29 212 − 300 17 1 17 255 > 0 > 0 > 0 10 1 10 66 > 0 > 0 > 0 6 1 6 2 41 458 > 0 5 1 5 − 9 < 0 u p p e r b o u n d s f ( x ) = 5 f(x)=x^5-34x^3+29x^2+212x-300\\
(a) upperbounds\\
N=1+\sqrt[2]{\frac{300}{1}}\approx18\\
\begin{matrix}
&1&0&-34&29&212&-300 \\
17 & 1&17&255&>0&>0&>0\\
10&1&10&66&>0&>0&>0\\
6&1&6&2&41&458&>0\\
5&1&5-9<0
\end{matrix}\\
upperbounds f(x)=5 f ( x ) = x 5 − 34 x 3 + 29 x 2 + 212 x − 300 ( a ) u pp er b o u n d s N = 1 + 2 1 300 ≈ 18 17 10 6 5 1 1 1 1 1 0 17 10 6 5 − 9 < 0 − 34 255 66 2 29 > 0 > 0 41 212 > 0 > 0 458 − 300 > 0 > 0 > 0 u pp er b o u n d s f ( x ) = 5
l o w e r b o u n d s f ( − x ) = − x 5 + 34 x 3 + 29 x 2 − 212 x − 300 f 1 ( x ) = − f ( − x ) = = x 5 − 34 x 3 − 29 x 2 + 212 x + 300 N = 1 + 34 1 2 ≈ 6 1 0 − 34 − 29 212 300 5 1 5 − 9 < 0 u p p e r b o u n d s f 1 ( x ) = 6 l o w e r b o u n d s f ( x ) = − 6 x ∈ ( − 6 , 5 ) lowerbounds\\
f(-x)=-x^5+34x^3+29x^2-212x-300\\
f_1(x)=-f(-x)=\\
=x^5-34x^3-29x^2+212x+300\\
N=1+\sqrt[2]{\frac{34}{1}}\approx6\\
\begin{matrix}
&1&0&-34&-29&212&300 \\
5 & 1&5&-9<0
\end{matrix}\\
upperbounds f_1(x)=6\\
lowerbounds f(x)=-6\\
x\in(-6,5) l o w er b o u n d s f ( − x ) = − x 5 + 34 x 3 + 29 x 2 − 212 x − 300 f 1 ( x ) = − f ( − x ) = = x 5 − 34 x 3 − 29 x 2 + 212 x + 300 N = 1 + 2 1 34 ≈ 6 5 1 1 0 5 − 34 − 9 < 0 − 29 212 300 u pp er b o u n d s f 1 ( x ) = 6 l o w er b o u n d s f ( x ) = − 6 x ∈ ( − 6 , 5 )
( b ) 300 : ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 5 , ± 6 , ± 10 , ± 12 , ± 15 , ± 20 , ± 25 , ± 30 , ± 50 , ± 60 , ± 75 , ± 100 , ± 150 , ± 300 x ∈ ( − 6 , 5 ) α : ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 5 f ( 1 ) = 1 − 34 + 29 + 212 − 300 = − 92 f ( − 1 ) = − 1 + 34 + 29 − 212 − 300 = − 450 f ( 1 ) α − 1 ∈ Z , f ( − 1 ) α + 1 ∈ Z − 92 α − 1 ∈ Z , − 450 α − 1 ∈ Z α = 2 , − 3 1 0 − 34 29 212 − 300 2 1 2 − 30 − 31 − 150 0 − 3 1 − 1 − 27 50 0 x 1 = − 3 , x 2 = 2 − r o o t s f ( x ) (b)\\
300:\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm5,\pm6,\pm10,\pm12,\pm15,\pm20,\\\pm25,\pm30,\pm50,\pm60,\pm75,\pm100,\pm150,\pm300\\
x\in(-6,5)\\
\alpha:\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm5\\
f(1)=1-34+29+212-300=-92\\
f(-1)=-1+34+29-212-300=-450\\
\frac{f(1)}{\alpha-1}\in Z, \frac{f(-1)}{\alpha+1}\in Z\\
-\frac{92}{\alpha-1}\in Z, -\frac{450}{\alpha-1}\in Z\\
\alpha=2,-3\\
\begin{matrix}
&1&0&-34&29&212&-300 \\
2 & 1&2&-30&-31&-150&0\\
-3&1&-1&-27&50&0
\end{matrix}\\
x_1=-3, x_2=2 - roots f(x) ( b ) 300 : ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 5 , ± 6 , ± 10 , ± 12 , ± 15 , ± 20 , ± 25 , ± 30 , ± 50 , ± 60 , ± 75 , ± 100 , ± 150 , ± 300 x ∈ ( − 6 , 5 ) α : ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 5 f ( 1 ) = 1 − 34 + 29 + 212 − 300 = − 92 f ( − 1 ) = − 1 + 34 + 29 − 212 − 300 = − 450 α − 1 f ( 1 ) ∈ Z , α + 1 f ( − 1 ) ∈ Z − α − 1 92 ∈ Z , − α − 1 450 ∈ Z α = 2 , − 3 2 − 3 1 1 1 0 2 − 1 − 34 − 30 − 27 29 − 31 50 212 − 150 0 − 300 0 x 1 = − 3 , x 2 = 2 − roo t s f ( x )
( c ) f ( x ) : x + 3 x 5 − 34 x 3 + 29 x 2 + 212 x − 300 ∣ x + 3 x 5 + 3 x 4 x 4 − 3 x 3 − 25 x 2 − 104 x − 100 − − − − − − − − 3 x 4 − 34 x 3 + 29 x 2 + 212 x − 300 − 3 x 4 − 9 x 3 − − − − − − − − 25 x 3 + 29 x 2 + 212 x − 300 − 25 x 3 − 75 x 2 − − − − − − − 104 x 2 + 212 x − 300 104 x 2 + 312 x − − − − − − − − 100 x − 300 − 100 x − 300 − − − − − − − 0 (c)\\
f(x):x+3\\
\begin{matrix}
x^5-34x^3+29x^2+212x-300 & |x+3 \\
x^5+3x^4& x^4-3x^3-25x^2-104x-100\\
-------\\
-3x^4-34x^3+29x^2+212x-300\\
-3x^4-9x^3\\
-------\\
-25x^3+29x^2+212x-300\\
-25x^3-75x^2\\
-------\\
104x^2+212x-300\\
104x^2+312x\\
-------\\
-100x-300\\
-100x-300\\
-------\\0
\end{matrix} ( c ) f ( x ) : x + 3 x 5 − 34 x 3 + 29 x 2 + 212 x − 300 x 5 + 3 x 4 − − − − − − − − 3 x 4 − 34 x 3 + 29 x 2 + 212 x − 300 − 3 x 4 − 9 x 3 − − − − − − − − 25 x 3 + 29 x 2 + 212 x − 300 − 25 x 3 − 75 x 2 − − − − − − − 104 x 2 + 212 x − 300 104 x 2 + 312 x − − − − − − − − 100 x − 300 − 100 x − 300 − − − − − − − 0 ∣ x + 3 x 4 − 3 x 3 − 25 x 2 − 104 x − 100
( d ) f ( x ) = x 5 − 34 x 3 + 29 x 2 + 212 x − 300 f ′ ( x ) = 5 x 3 − 102 x 2 + 58 x + 212 x n + 1 = x n − f ( x n ) f ′ ( x n ) x n = − 3 f ( − 3 ) = ( − 3 ) 5 − 34 ( − 3 ) 3 + 29 ( − 3 ) 2 + + 212 ( − 3 ) − 300 = 0 f ′ ( − 3 ) = 5 ( − 3 ) 4 − 102 ( − 3 ) 2 + 58 ( − 3 ) + 212 = − 475 x n + 1 = − 3 − 0 − 475 = − 3 (d)\\
f(x)= x^5-34x^3+29x^2+212x-300\\
f'(x)=5x^3-102x^2+58x+212\\
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\\
x_n=-3\\
f(-3)=(-3)^5-34(-3)^3+29(-3)^2+\\+212(-3)-300=0\\
f'(-3)=5(-3)^4-102(-3)^2+58(-3)+212=-475\\
x_{n+1}=-3-\frac{0}{-475}=-3 ( d ) f ( x ) = x 5 − 34 x 3 + 29 x 2 + 212 x − 300 f ′ ( x ) = 5 x 3 − 102 x 2 + 58 x + 212 x n + 1 = x n − f ′ ( x n ) f ( x n ) x n = − 3 f ( − 3 ) = ( − 3 ) 5 − 34 ( − 3 ) 3 + 29 ( − 3 ) 2 + + 212 ( − 3 ) − 300 = 0 f ′ ( − 3 ) = 5 ( − 3 ) 4 − 102 ( − 3 ) 2 + 58 ( − 3 ) + 212 = − 475 x n + 1 = − 3 − − 475 0 = − 3
#340153 on Dec 2023
Comments