y e x d x + ( 2 y + e x ) d y = 0 A n O D E M ( x , y ) + N ( x , y ) y ′ = 0 i s i n e x a c t f o r m i f t h e f o l l o w i n g h o l d s : 1. T h e r e e x i s t s a f u n c t i o n Ψ ( x , y ) s u c h t h a t Ψ x ( x , y ) = M ( x , y ) , Ψ y ( x , y ) = N ( x , y ) 2. Ψ ( x , y ) h a s c o n t i n u o u s p a r t i a l d e r i v a t i v e s : ∂ M ( x , y ) ∂ y = ∂ 2 Ψ ( x , y ) ∂ y ∂ x = ∂ 2 Ψ ( x , y ) ∂ x ∂ y = ∂ N ( x , y ) ∂ x L e t y b e t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e . D i v i d e b y d x : y e x + ( 2 y + e x ) d y d x = 0 S u b s t i t u t e d y d x w i t h y ′ y e x + ( 2 y + e x ) y ′ = 0 I f t h e c o n d i t i o n s a r e m e t , t h e n Ψ x + Ψ y ⋅ y ′ = d Ψ ( x , y ) d x = 0 T h e g e n e r a l s o l u t i o n i s Ψ ( x , y ) = C T r u e Ψ ( x , y ) = c 2 e x y + y 2 + c 1 = c 2 C o m b i n e t h e c o n s t a n t s e x y + y 2 = c 1 y = − e x + e 2 x + 4 c 1 2 , y = − e x − e 2 x + 4 c 1 2 y = − e x + e 2 x + c 1 2 , y = − e x − e 2 x + c 1 2 ye^xdx+\left(2y+e^x\right)dy=0\\
\mathrm{An\:ODE\:}M\left(x,\:y\right)+N\left(x,\:y\right)y'=0\mathrm{\:is\:in\:exact\:form\:if\:the\:following\:holds:}\\
1.\:\:\mathrm{There\:exists\:a\:function\:}\Psi \left(x,\:y\right)\mathrm{\:such\:that\:}\Psi _x\left(x,\:y\right)=M\left(x,\:y\right),\:\quad \Psi _y\left(x,\:y\right)=N\left(x,\:y\right)\\
2.\:\:\Psi \left(x,\:y\right)\mathrm{\:has\:continuous\:partial\:derivatives:\quad }\frac{\partial M\left(x,\:y\right)}{\partial y}=\frac{\partial ^2\Psi \left(x,\:y\right)}{\partial y\partial x}=\frac{\partial ^2\Psi \left(x,\:y\right)}{\partial x\partial y}=\frac{\partial N\left(x,\:y\right)}{\partial x}\\
\mathrm{Let\:}y\mathrm{\:be\:the\:dependent\:variable.\:Divide\:by\:}dx\mathrm{:}\\
ye^x+\left(2y+e^x\right)\frac{dy}{dx}=0\\
\mathrm{Substitute\quad }\frac{dy}{dx}\mathrm{\:with\:}y'\:\\
ye^x+\left(2y+e^x\right)y'\:=0\\
\mathrm{If\:the\:conditions\:are\:met,\:then\:}\Psi _x+\Psi _y\cdot \:y'=\frac{d\Psi \left(x,\:y\right)}{dx}=0\\
\mathrm{The\:general\:solution\:is\:}\Psi \left(x,\:y\right)=C\\
\mathrm{True}\\
Ψ\left(x,\:y\right)=c_2\\
e^xy+y^2+c_1=c_2\\
\mathrm{Combine\:the\:constants}\\
e^xy+y^2=c_1\\
y=\frac{-e^x+\sqrt{e^{2x}+4c_1}}{2},\:y=\frac{-e^x-\sqrt{e^{2x}+4c_1}}{2}\\
y=\frac{-e^x+\sqrt{e^{2x}+c_1}}{2},\:y=\frac{-e^x-\sqrt{e^{2x}+c_1}}{2} y e x d x + ( 2 y + e x ) d y = 0 An ODE M ( x , y ) + N ( x , y ) y ′ = 0 is in exact form if the following holds : 1. There exists a function Ψ ( x , y ) such that Ψ x ( x , y ) = M ( x , y ) , Ψ y ( x , y ) = N ( x , y ) 2. Ψ ( x , y ) has continuous partial derivatives : ∂ y ∂ M ( x , y ) = ∂ y ∂ x ∂ 2 Ψ ( x , y ) = ∂ x ∂ y ∂ 2 Ψ ( x , y ) = ∂ x ∂ N ( x , y ) Let y be the dependent variable. Divide by d x : y e x + ( 2 y + e x ) d x d y = 0 Substitute d x d y with y ′ y e x + ( 2 y + e x ) y ′ = 0 If the conditions are met , then Ψ x + Ψ y ⋅ y ′ = d x d Ψ ( x , y ) = 0 The general solution is Ψ ( x , y ) = C True Ψ ( x , y ) = c 2 e x y + y 2 + c 1 = c 2 Combine the constants e x y + y 2 = c 1 y = 2 − e x + e 2 x + 4 c 1 , y = 2 − e x − e 2 x + 4 c 1 y = 2 − e x + e 2 x + c 1 , y = 2 − e x − e 2 x + c 1
#340153 on Dec 2023
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