Answer on Question #81451 – Math – Linear Algebra Question
Check whether the matrices A A A B B B
i) A = ( − 2 − 5 − 1 3 6 1 − 2 − 3 1 ) A = \begin{pmatrix} -2 & -5 & -1 \\ 3 & 6 & 1 \\ -2 & -3 & 1 \end{pmatrix} A = ⎝ ⎛ − 2 3 − 2 − 5 6 − 3 − 1 1 1 ⎠ ⎞
Solution
( − 2 − λ − 5 − 1 3 6 − λ 1 − 2 − 3 1 − λ ) \left( \begin{array}{ccc} -2 - \lambda & -5 & -1 \\ 3 & 6 - \lambda & 1 \\ -2 & -3 & 1 - \lambda \end{array} \right) ⎝ ⎛ − 2 − λ 3 − 2 − 5 6 − λ − 3 − 1 1 1 − λ ⎠ ⎞
Characteristic equation
∣ − 2 − λ − 5 − 1 3 6 − λ 1 − 2 − 3 1 − λ ∣ = 0 \left| \begin{array}{ccc} -2 - \lambda & -5 & -1 \\ 3 & 6 - \lambda & 1 \\ -2 & -3 & 1 - \lambda \end{array} \right| = 0 ∣ ∣ − 2 − λ 3 − 2 − 5 6 − λ − 3 − 1 1 1 − λ ∣ ∣ = 0 ( − 2 − λ ) ∣ 6 − λ 1 − 3 1 − λ ∣ − ( − 5 ) ∣ 3 1 − 2 1 − λ ∣ + ( − 1 ) ∣ 3 6 − λ − 2 − 3 ∣ = 0 (-2 - \lambda) \left| \begin{array}{cc} 6 - \lambda & 1 \\ -3 & 1 - \lambda \end{array} \right| - (-5) \left| \begin{array}{cc} 3 & 1 \\ -2 & 1 - \lambda \end{array} \right| + (-1) \left| \begin{array}{cc} 3 & 6 - \lambda \\ -2 & -3 \end{array} \right| = 0 ( − 2 − λ ) ∣ ∣ 6 − λ − 3 1 1 − λ ∣ ∣ − ( − 5 ) ∣ ∣ 3 − 2 1 1 − λ ∣ ∣ + ( − 1 ) ∣ ∣ 3 − 2 6 − λ − 3 ∣ ∣ = 0 ( − 2 − λ ) ( 6 − 6 λ − λ + λ 2 + 3 ) + 5 ( 3 − 3 λ + 2 ) − ( − 9 + 12 − 2 λ ) = 0 (-2 - \lambda) (6 - 6\lambda - \lambda + \lambda^2 + 3) + 5(3 - 3\lambda + 2) - (-9 + 12 - 2\lambda) = 0 ( − 2 − λ ) ( 6 − 6 λ − λ + λ 2 + 3 ) + 5 ( 3 − 3 λ + 2 ) − ( − 9 + 12 − 2 λ ) = 0 − 18 + 14 λ − 2 λ 2 − 9 λ + 7 λ 2 − λ 3 + 25 − 15 λ − 3 + 2 λ = 0 -18 + 14\lambda - 2\lambda^2 - 9\lambda + 7\lambda^2 - \lambda^3 + 25 - 15\lambda - 3 + 2\lambda = 0 − 18 + 14 λ − 2 λ 2 − 9 λ + 7 λ 2 − λ 3 + 25 − 15 λ − 3 + 2 λ = 0 − λ 3 + 5 λ 2 − 8 λ + 4 = 0 - \lambda^3 + 5 \lambda^2 - 8 \lambda + 4 = 0 − λ 3 + 5 λ 2 − 8 λ + 4 = 0 ( 1 − λ ) λ 2 + 4 ( λ 2 − 2 λ + 1 ) = 0 (1 - \lambda) \lambda^2 + 4 (\lambda^2 - 2 \lambda + 1) = 0 ( 1 − λ ) λ 2 + 4 ( λ 2 − 2 λ + 1 ) = 0 ( 1 − λ ) λ 2 + 4 ( 1 − λ ) 2 = 0 (1 - \lambda) \lambda^2 + 4 (1 - \lambda)^2 = 0 ( 1 − λ ) λ 2 + 4 ( 1 − λ ) 2 = 0 ( 1 − λ ) ( λ 2 − 4 λ + 4 ) = 0 (1 - \lambda) (\lambda^2 - 4 \lambda + 4) = 0 ( 1 − λ ) ( λ 2 − 4 λ + 4 ) = 0 ( 1 − λ ) ( λ − 2 ) 2 = 0 (1 - \lambda) (\lambda - 2)^2 = 0 ( 1 − λ ) ( λ − 2 ) 2 = 0
The eigenvalues are
λ 1 = 1 , \lambda_1 = 1, λ 1 = 1 , λ 2 = 2 , \lambda_2 = 2, λ 2 = 2 , λ 3 = 2. \lambda_3 = 2. λ 3 = 2.
Since the eigenvalue 2 is repeated (it is algebraically degenerate) there is a possibility that there may not be enough independent eigenvectors to form a diagonalizing matrix.
Find the eigenvectors
λ = 1 \lambda = 1 λ = 1 ( − 2 − λ − 5 − 1 3 6 − λ 1 − 2 − 3 1 − λ ) = ( − 3 − 5 − 1 3 5 1 − 2 − 3 0 ) \left( \begin{array}{ccc} -2 - \lambda & -5 & -1 \\ 3 & 6 - \lambda & 1 \\ -2 & -3 & 1 - \lambda \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} -3 & -5 & -1 \\ 3 & 5 & 1 \\ -2 & -3 & 0 \end{array} \right) ⎝ ⎛ − 2 − λ 3 − 2 − 5 6 − λ − 3 − 1 1 1 − λ ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ − 3 3 − 2 − 5 5 − 3 − 1 1 0 ⎠ ⎞ ( − 3 − 5 − 1 3 5 1 − 2 − 3 0 ) → R 2 + R 1 ( − 3 − 5 − 1 0 0 0 − 2 − 3 0 ) \left( \begin{array}{ccc} -3 & -5 & -1 \\ 3 & 5 & 1 \\ -2 & -3 & 0 \end{array} \right) \xrightarrow{R_2 + R_1} \left( \begin{array}{ccc} -3 & -5 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -2 & -3 & 0 \end{array} \right) ⎝ ⎛ − 3 3 − 2 − 5 5 − 3 − 1 1 0 ⎠ ⎞ R 2 + R 1 ⎝ ⎛ − 3 0 − 2 − 5 0 − 3 − 1 0 0 ⎠ ⎞ ( − 3 − 5 − 1 0 0 0 − 2 − 3 0 ) → R 3 − ( 2 3 ) R 1 ( − 3 − 5 − 1 0 0 0 0 1 / 3 2 / 3 ) \left( \begin{array}{ccc} -3 & -5 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -2 & -3 & 0 \end{array} \right) \xrightarrow{R_3 - \left( \frac{2}{3} \right) R_1} \left( \begin{array}{ccc} -3 & -5 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1/3 & 2/3 \end{array} \right) ⎝ ⎛ − 3 0 − 2 − 5 0 − 3 − 1 0 0 ⎠ ⎞ R 3 − ( 3 2 ) R 1 ⎝ ⎛ − 3 0 0 − 5 0 1/3 − 1 0 2/3 ⎠ ⎞
Swap rows 2 and 3
( − 3 − 5 − 1 0 1 / 3 2 / 3 0 0 0 ) \left( \begin{array}{ccc} -3 & -5 & -1 \\ 0 & 1/3 & 2/3 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) ⎝ ⎛ − 3 0 0 − 5 1/3 0 − 1 2/3 0 ⎠ ⎞ ( − 3 − 5 − 1 0 1 / 3 2 / 3 0 0 0 ) → ( 3 ) R 2 ( − 3 − 5 − 1 0 1 2 0 0 0 ) \left( \begin{array}{ccc} -3 & -5 & -1 \\ 0 & 1/3 & 2/3 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \xrightarrow{(3) R_2} \left( \begin{array}{ccc} -3 & -5 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) ⎝ ⎛ − 3 0 0 − 5 1/3 0 − 1 2/3 0 ⎠ ⎞ ( 3 ) R 2 ⎝ ⎛ − 3 0 0 − 5 1 0 − 1 2 0 ⎠ ⎞ ( − 3 − 5 − 1 0 1 / 3 2 / 3 0 0 0 ) → R 1 + ( 5 ) R 2 ( − 3 0 9 0 1 2 0 0 0 ) \left( \begin{array}{ccc} -3 & -5 & -1 \\ 0 & 1/3 & 2/3 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \xrightarrow{R_1 + (5) R_2} \left( \begin{array}{ccc} -3 & 0 & 9 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) ⎝ ⎛ − 3 0 0 − 5 1/3 0 − 1 2/3 0 ⎠ ⎞ R 1 + ( 5 ) R 2 ⎝ ⎛ − 3 0 0 0 1 0 9 2 0 ⎠ ⎞ ( − 3 0 9 0 1 2 0 0 0 ) → ( 1 3 ) R 1 ( 1 0 − 3 0 1 2 0 0 0 ) \left( \begin{array}{ccc} -3 & 0 & 9 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \xrightarrow{\left( \frac{1}{3} \right) R_1} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) ⎝ ⎛ − 3 0 0 0 1 0 9 2 0 ⎠ ⎞ ( 3 1 ) R 1 ⎝ ⎛ 1 0 0 0 1 0 − 3 2 0 ⎠ ⎞
Solve the matrix equation
( 1 0 − 3 0 1 2 0 0 0 ) ( v 1 v 2 v 3 ) = ( 0 0 0 ) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) ⎝ ⎛ 1 0 0 0 1 0 − 3 2 0 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ v 1 v 2 v 3 ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ 0 0 0 ⎠ ⎞
If we take v 3 = t v_3 = t v 3 = t v 1 = 3 t v_1 = 3t v 1 = 3 t v 2 = − 2 t v_2 = -2t v 2 = − 2 t
Therefore,
v = ( 3 t − 2 t t ) = ( 3 − 2 1 ) t \mathbf{v} = \left( \begin{array}{c} 3t \\ -2t \\ t \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) t v = ⎝ ⎛ 3 t − 2 t t ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ 3 − 2 1 ⎠ ⎞ t λ = 2 \lambda = 2 λ = 2 ( − 2 − λ − 5 − 1 3 6 − λ 1 − 2 − 3 1 − λ ) = ( − 4 − 5 − 1 3 4 1 − 2 − 3 − 1 ) \left( \begin{array}{ccc} -2 - \lambda & -5 & -1 \\ 3 & 6 - \lambda & 1 \\ -2 & -3 & 1 - \lambda \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} -4 & -5 & -1 \\ 3 & 4 & 1 \\ -2 & -3 & -1 \end{array} \right) ⎝ ⎛ − 2 − λ 3 − 2 − 5 6 − λ − 3 − 1 1 1 − λ ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ − 4 3 − 2 − 5 4 − 3 − 1 1 − 1 ⎠ ⎞ ( − 4 − 5 − 1 3 4 1 − 2 − 3 − 1 ) → R 2 + ( 3 4 ) R 1 ( − 4 − 5 − 1 0 1 / 4 1 / 4 − 2 − 3 − 1 ) \left( \begin{array}{ccc} -4 & -5 & -1 \\ 3 & 4 & 1 \\ -2 & -3 & -1 \end{array} \right) \xrightarrow{R_2 + \left( \frac{3}{4} \right) R_1} \left( \begin{array}{ccc} -4 & -5 & -1 \\ 0 & 1/4 & 1/4 \\ -2 & -3 & -1 \end{array} \right) ⎝ ⎛ − 4 3 − 2 − 5 4 − 3 − 1 1 − 1 ⎠ ⎞ R 2 + ( 4 3 ) R 1 ⎝ ⎛ − 4 0 − 2 − 5 1/4 − 3 − 1 1/4 − 1 ⎠ ⎞ ( − 4 − 5 − 1 0 1 / 4 1 / 4 − 2 − 3 − 1 ) → R 3 − ( 1 2 ) R 1 ( − 4 − 5 − 1 0 1 / 4 1 / 4 0 − 1 / 2 − 1 / 2 ) \left( \begin{array}{ccc} -4 & -5 & -1 \\ 0 & 1/4 & 1/4 \\ -2 & -3 & -1 \end{array} \right) \xrightarrow{R_3 - \left( \frac{1}{2} \right) R_1} \left( \begin{array}{ccc} -4 & -5 & -1 \\ 0 & 1/4 & 1/4 \\ 0 & -1/2 & -1/2 \end{array} \right) ⎝ ⎛ − 4 0 − 2 − 5 1/4 − 3 − 1 1/4 − 1 ⎠ ⎞ R 3 − ( 2 1 ) R 1 ⎝ ⎛ − 4 0 0 − 5 1/4 − 1/2 − 1 1/4 − 1/2 ⎠ ⎞ ( − 4 − 5 − 1 0 1 / 4 1 / 4 0 − 1 / 2 − 1 / 2 ) → R 3 + ( 2 ) R 1 ( − 4 − 5 − 1 0 1 / 4 1 / 4 0 0 0 ) \left( \begin{array}{ccc} -4 & -5 & -1 \\ 0 & 1/4 & 1/4 \\ 0 & -1/2 & -1/2 \end{array} \right) \xrightarrow{R_3 + (2) R_1} \left( \begin{array}{ccc} -4 & -5 & -1 \\ 0 & 1/4 & 1/4 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) ⎝ ⎛ − 4 0 0 − 5 1/4 − 1/2 − 1 1/4 − 1/2 ⎠ ⎞ R 3 + ( 2 ) R 1 ⎝ ⎛ − 4 0 0 − 5 1/4 0 − 1 1/4 0 ⎠ ⎞ ( − 4 − 5 − 1 0 1 / 4 1 / 4 0 0 0 ) → ( 4 ) R 2 ( − 4 − 5 − 1 0 1 1 0 0 0 ) \left( \begin{array}{ccc} -4 & -5 & -1 \\ 0 & 1/4 & 1/4 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \xrightarrow{(4)R_2} \left( \begin{array}{ccc} -4 & -5 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) ⎝ ⎛ − 4 0 0 − 5 1/4 0 − 1 1/4 0 ⎠ ⎞ ( 4 ) R 2 ⎝ ⎛ − 4 0 0 − 5 1 0 − 1 1 0 ⎠ ⎞ ( − 4 − 5 − 1 0 1 1 0 0 0 ) → R 1 + ( 5 ) R 2 ( − 4 0 4 0 1 1 0 0 0 ) \left( \begin{array}{ccc} -4 & -5 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \xrightarrow{R_1 + (5)R_2} \left( \begin{array}{ccc} -4 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) ⎝ ⎛ − 4 0 0 − 5 1 0 − 1 1 0 ⎠ ⎞ R 1 + ( 5 ) R 2 ⎝ ⎛ − 4 0 0 0 1 0 4 1 0 ⎠ ⎞ ( − 4 0 4 0 1 1 0 0 0 ) → ( 1 4 ) R 1 ( 1 0 − 1 0 1 1 0 0 0 ) \left( \begin{array}{ccc} -4 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \xrightarrow{\left( \frac{1}{4} \right) R_1} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) ⎝ ⎛ − 4 0 0 0 1 0 4 1 0 ⎠ ⎞ ( 4 1 ) R 1 ⎝ ⎛ 1 0 0 0 1 0 − 1 1 0 ⎠ ⎞
Solve the matrix equation
( 1 0 − 1 0 1 1 0 0 0 ) ( v 1 v 2 v 3 ) = ( 0 0 0 ) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) ⎝ ⎛ 1 0 0 0 1 0 − 1 1 0 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ v 1 v 2 v 3 ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ 0 0 0 ⎠ ⎞
If we take v 3 = t v_3 = t v 3 = t v 1 = t , v 2 = − t v_1 = t, v_2 = -t v 1 = t , v 2 = − t
Therefore,
v = ( t − t t ) = ( 1 − 1 1 ) t \mathbf{v} = \left( \begin{array}{c} t \\ -t \\ t \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right) t v = ⎝ ⎛ t − t t ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ 1 − 1 1 ⎠ ⎞ t
Eigenvalue:1, eigenvector: ( 3 − 2 1 ) \left( \begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) ⎝ ⎛ 3 − 2 1 ⎠ ⎞
Eigenvalue:2, eigenvector: ( 1 − 1 1 ) \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right) ⎝ ⎛ 1 − 1 1 ⎠ ⎞
Since the number of eigenvectors is less than dimension of the matrix, then the matrix is not diagonalisable.
The matrix A A A
Question
ii) B = ( − 1 − 3 0 2 4 0 − 1 − 1 2 ) B = \left( \begin{array}{rrr} -1 & -3 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \\ -1 & -1 & 2 \end{array} \right) B = ⎝ ⎛ − 1 2 − 1 − 3 4 − 1 0 0 2 ⎠ ⎞
Solution
( − 1 − λ − 3 0 2 4 − λ 0 − 1 − 1 2 − λ ) \left( \begin{array}{ccc} -1 - \lambda & -3 & 0 \\ 2 & 4 - \lambda & 0 \\ -1 & -1 & 2 - \lambda \end{array} \right) ⎝ ⎛ − 1 − λ 2 − 1 − 3 4 − λ − 1 0 0 2 − λ ⎠ ⎞
Characteristic equation
∣ − 1 − λ − 3 0 2 4 − λ 0 − 1 − 1 2 − λ ∣ = 0 \left| \begin{array}{ccc} -1 - \lambda & -3 & 0 \\ 2 & 4 - \lambda & 0 \\ -1 & -1 & 2 - \lambda \end{array} \right| = 0 ∣ ∣ − 1 − λ 2 − 1 − 3 4 − λ − 1 0 0 2 − λ ∣ ∣ = 0 ( − 1 − λ ) ∣ 4 − λ 0 − 1 2 − λ ∣ − ( − 3 ) ∣ 2 0 − 1 2 − λ ∣ + 0 = 0 ( − 1 − λ ) ( 8 − 4 λ − 2 λ + λ 2 + 0 ) + 3 ( 4 − 2 λ + 0 ) + 0 = 0 − 8 + 6 λ − λ 2 − 8 λ + 6 λ 2 − λ 3 + 12 − 6 λ = 0 − λ 3 + 5 λ 2 − 8 λ + 4 = 0 ( 1 − λ ) λ 2 + 4 ( λ 2 − 2 λ + 1 ) = 0 ( 1 − λ ) λ 2 + 4 ( 1 − λ ) 2 = 0 ( 1 − λ ) ( λ 2 − 4 λ + 4 ) = 0 ( 1 − λ ) ( λ − 2 ) 2 = 0 \begin{array}{l}
(-1 - \lambda) \left| \begin{array}{cc} 4 - \lambda & 0 \\ -1 & 2 - \lambda \end{array} \right| - (-3) \left| \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ -1 & 2 - \lambda \end{array} \right| + 0 = 0 \\
(-1 - \lambda) (8 - 4\lambda - 2\lambda + \lambda^2 + 0) + 3(4 - 2\lambda + 0) + 0 = 0 \\
-8 + 6\lambda - \lambda^2 - 8\lambda + 6\lambda^2 - \lambda^3 + 12 - 6\lambda = 0 \\
-\lambda^3 + 5\lambda^2 - 8\lambda + 4 = 0 \\
(1 - \lambda)\lambda^2 + 4(\lambda^2 - 2\lambda + 1) = 0 \\
(1 - \lambda)\lambda^2 + 4(1 - \lambda)^2 = 0 \\
(1 - \lambda)(\lambda^2 - 4\lambda + 4) = 0 \\
(1 - \lambda)(\lambda - 2)^2 = 0 \\
\end{array} ( − 1 − λ ) ∣ ∣ 4 − λ − 1 0 2 − λ ∣ ∣ − ( − 3 ) ∣ ∣ 2 − 1 0 2 − λ ∣ ∣ + 0 = 0 ( − 1 − λ ) ( 8 − 4 λ − 2 λ + λ 2 + 0 ) + 3 ( 4 − 2 λ + 0 ) + 0 = 0 − 8 + 6 λ − λ 2 − 8 λ + 6 λ 2 − λ 3 + 12 − 6 λ = 0 − λ 3 + 5 λ 2 − 8 λ + 4 = 0 ( 1 − λ ) λ 2 + 4 ( λ 2 − 2 λ + 1 ) = 0 ( 1 − λ ) λ 2 + 4 ( 1 − λ ) 2 = 0 ( 1 − λ ) ( λ 2 − 4 λ + 4 ) = 0 ( 1 − λ ) ( λ − 2 ) 2 = 0
The eigenvalues are
λ 1 = 1 \lambda_1 = 1 λ 1 = 1 λ 2 = 2 \lambda_2 = 2 λ 2 = 2 λ 3 = 2 \lambda_3 = 2 λ 3 = 2
Find the eigenvectors
λ = 1 \lambda = 1 λ = 1 ( − 1 − λ − 3 0 2 4 − λ 0 − 1 − 1 2 − λ ) = ( − 2 − 3 0 2 3 0 − 1 − 1 1 ) \left( \begin{array}{ccc}
-1 - \lambda & -3 & 0 \\
2 & 4 - \lambda & 0 \\
-1 & -1 & 2 - \lambda
\end{array} \right)
=
\left( \begin{array}{ccc}
-2 & -3 & 0 \\
2 & 3 & 0 \\
-1 & -1 & 1
\end{array} \right) ⎝ ⎛ − 1 − λ 2 − 1 − 3 4 − λ − 1 0 0 2 − λ ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ − 2 2 − 1 − 3 3 − 1 0 0 1 ⎠ ⎞ ( − 2 − 3 0 2 3 0 − 1 − 1 1 ) → R 2 + R 1 ( − 2 − 3 0 0 0 0 − 1 − 1 1 ) \left( \begin{array}{ccc}
-2 & -3 & 0 \\
2 & 3 & 0 \\
-1 & -1 & 1
\end{array} \right)
\xrightarrow{R_2 + R_1}
\left( \begin{array}{ccc}
-2 & -3 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
-1 & -1 & 1
\end{array} \right) ⎝ ⎛ − 2 2 − 1 − 3 3 − 1 0 0 1 ⎠ ⎞ R 2 + R 1 ⎝ ⎛ − 2 0 − 1 − 3 0 − 1 0 0 1 ⎠ ⎞ ( − 2 − 3 0 0 0 0 − 1 − 1 1 ) → R 3 − ( 1 2 ) R 1 ( − 2 − 3 0 0 0 0 0 1 / 2 1 ) \left( \begin{array}{ccc}
-2 & -3 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
-1 & -1 & 1
\end{array} \right)
\xrightarrow{R_3 - \left( \frac{1}{2} \right) R_1}
\left( \begin{array}{ccc}
-2 & -3 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 1/2 & 1
\end{array} \right) ⎝ ⎛ − 2 0 − 1 − 3 0 − 1 0 0 1 ⎠ ⎞ R 3 − ( 2 1 ) R 1 ⎝ ⎛ − 2 0 0 − 3 0 1/2 0 0 1 ⎠ ⎞
Swap rows 2 and 3
( − 2 − 3 0 0 1 / 2 1 0 0 0 ) \left( \begin{array}{ccc}
-2 & -3 & 0 \\
0 & 1/2 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{array} \right) ⎝ ⎛ − 2 0 0 − 3 1/2 0 0 1 0 ⎠ ⎞ ( − 2 − 3 0 0 1 / 2 1 0 0 0 ) → ( 2 ) R 2 ( − 2 − 3 0 0 1 2 0 0 0 ) \left( \begin{array}{ccc}
-2 & -3 & 0 \\
0 & 1/2 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{array} \right)
\xrightarrow{(2)R_2}
\left( \begin{array}{ccc}
-2 & -3 & 0 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0
\end{array} \right) ⎝ ⎛ − 2 0 0 − 3 1/2 0 0 1 0 ⎠ ⎞ ( 2 ) R 2 ⎝ ⎛ − 2 0 0 − 3 1 0 0 2 0 ⎠ ⎞ ( − 2 − 3 0 0 1 2 0 0 0 ) → R 1 + ( 3 ) R 2 ( − 2 0 6 0 1 2 0 0 0 ) \left( \begin{array}{ccc}
-2 & -3 & 0 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0
\end{array} \right)
\xrightarrow{R_1 + (3)R_2}
\left( \begin{array}{ccc}
-2 & 0 & 6 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0
\end{array} \right) ⎝ ⎛ − 2 0 0 − 3 1 0 0 2 0 ⎠ ⎞ R 1 + ( 3 ) R 2 ⎝ ⎛ − 2 0 0 0 1 0 6 2 0 ⎠ ⎞ ( − 2 0 6 0 1 2 0 0 0 ) → ( − 1 2 ) R 1 ( 1 0 − 3 0 1 2 0 0 0 ) \left( \begin{array}{ccc}
-2 & 0 & 6 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0
\end{array} \right)
\xrightarrow{\left(-\frac{1}{2}\right) R_1}
\left( \begin{array}{ccc}
1 & 0 & -3 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0
\end{array} \right) ⎝ ⎛ − 2 0 0 0 1 0 6 2 0 ⎠ ⎞ ( − 2 1 ) R 1 ⎝ ⎛ 1 0 0 0 1 0 − 3 2 0 ⎠ ⎞
Solve the matrix equation
( 1 0 − 3 0 1 2 0 0 0 ) ( v 1 v 2 v 3 ) = ( 0 0 0 ) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) ⎝ ⎛ 1 0 0 0 1 0 − 3 2 0 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ v 1 v 2 v 3 ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ 0 0 0 ⎠ ⎞
If we take v 3 = t v_3 = t v 3 = t v 1 = 3 t v_1 = 3t v 1 = 3 t v 2 = − 2 t v_2 = -2t v 2 = − 2 t
Therefore,
v = ( 3 t − 2 t t ) = ( 3 − 2 1 ) t \mathbf{v} = \left( \begin{array}{c} 3t \\ -2t \\ t \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) t v = ⎝ ⎛ 3 t − 2 t t ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ 3 − 2 1 ⎠ ⎞ t λ = 2 \lambda = 2 λ = 2
( − 1 − λ − 3 0 2 4 − λ 0 − 1 − 1 2 − λ ) = ( − 3 − 3 0 2 2 0 − 1 − 1 0 ) \left( \begin{array}{ccc} -1 - \lambda & -3 & 0 \\ 2 & 4 - \lambda & 0 \\ -1 & -1 & 2 - \lambda \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} -3 & -3 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \end{array} \right) ⎝ ⎛ − 1 − λ 2 − 1 − 3 4 − λ − 1 0 0 2 − λ ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ − 3 2 − 1 − 3 2 − 1 0 0 0 ⎠ ⎞ ( − 3 − 3 0 2 2 0 − 1 − 1 0 ) → R 2 + ( 2 3 ) R 1 ( − 3 − 3 0 0 0 0 − 1 − 1 0 ) \left( \begin{array}{ccc} -3 & -3 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \end{array} \right) \xrightarrow{R_2 + \left( \frac{2}{3} \right) R_1} \left( \begin{array}{ccc} -3 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \end{array} \right) ⎝ ⎛ − 3 2 − 1 − 3 2 − 1 0 0 0 ⎠ ⎞ R 2 + ( 3 2 ) R 1 ⎝ ⎛ − 3 0 − 1 − 3 0 − 1 0 0 0 ⎠ ⎞ ( − 3 − 3 0 0 0 0 − 1 − 1 0 ) → R 3 − ( 1 3 ) R 1 ( − 3 − 3 0 0 0 0 0 0 0 ) \left( \begin{array}{ccc} -3 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \end{array} \right) \xrightarrow{R_3 - \left( \frac{1}{3} \right) R_1} \left( \begin{array}{ccc} -3 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) ⎝ ⎛ − 3 0 − 1 − 3 0 − 1 0 0 0 ⎠ ⎞ R 3 − ( 3 1 ) R 1 ⎝ ⎛ − 3 0 0 − 3 0 0 0 0 0 ⎠ ⎞ ( − 3 − 3 0 0 0 0 0 0 0 ) → ( − 3 ) R 1 ( 1 1 0 0 0 0 0 0 0 ) \left( \begin{array}{ccc} -3 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \xrightarrow{(-3) R_1} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) ⎝ ⎛ − 3 0 0 − 3 0 0 0 0 0 ⎠ ⎞ ( − 3 ) R 1 ⎝ ⎛ 1 0 0 1 0 0 0 0 0 ⎠ ⎞
Solve the matrix equation
( 1 1 0 0 0 0 0 0 0 ) ( v 1 v 2 v 3 ) = ( 0 0 0 ) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) ⎝ ⎛ 1 0 0 1 0 0 0 0 0 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ v 1 v 2 v 3 ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ 0 0 0 ⎠ ⎞
If we take v 2 = t v_2 = t v 2 = t v 3 = s v_3 = s v 3 = s v 1 = − t v_1 = -t v 1 = − t
Therefore,
v = ( − t t s ) = ( − 1 1 0 ) t + ( 0 0 1 ) s \mathbf{v} = \left( \begin{array}{c} -t \\ t \\ s \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) t + \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) s v = ⎝ ⎛ − t t s ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ − 1 1 0 ⎠ ⎞ t + ⎝ ⎛ 0 0 1 ⎠ ⎞ s
Eigenvalue:1, eigenvector: ( 3 − 2 1 ) \left( \begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) ⎝ ⎛ 3 − 2 1 ⎠ ⎞
Eigenvalue:2, eigenvectors: ( − 1 1 0 ) , ( 0 0 1 ) \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right), \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) ⎝ ⎛ − 1 1 0 ⎠ ⎞ , ⎝ ⎛ 0 0 1 ⎠ ⎞
Form the matrix P P P
P = ( 3 − 1 0 − 2 1 0 1 0 1 ) P = \left( \begin{array}{ccc} 3 & -1 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right) P = ⎝ ⎛ 3 − 2 1 − 1 1 0 0 0 1 ⎠ ⎞
Form the diagonal matrix D D D
D = ( 1 0 0 0 2 0 0 0 2 ) D = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right) D = ⎝ ⎛ 1 0 0 0 2 0 0 0 2 ⎠ ⎞ B = P D P − 1 B = PDP^{-1} B = P D P − 1 Question
b) Find inverse of the matrix B in part a) of the question by finding the adjoint as well as using Cayley-Hamilton theorem.
Solution
B = ( − 1 − 3 0 2 4 0 − 1 − 1 2 ) B = \left( \begin{array}{ccc} -1 & -3 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \\ -1 & -1 & 2 \end{array} \right) B = ⎝ ⎛ − 1 2 − 1 − 3 4 − 1 0 0 2 ⎠ ⎞ det ( B ) = ∣ − 1 − 3 0 2 4 0 − 1 − 1 2 ∣ = 2 ∣ − 1 − 3 2 4 ∣ = 2 ( − 4 + 6 ) = 4 ≠ 0 \det(B) = \left| \begin{array}{ccc} -1 & -3 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \\ -1 & -1 & 2 \end{array} \right| = 2 \left| \begin{array}{cc} -1 & -3 \\ 2 & 4 \end{array} \right| = 2(-4 + 6) = 4 \neq 0 det ( B ) = ∣ ∣ − 1 2 − 1 − 3 4 − 1 0 0 2 ∣ ∣ = 2 ∣ ∣ − 1 2 − 3 4 ∣ ∣ = 2 ( − 4 + 6 ) = 4 = 0 C 11 = ∣ 4 0 − 1 2 ∣ = 8 , C 12 = − ∣ 2 0 − 1 2 ∣ = − 4 , C 13 = ∣ 2 4 − 1 − 1 ∣ = 2 C_{11} = \left| \begin{array}{cc} 4 & 0 \\ -1 & 2 \end{array} \right| = 8, \quad C_{12} = -\left| \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ -1 & 2 \end{array} \right| = -4, \quad C_{13} = \left| \begin{array}{cc} 2 & 4 \\ -1 & -1 \end{array} \right| = 2 C 11 = ∣ ∣ 4 − 1 0 2 ∣ ∣ = 8 , C 12 = − ∣ ∣ 2 − 1 0 2 ∣ ∣ = − 4 , C 13 = ∣ ∣ 2 − 1 4 − 1 ∣ ∣ = 2 C 21 = − ∣ − 3 0 − 1 2 ∣ = 6 , C 22 = ∣ − 1 0 − 1 2 ∣ = − 2 , C 23 = − ∣ − 1 − 3 − 1 − 1 ∣ = 2 C_{21} = -\left| \begin{array}{cc} -3 & 0 \\ -1 & 2 \end{array} \right| = 6, \quad C_{22} = \left| \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ -1 & 2 \end{array} \right| = -2, \quad C_{23} = -\left| \begin{array}{cc} -1 & -3 \\ -1 & -1 \end{array} \right| = 2 C 21 = − ∣ ∣ − 3 − 1 0 2 ∣ ∣ = 6 , C 22 = ∣ ∣ − 1 − 1 0 2 ∣ ∣ = − 2 , C 23 = − ∣ ∣ − 1 − 1 − 3 − 1 ∣ ∣ = 2 C 31 = ∣ − 3 0 4 0 ∣ = 0 , C 32 = − ∣ − 1 0 2 0 ∣ = 0 , C 33 = ∣ − 1 − 3 2 4 ∣ = 2 C_{31} = \left| \begin{array}{cc} -3 & 0 \\ 4 & 0 \end{array} \right| = 0, \quad C_{32} = -\left| \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 2 & 0 \end{array} \right| = 0, \quad C_{33} = \left| \begin{array}{cc} -1 & -3 \\ 2 & 4 \end{array} \right| = 2 C 31 = ∣ ∣ − 3 4 0 0 ∣ ∣ = 0 , C 32 = − ∣ ∣ − 1 2 0 0 ∣ ∣ = 0 , C 33 = ∣ ∣ − 1 2 − 3 4 ∣ ∣ = 2 A g j ( B ) = C T = ( 8 6 0 − 4 − 2 0 2 2 2 ) Agj(B) = C^T = \left( \begin{array}{ccc} 8 & 6 & 0 \\ -4 & -2 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \end{array} \right) A g j ( B ) = C T = ⎝ ⎛ 8 − 4 2 6 − 2 2 0 0 2 ⎠ ⎞ B − 1 = 1 det ( B ) A g j ( B ) = 1 4 ( 8 6 0 − 4 − 2 0 2 2 2 ) = ( 2 3 / 2 0 − 1 − 1 / 2 0 1 / 2 1 / 2 1 / 2 ) B^{-1} = \frac{1}{\det(B)} Agj(B) = \frac{1}{4} \left( \begin{array}{ccc} 8 & 6 & 0 \\ -4 & -2 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 3/2 & 0 \\ -1 & -1/2 & 0 \\ 1/2 & 1/2 & 1/2 \end{array} \right) B − 1 = det ( B ) 1 A g j ( B ) = 4 1 ⎝ ⎛ 8 − 4 2 6 − 2 2 0 0 2 ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ 2 − 1 1/2 3/2 − 1/2 1/2 0 0 1/2 ⎠ ⎞
Augment the matrix with identity matrix
( − 1 − 3 0 1 0 0 2 4 0 0 1 0 − 1 − 1 2 0 0 1 ) \left( \begin{array}{cccccc} -1 & -3 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) ⎝ ⎛ − 1 2 − 1 − 3 4 − 1 0 0 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎠ ⎞ ( − 1 − 3 0 1 0 0 2 4 0 0 1 0 − 1 − 1 2 0 0 1 ) → R 2 + ( 2 ) R 1 ( − 1 − 3 0 1 0 0 0 − 2 0 2 1 0 − 1 − 1 2 0 0 1 ) \left( \begin{array}{cccccc} -1 & -3 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \xrightarrow{R_2 + (2)R_1} \left( \begin{array}{cccccc} -1 & -3 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) ⎝ ⎛ − 1 2 − 1 − 3 4 − 1 0 0 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎠ ⎞ R 2 + ( 2 ) R 1 ⎝ ⎛ − 1 0 − 1 − 3 − 2 − 1 0 0 2 1 2 0 0 1 0 0 0 1 ⎠ ⎞ ( − 1 − 3 0 1 0 0 0 − 2 0 2 1 0 − 1 − 1 2 0 0 1 ) → R 3 − R 1 ( − 1 − 3 0 1 0 0 0 − 2 0 2 1 0 0 2 2 − 1 0 1 ) \left( \begin{array}{cccccc} -1 & -3 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \xrightarrow{R_3 - R_1} \left( \begin{array}{cccccc} -1 & -3 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right) ⎝ ⎛ − 1 0 − 1 − 3 − 2 − 1 0 0 2 1 2 0 0 1 0 0 0 1 ⎠ ⎞ R 3 − R 1 ⎝ ⎛ − 1 0 0 − 3 − 2 2 0 0 2 1 2 − 1 0 1 0 0 0 1 ⎠ ⎞ ( − 1 − 3 0 1 0 0 0 − 2 0 2 1 0 0 2 2 − 1 0 1 ) → ( − 1 ) R 1 ( 1 3 0 − 1 0 0 0 − 2 0 2 1 0 0 2 2 − 1 0 1 ) \left( \begin{array}{cccccc} -1 & -3 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right) \xrightarrow{(-1)R_1} \left( \begin{array}{cccccc} 1 & 3 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right) ⎝ ⎛ − 1 0 0 − 3 − 2 2 0 0 2 1 2 − 1 0 1 0 0 0 1 ⎠ ⎞ ( − 1 ) R 1 ⎝ ⎛ 1 0 0 3 − 2 2 0 0 2 − 1 2 − 1 0 1 0 0 0 1 ⎠ ⎞ ( 1 3 0 − 1 0 0 0 − 2 0 2 1 0 0 2 2 − 1 0 1 ) → R 3 + R 2 ( 1 3 0 − 1 0 0 0 − 2 0 2 1 0 0 0 2 1 1 1 ) \left( \begin{array}{cccccc} 1 & 3 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right) \xrightarrow{R_3 + R_2} \left( \begin{array}{cccccc} 1 & 3 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 1 \end{array} \right) ⎝ ⎛ 1 0 0 3 − 2 2 0 0 2 − 1 2 − 1 0 1 0 0 0 1 ⎠ ⎞ R 3 + R 2 ⎝ ⎛ 1 0 0 3 − 2 0 0 0 2 − 1 2 1 0 1 1 0 0 1 ⎠ ⎞ ( 1 3 0 − 1 0 0 0 − 2 0 2 1 0 0 2 2 − 1 0 1 ) → R 2 / ( − 2 ) ( 1 3 0 − 1 0 0 0 1 0 − 1 − 1 / 2 0 0 0 2 1 1 1 ) \left( \begin{array}{cccccc} 1 & 3 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right) \xrightarrow{R_2 / (-2)} \left( \begin{array}{cccccc} 1 & 3 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 1 \end{array} \right) ⎝ ⎛ 1 0 0 3 − 2 2 0 0 2 − 1 2 − 1 0 1 0 0 0 1 ⎠ ⎞ R 2 / ( − 2 ) ⎝ ⎛ 1 0 0 3 1 0 0 0 2 − 1 − 1 1 0 − 1/2 1 0 0 1 ⎠ ⎞ ( 1 3 0 − 1 0 0 0 1 0 − 1 − 1 / 2 0 0 0 2 1 1 1 ) → R 1 − ( 3 ) R 2 ( 1 0 0 2 3 / 2 0 0 1 0 − 1 − 1 / 2 0 0 0 2 1 1 1 ) \left( \begin{array}{cccccc} 1 & 3 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 1 \end{array} \right) \xrightarrow{R_1 - (3)R_2} \left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 2 & 3/2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 1 \end{array} \right) ⎝ ⎛ 1 0 0 3 1 0 0 0 2 − 1 − 1 1 0 − 1/2 1 0 0 1 ⎠ ⎞ R 1 − ( 3 ) R 2 ⎝ ⎛ 1 0 0 0 1 0 0 0 2 2 − 1 1 3/2 − 1/2 1 0 0 1 ⎠ ⎞ ( 1 0 0 2 3 / 2 0 0 1 0 − 1 − 1 / 2 0 0 0 2 1 1 1 ) → R 3 / 2 ( 1 0 0 2 3 / 2 0 0 1 0 − 1 − 1 / 2 0 0 0 1 1 / 2 1 / 2 1 / 2 ) \left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 2 & 3/2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 1 \end{array} \right) \xrightarrow{R_3/2} \left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 2 & 3/2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1/2 & 1/2 & 1/2 \end{array} \right) ⎝ ⎛ 1 0 0 0 1 0 0 0 2 2 − 1 1 3/2 − 1/2 1 0 0 1 ⎠ ⎞ R 3 /2 ⎝ ⎛ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 − 1 1/2 3/2 − 1/2 1/2 0 0 1/2 ⎠ ⎞
We have obtained the identity matrix to the left. So, we are done.
B − 1 = ( 2 3 / 2 0 − 1 − 1 / 2 0 1 / 2 1 / 2 1 / 2 ) B^{-1} = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 3/2 & 0 \\ -1 & -1/2 & 0 \\ 1/2 & 1/2 & 1/2 \end{array} \right) B − 1 = ⎝ ⎛ 2 − 1 1/2 3/2 − 1/2 1/2 0 0 1/2 ⎠ ⎞
Use Cayley-Hamilton theorem
p ( t ) = det ( B − t I ) p(t) = \det(B - tI) p ( t ) = det ( B − t I ) det ( B − t I ) = ∣ − 1 − t − 3 0 2 4 − t 0 − 1 − 1 2 − t ∣ = ( 2 − t ) ∣ − 1 − t − 3 2 4 − t ∣ = ( 2 − t ) ( − 4 + t − 4 t + t 2 + 6 ) = 4 − 6 t + 2 t 2 − 2 t + 3 t 2 − t 3 = − t 3 + 5 t 2 − 8 t + 4 \det(B - tI) = \left| \begin{array}{ccc} -1 - t & -3 & 0 \\ 2 & 4 - t & 0 \\ -1 & -1 & 2 - t \end{array} \right| = (2 - t) \left| \begin{array}{cc} -1 - t & -3 \\ 2 & 4 - t \end{array} \right| = (2 - t) (-4 + t - 4t + t^2 + 6) = 4 - 6t + 2t^2 - 2t + 3t^2 - t^3 = -t^3 + 5t^2 - 8t + 4 det ( B − t I ) = ∣ ∣ − 1 − t 2 − 1 − 3 4 − t − 1 0 0 2 − t ∣ ∣ = ( 2 − t ) ∣ ∣ − 1 − t 2 − 3 4 − t ∣ ∣ = ( 2 − t ) ( − 4 + t − 4 t + t 2 + 6 ) = 4 − 6 t + 2 t 2 − 2 t + 3 t 2 − t 3 = − t 3 + 5 t 2 − 8 t + 4 p ( B ) = 0 ⇒ − B 3 + 5 B 2 − 8 B + 4 I = 0 p(B) = 0 \Rightarrow -B^3 + 5B^2 - 8B + 4I = 0 p ( B ) = 0 ⇒ − B 3 + 5 B 2 − 8 B + 4 I = 0 I = 1 4 ( B 3 − 5 B 2 + 8 B ) I = \frac{1}{4}(B^3 - 5B^2 + 8B) I = 4 1 ( B 3 − 5 B 2 + 8 B ) I = 1 4 B ( B 2 − 5 B + 8 I ) I = \frac{1}{4}B(B^2 - 5B + 8I) I = 4 1 B ( B 2 − 5 B + 8 I ) B − 1 = 1 4 ( B 2 − 5 B + 8 I ) B^{-1} = \frac{1}{4}(B^2 - 5B + 8I) B − 1 = 4 1 ( B 2 − 5 B + 8 I ) B 2 = ( − 1 − 3 0 2 4 0 − 1 − 1 2 ) ( − 1 − 3 0 2 4 0 − 1 − 1 2 ) = B^2 = \left( \begin{array}{ccc} -1 & -3 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \\ -1 & -1 & 2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} -1 & -3 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \\ -1 & -1 & 2 \end{array} \right) = B 2 = ⎝ ⎛ − 1 2 − 1 − 3 4 − 1 0 0 2 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ − 1 2 − 1 − 3 4 − 1 0 0 2 ⎠ ⎞ = = ( − 1 ( − 1 ) − 3 ( 2 ) + 0 − 1 ( − 3 ) − 3 ( 4 ) + 0 0 2 ( − 1 ) + 4 ( 2 ) + 0 2 ( − 3 ) + 4 ( 4 ) + 0 0 − 1 ( − 1 ) − 1 ( 2 ) + 2 ( − 1 ) − 1 ( − 3 ) − 1 ( 4 ) + 2 ( − 1 ) 0 + 0 + 2 ( 2 ) ) = = ( − 5 − 9 0 6 10 0 − 3 − 3 4 ) B 2 − 5 B + 8 I = ( − 5 − 9 0 6 10 0 − 3 − 3 4 ) + ( 5 15 0 − 10 − 20 0 5 5 − 10 ) + ( 8 0 0 0 8 0 0 0 8 ) = = ( 8 6 0 − 4 − 2 0 2 2 2 ) B − 1 = 1 4 ( 8 6 0 − 4 − 2 0 2 2 2 ) = ( 2 3 / 2 0 − 1 − 1 / 2 0 1 / 2 1 / 2 1 / 2 ) B − 1 = ( 2 3 / 2 0 − 1 − 1 / 2 0 1 / 2 1 / 2 1 / 2 ) . \begin{array}{l}
= \left( \begin{array}{ccc}
-1(-1) - 3(2) + 0 & -1(-3) - 3(4) + 0 & 0 \\
2(-1) + 4(2) + 0 & 2(-3) + 4(4) + 0 & 0 \\
-1(-1) - 1(2) + 2(-1) & -1(-3) - 1(4) + 2(-1) & 0 + 0 + 2(2)
\end{array} \right) = \\
= \left( \begin{array}{ccc}
-5 & -9 & 0 \\
6 & 10 & 0 \\
-3 & -3 & 4
\end{array} \right) \\
B^{2} - 5B + 8I = \left( \begin{array}{ccc}
-5 & -9 & 0 \\
6 & 10 & 0 \\
-3 & -3 & 4
\end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc}
5 & 15 & 0 \\
-10 & -20 & 0 \\
5 & 5 & -10
\end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc}
8 & 0 & 0 \\
0 & 8 & 0 \\
0 & 0 & 8
\end{array} \right) = \\
= \left( \begin{array}{ccc}
8 & 6 & 0 \\
-4 & -2 & 0 \\
2 & 2 & 2
\end{array} \right) \\
B^{-1} = \frac{1}{4} \left( \begin{array}{ccc}
8 & 6 & 0 \\
-4 & -2 & 0 \\
2 & 2 & 2
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc}
2 & 3/2 & 0 \\
-1 & -1/2 & 0 \\
1/2 & 1/2 & 1/2
\end{array} \right) \\
B^{-1} = \left( \begin{array}{ccc}
2 & 3/2 & 0 \\
-1 & -1/2 & 0 \\
1/2 & 1/2 & 1/2
\end{array} \right).
\end{array} = ⎝ ⎛ − 1 ( − 1 ) − 3 ( 2 ) + 0 2 ( − 1 ) + 4 ( 2 ) + 0 − 1 ( − 1 ) − 1 ( 2 ) + 2 ( − 1 ) − 1 ( − 3 ) − 3 ( 4 ) + 0 2 ( − 3 ) + 4 ( 4 ) + 0 − 1 ( − 3 ) − 1 ( 4 ) + 2 ( − 1 ) 0 0 0 + 0 + 2 ( 2 ) ⎠ ⎞ = = ⎝ ⎛ − 5 6 − 3 − 9 10 − 3 0 0 4 ⎠ ⎞ B 2 − 5 B + 8 I = ⎝ ⎛ − 5 6 − 3 − 9 10 − 3 0 0 4 ⎠ ⎞ + ⎝ ⎛ 5 − 10 5 15 − 20 5 0 0 − 10 ⎠ ⎞ + ⎝ ⎛ 8 0 0 0 8 0 0 0 8 ⎠ ⎞ = = ⎝ ⎛ 8 − 4 2 6 − 2 2 0 0 2 ⎠ ⎞ B − 1 = 4 1 ⎝ ⎛ 8 − 4 2 6 − 2 2 0 0 2 ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ 2 − 1 1/2 3/2 − 1/2 1/2 0 0 1/2 ⎠ ⎞ B − 1 = ⎝ ⎛ 2 − 1 1/2 3/2 − 1/2 1/2 0 0 1/2 ⎠ ⎞ .
Answer provided by https://www.AssignmentExpert.com
