u ⃗ = x 1 i + y 1 j a n d v ⃗ = x 2 i + y 2 j a u ⃗ = a x 1 i + a y 1 j b v ⃗ = b x 2 i + b y 2 j a u ⃗ + b v ⃗ = b x 2 i + b y 2 j + a x 1 i + a y 1 j a u ⃗ + b v ⃗ = ( a x 1 + b x 2 ) i + ( a y 1 + b y 2 ) j ∥ a u ⃗ + b v ⃗ ∥ = ( a x 1 + b x 2 ) 2 + ( a y 1 + b y 2 ) 2 b u ⃗ = b x 1 i + b y 1 j a v ⃗ = a x 2 i + a y 2 j b u ⃗ + a v ⃗ = ( b x 1 + a x 2 ) i + ( b y 1 + a y 2 ) j ∥ b u ⃗ + a v ⃗ ∥ = ( b x 1 + a x 2 ) 2 + ( b y 1 + a y 2 ) 2 ∥ b u ⃗ + a v ⃗ ∥ = ∥ a u ⃗ + b v ⃗ ∥ ( a x 1 + b x 2 ) 2 + ( a y 1 + b y 2 ) 2 = ( b x 1 + a x 2 ) 2 + ( b y 1 + a y 2 ) 2 ( a x 1 + b x 2 ) 2 + ( a y 1 + b y 2 ) 2 = ( b x 1 + a x 2 ) 2 + ( b y 1 + a y 2 ) 2 ( a x 1 + b x 2 ) 2 − ( b x 1 + a x 2 ) 2 = ( b y 1 + a y 2 ) 2 − ( a y 1 + b y 2 ) 2 ( a x 1 + b x 2 + b x 1 + a x 2 ) ( a x 1 + b x 2 − b x 1 − a x 2 ) = ( b y 1 + a y 2 + a y 1 + b y 2 ) ( b y 1 + a y 2 − a y 1 − b y 2 ) ( ( a + b ) x 1 + ( a + b ) x 2 ) ( ( a − b ) x 1 − ( a − b ) x 2 ) = ( ( a + b ) y 1 + ( a + b ) y 2 ) ( ( b − a ) y 1 − ( b − a ) y 2 ) ( a 2 − b 2 ) ( x 1 2 − x 2 2 ) = − ( a 2 − b 2 ) ( y 1 2 − y 2 2 ) ( x 1 2 − x 2 2 ) = − ( y 1 2 − y 2 2 ) ( x 1 2 − x 2 2 ) = − y 1 2 + y 2 2 ( x 1 2 + y 1 2 ) = ( x 2 2 + y 2 2 ) ( x 1 2 + y 1 2 ) = ( x 2 2 + y 2 2 ) ∴ ∥ u 1 ⃗ ∥ = ∥ v 1 ⃗ ∥ \vec{u}=x_1i+y_1j\\ and\\ \vec{v}=x_2i+y_2j\\ a\vec{u}=ax_1i+ay_1j\\ b\vec{v}=bx_2i+by_2j\\ a\vec{u}+b\vec{v}=bx_2i+by_2j +ax_1i+ay_1j\\ a\vec{u}+b\vec{v}=(ax_1+bx_2)i+(ay_1+by_2)j\\ \|a\vec{u}+b\vec{v}\|=\\\sqrt{(ax_1+bx_2)^2+(ay_1+by_2)^2}\\ b\vec{u}=bx_1i+by_1j\\ a\vec{v}=ax_2i+ay_2j\\ b\vec{u}+a\vec{v}=(bx_1+ax_2)i+(by_1+ay_2)j\\ \|b\vec{u}+a\vec{v}\|=\sqrt{(bx_1+ax_2)^2+(by_1+ay_2)^2}\\ \|b\vec{u}+a\vec{v}\|=\|a\vec{u}+b\vec{v}\|\\ \sqrt{(ax_1+bx_2)^2+(ay_1+by_2)^2}=\\\sqrt{(bx_1+ax_2)^2+(by_1+ay_2)^2}\\ (ax_1+bx_2)^2+(ay_1+by_2)^2=\\(bx_1+ax_2)^2+(by_1+ay_2)^2\\ (ax_1+bx_2)^2-(bx_1+ax_2)^2=\\(by_1+ay_2)^2-(ay_1+by_2)^2\\ (ax_1+bx_2+bx_1+ax_2)(ax_1+bx_2-bx_1-ax_2)\\ =(by_1+ay_2+ay_1+by_2)(by_1+ay_2-ay_1-by_2)\\ ((a+b)x_1+(a+b)x_2)((a-b)x_1-(a-b)x_2)=\\((a+b)y_1+(a+b)y_2)((b-a)y_1-(b-a)y_2)\\ (a^2-b^2)(x_1^2-x_2^2)=-(a^2-b^2)(y_1^2-y_2^2)\\ (x_1^2-x_2^2)=-(y_1^2-y_2^2)\\ (x_1^2-x_2^2)=-y_1^2+y_2^2\\ (x_1^2+y_1^2)=(x_2^2+y_2^2)\\ \sqrt{(x_1^2+y_1^2)}=\sqrt{(x_2^2+y_2^2)}\\ \therefore\\ \|\vec{u_1}\|=\|\vec{v_1}\| u = x 1 i + y 1 j an d v = x 2 i + y 2 j a u = a x 1 i + a y 1 j b v = b x 2 i + b y 2 j a u + b v = b x 2 i + b y 2 j + a x 1 i + a y 1 j a u + b v = ( a x 1 + b x 2 ) i + ( a y 1 + b y 2 ) j ∥ a u + b v ∥ = ( a x 1 + b x 2 ) 2 + ( a y 1 + b y 2 ) 2 b u = b x 1 i + b y 1 j a v = a x 2 i + a y 2 j b u + a v = ( b x 1 + a x 2 ) i + ( b y 1 + a y 2 ) j ∥ b u + a v ∥ = ( b x 1 + a x 2 ) 2 + ( b y 1 + a y 2 ) 2 ∥ b u + a v ∥ = ∥ a u + b v ∥ ( a x 1 + b x 2 ) 2 + ( a y 1 + b y 2 ) 2 = ( b x 1 + a x 2 ) 2 + ( b y 1 + a y 2 ) 2 ( a x 1 + b x 2 ) 2 + ( a y 1 + b y 2 ) 2 = ( b x 1 + a x 2 ) 2 + ( b y 1 + a y 2 ) 2 ( a x 1 + b x 2 ) 2 − ( b x 1 + a x 2 ) 2 = ( b y 1 + a y 2 ) 2 − ( a y 1 + b y 2 ) 2 ( a x 1 + b x 2 + b x 1 + a x 2 ) ( a x 1 + b x 2 − b x 1 − a x 2 ) = ( b y 1 + a y 2 + a y 1 + b y 2 ) ( b y 1 + a y 2 − a y 1 − b y 2 ) (( a + b ) x 1 + ( a + b ) x 2 ) (( a − b ) x 1 − ( a − b ) x 2 ) = (( a + b ) y 1 + ( a + b ) y 2 ) (( b − a ) y 1 − ( b − a ) y 2 ) ( a 2 − b 2 ) ( x 1 2 − x 2 2 ) = − ( a 2 − b 2 ) ( y 1 2 − y 2 2 ) ( x 1 2 − x 2 2 ) = − ( y 1 2 − y 2 2 ) ( x 1 2 − x 2 2 ) = − y 1 2 + y 2 2 ( x 1 2 + y 1 2 ) = ( x 2 2 + y 2 2 ) ( x 1 2 + y 1 2 ) = ( x 2 2 + y 2 2 ) ∴ ∥ u 1 ∥ = ∥ v 1 ∥
#339914 on Dec 2023
Comments