A − 1 = A ∗ T ∣ A ∣ A^{-1}=\frac{A^T_*}{|A|} A − 1 = ∣ A ∣ A ∗ T
∣ A ∣ = 4 − 2 ⋅ 3 = − 2 |A|=4-2\cdot3=-2 ∣ A ∣ = 4 − 2 ⋅ 3 = − 2
Minor matrix: each element m i j m_{ij} m ij is the determinant of 2x2 matrix, if we remove i-th row and j-th column in matrix A A A .
M = ( 9 − 4 − 3 14 − 8 − 4 3 − 2 − 1 ) M=\begin{pmatrix}
9 & -4&-3 \\
14 & -8&-4\\
3&-2&-1 \\
\end{pmatrix} M = ⎝ ⎛ 9 14 3 − 4 − 8 − 2 − 3 − 4 − 1 ⎠ ⎞
Matrix of cofactors: change signs of m 12 , m 21 , m 23 , m 32 . m_{12},m_{21},m_{23},m_{32}. m 12 , m 21 , m 23 , m 32 .
A ∗ = ( 9 4 − 3 − 14 − 8 4 3 2 − 1 ) A_*=\begin{pmatrix}
9 & 4&-3 \\
-14 & -8&4\\
3&2&-1 \\
\end{pmatrix} A ∗ = ⎝ ⎛ 9 − 14 3 4 − 8 2 − 3 4 − 1 ⎠ ⎞
Transpose matrix of cofactors:
A ∗ T = ( 9 − 14 3 − 4 − 8 2 − 3 4 1 ) A^T_*=\begin{pmatrix}
9 & -14&3 \\
-4 & -8&2\\
-3&4&1 \\
\end{pmatrix} A ∗ T = ⎝ ⎛ 9 − 4 − 3 − 14 − 8 4 3 2 1 ⎠ ⎞
A − 1 = − 1 2 ( 9 − 14 3 − 4 − 8 2 − 3 4 1 ) A^{-1}=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
9 & -14&3 \\
-4 & -8&2\\
-3&4&1 \\
\end{pmatrix} A − 1 = − 2 1 ⎝ ⎛ 9 − 4 − 3 − 14 − 8 4 3 2 1 ⎠ ⎞
∣ A − 1 ∣ = 4.5 ⋅ 4 − 7 ⋅ 0.5 − 1.5 ⋅ 10 = − 0.5 = 1 / ∣ A ∣ |A^{-1}|=4.5\cdot4-7\cdot0.5-1.5\cdot10=-0.5=1/|A| ∣ A − 1 ∣ = 4.5 ⋅ 4 − 7 ⋅ 0.5 − 1.5 ⋅ 10 = − 0.5 = 1/∣ A ∣
Comments