Solution.
x 2 + y 2 + 4 x − 2 y + 3 = 0 ; x^2+y^2+4x-2y+3=0; x 2 + y 2 + 4 x − 2 y + 3 = 0 ;
i)the origin is shifted at (2,−1)
x ′ = x + 2 ; y ′ = y − 1 ; x'=x+2; y'=y-1; x ′ = x + 2 ; y ′ = y − 1 ;
( x + 2 ) 2 + ( y − 1 ) 2 + 4 ( x + 2 ) − 2 ( y − 1 ) + 3 = 0 ; (x+2)^2+(y-1)^2+4(x+2)-2(y-1)+3=0; ( x + 2 ) 2 + ( y − 1 ) 2 + 4 ( x + 2 ) − 2 ( y − 1 ) + 3 = 0 ;
x 2 + 4 x + 4 + y 2 − 2 y + 1 + 4 x + 8 − 2 y + 2 + 3 = 0 ; x^2+4x+4+y^2-2y+1+4x+8-2y+2+3=0; x 2 + 4 x + 4 + y 2 − 2 y + 1 + 4 x + 8 − 2 y + 2 + 3 = 0 ;
x 2 + y 2 + 8 x − 4 y + 18 = 0 ; x^2+y^2+8x-4y+18=0; x 2 + y 2 + 8 x − 4 y + 18 = 0 ;
the axes are rotated through 45o ;
x ′ = x c o s α − y s i n α ; y ′ = x s i n α + y c o s α ; x'=xcos\alpha-ysin\alpha; y'=xsin\alpha+ycos\alpha; x ′ = x cos α − ys in α ; y ′ = x s in α + ycos α ;
x ′ = x 2 2 − y 2 2 = 2 2 ( x − y ) ; x'=x\dfrac{\sqrt{2}}{2}-y\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(x-y); x ′ = x 2 2 − y 2 2 = 2 2 ( x − y ) ;
y ′ = x 2 2 + y 2 2 = 2 2 ( x + y ) ; y'=x\dfrac{\sqrt{2}}{2}+y\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(x+y); y ′ = x 2 2 + y 2 2 = 2 2 ( x + y ) ;
1 2 ( x − y ) 2 + 1 2 ( x + y ) 2 + 4 2 ( x − y ) − 2 2 ( x + y ) + 18 = 0 ; \dfrac{1}{2}(x-y)^2+\dfrac{1}{2}(x+y)^2+4\sqrt{2}(x-y)-2\sqrt{2}(x+y)+18=0; 2 1 ( x − y ) 2 + 2 1 ( x + y ) 2 + 4 2 ( x − y ) − 2 2 ( x + y ) + 18 = 0 ;
1 2 x 2 − x y + 1 2 y 2 + 1 2 x 2 + x y + 1 2 y 2 + 4 2 x − 4 2 y − 2 2 x − 2 2 y + 18 = 0 ; \dfrac{1}{2}x^2-xy+\dfrac{1}{2}y^2+\dfrac{1}{2}x^2+xy+\dfrac{1}{2}y^2+4\sqrt{2}x-4\sqrt{2}y-
2\sqrt{2}x-2\sqrt{2}y+18=0; 2 1 x 2 − x y + 2 1 y 2 + 2 1 x 2 + x y + 2 1 y 2 + 4 2 x − 4 2 y − 2 2 x − 2 2 y + 18 = 0 ;
x 2 + y 2 + 2 2 x − 6 2 y + 18 = 0 ; x^2+y^2+2\sqrt{2}x-6\sqrt{2}y+18=0; x 2 + y 2 + 2 2 x − 6 2 y + 18 = 0 ;
ii)the axes are rotated through 45o ;
x ′ = x c o s α − y s i n α ; y ′ = x s i n α + y c o s α ; x'=xcos\alpha-ysin\alpha; y'=xsin\alpha+ycos\alpha; x ′ = x cos α − ys in α ; y ′ = x s in α + ycos α ;
x ′ = x 2 2 − y 2 2 = 2 2 ( x − y ) ; x'=x\dfrac{\sqrt{2}}{2}-y\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(x-y); x ′ = x 2 2 − y 2 2 = 2 2 ( x − y ) ;
y ′ = x 2 2 + y 2 2 = 2 2 ( x + y ) ; y'=x\dfrac{\sqrt{2}}{2}+y\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(x+y); y ′ = x 2 2 + y 2 2 = 2 2 ( x + y ) ;
1 2 ( x − y ) 2 + 1 2 ( x + y ) 2 + 2 2 ( x − y ) − 2 ( x + y ) + 3 = 0 ; \dfrac{1}{2}(x-y)^2+\dfrac{1}{2}(x+y)^2+2\sqrt{2}(x-y)-\sqrt{2}(x+y)+3=0; 2 1 ( x − y ) 2 + 2 1 ( x + y ) 2 + 2 2 ( x − y ) − 2 ( x + y ) + 3 = 0 ;
1 2 x 2 − x y + 1 2 y 2 + 1 2 x 2 + x y + 1 2 y 2 + 2 2 x − 2 2 y − 2 x − 2 y + 3 = 0 ; \dfrac{1}{2}x^2-xy+\dfrac{1}{2}y^2+\dfrac{1}{2}x^2+xy+\dfrac{1}{2}y^2+2\sqrt{2}x-2\sqrt{2}y-
\sqrt{2}x-\sqrt{2}y+3=0; 2 1 x 2 − x y + 2 1 y 2 + 2 1 x 2 + x y + 2 1 y 2 + 2 2 x − 2 2 y − 2 x − 2 y + 3 = 0 ;
x 2 + y 2 + 2 x − 3 2 y + 3 = 0 ; x^2+y^2+\sqrt{2}x-3\sqrt{2}y+3=0; x 2 + y 2 + 2 x − 3 2 y + 3 = 0 ;
the origin is shifted at (2,−1)
x ′ = x + 2 ; y ′ = y − 1 ; x'=x+2; y'=y-1; x ′ = x + 2 ; y ′ = y − 1 ;
( x + 2 ) 2 + ( y − 1 ) 2 + 2 ( x + 2 ) − 3 2 ( y − 1 ) + 3 = 0 ; (x+2)^2+(y-1)^2+\sqrt{2}(x+2)-3\sqrt{2}(y-1)+3=0; ( x + 2 ) 2 + ( y − 1 ) 2 + 2 ( x + 2 ) − 3 2 ( y − 1 ) + 3 = 0 ;
x 2 + 4 x + 4 + y 2 − 2 y + 1 + 2 x + 2 2 − 3 2 y + 3 2 + 3 = 0 ; x^2+4x+4+y^2-2y+1+\sqrt{2}x+2\sqrt{2}-3\sqrt{2}y+3\sqrt{2}+3=0; x 2 + 4 x + 4 + y 2 − 2 y + 1 + 2 x + 2 2 − 3 2 y + 3 2 + 3 = 0 ;
x 2 + y 2 + x ( 4 + 2 ) − y ( 2 + 3 2 ) + 8 + 5 2 = 0 ; x^2+y^2+x(4+\sqrt{2})-y(2+3\sqrt{2})+8+5\sqrt{2}=0; x 2 + y 2 + x ( 4 + 2 ) − y ( 2 + 3 2 ) + 8 + 5 2 = 0 ;
Answer: i)x 2 + y 2 + 2 2 x − 6 2 y + 18 = 0 ; x^2+y^2+2\sqrt{2}x-6\sqrt{2}y+18=0; x 2 + y 2 + 2 2 x − 6 2 y + 18 = 0 ;
ii)x 2 + y 2 + x ( 4 + 2 ) − y ( 2 + 3 2 ) + 8 + 5 2 = 0 ; x^2+y^2+x(4+\sqrt{2})-y(2+3\sqrt{2})+8+5\sqrt{2}=0; x 2 + y 2 + x ( 4 + 2 ) − y ( 2 + 3 2 ) + 8 + 5 2 = 0 ;
the equations i) and ii) are different.
Comments
Leave a comment