ANSWER
(i) The vector field A → \overrightarrow { A } A c u r l A → = ∇ × A → = ∣ i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z ( x + 2 y + 4 z ) ( 2 x − 3 y − z ) ( 4 x − y + 2 z ) ∣ = curl\ \overrightarrow { A } =\ \nabla \times \overrightarrow { A } =\left| \begin{matrix} \overrightarrow { i } & \overrightarrow { j } & \overrightarrow { k } \quad \\ \frac { \partial }{ \partial x } & \frac { \partial }{ \partial y } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (x+2y+4z) & \left( 2x-3y-z \right) & \left( 4x-y+2z \right) \end{matrix} \right| = c u r l A = ∇ × A = ∣ ∣ i ∂ x ∂ ( x + 2 y + 4 z ) j ∂ y ∂ ( 2 x − 3 y − z ) k ∂ z ∂ ( 4 x − y + 2 z ) ∣ ∣ =
= [ ∂ ( 4 x − y + 2 z ) ∂ y − ∂ ( 2 x − 3 y − z ) ∂ z ] i → + [ ∂ ( x + 2 y + 4 z ) ∂ z − ∂ ( 4 x − y + 2 z ) ∂ x ] j → + [ ∂ ( 2 x − 3 y − z ) ∂ x − ∂ ( x + 2 y + 4 z ) ∂ y ] k → = = ( − 1 + 1 ) i → + ( 4 − 4 ) j → + ( 2 − 2 ) k → = 0 i → + 0 j → + 0 k → . =\left[ \frac { \partial \left( 4x-y+2z \right) }{ \partial y } -\frac { \partial \left( 2x-3y-z \right) }{ \partial z } \right] \overrightarrow { i } +\left[ \frac { \partial (x+2y+4z) }{ \partial z } -\frac { \partial \left( 4x-y+2z \right) }{ \partial x } \right] \overrightarrow { j } +\left[ \frac { \partial \left( 2x-3y-z \right) }{ \partial x } -\frac { \partial (x+2y+4z) }{ \partial y } \right] \overrightarrow { k } =
\\ =\left( -1+1 \right) \overrightarrow { i } +\left( 4-4 \right) \overrightarrow { j } +\left( 2-2 \right) \overrightarrow { k } =0\overrightarrow { i } +0\overrightarrow { j } +0\overrightarrow { k } .\\ = [ ∂ y ∂ ( 4 x − y + 2 z ) − ∂ z ∂ ( 2 x − 3 y − z ) ] i + [ ∂ z ∂ ( x + 2 y + 4 z ) − ∂ x ∂ ( 4 x − y + 2 z ) ] j + [ ∂ x ∂ ( 2 x − 3 y − z ) − ∂ y ∂ ( x + 2 y + 4 z ) ] k = = ( − 1 + 1 ) i + ( 4 − 4 ) j + ( 2 − 2 ) k = 0 i + 0 j + 0 k .
(ii) Therefore , there is scalar potential φ \varphi φ A → = ∇ φ \overrightarrow { A } =\nabla \varphi A = ∇ φ
∂ φ ∂ x = x + 2 y + 4 z ⇒ φ ( x , y , z ) = x 2 2 + 2 x y + 4 z x + α ( y , z ) ⇒ ∂ φ ∂ y = 2 x + ∂ α ( y , z ) ∂ y \frac { \partial \varphi }{ \partial x } =x+2y+4z\Rightarrow \varphi \left( x,y,z \right) =\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +2xy+4zx+\alpha (y,z)\Rightarrow \frac { \partial \varphi }{ \partial y } =2x+\frac { \partial \alpha (y,z) }{ \partial y } \\ ∂ x ∂ φ = x + 2 y + 4 z ⇒ φ ( x , y , z ) = 2 x 2 + 2 x y + 4 z x + α ( y , z ) ⇒ ∂ y ∂ φ = 2 x + ∂ y ∂ α ( y , z )
Since ∂ φ ∂ y = 2 x − 3 y − z \frac { \partial \varphi }{ \partial y } =2x-3y-z\\ ∂ y ∂ φ = 2 x − 3 y − z 2 x + ∂ α ( y , z ) ∂ y = 2 x − 3 y − z 2x+\frac { \partial \alpha (y,z) }{ \partial y } =2x-3y-z\\ 2 x + ∂ y ∂ α ( y , z ) = 2 x − 3 y − z α ( y , z ) = − 3 y 2 2 − z y + β ( z ) \alpha (y,z)=-\frac { 3{ y }^{ 2 } }{ 2 } -zy+\ \beta (z)\\ α ( y , z ) = − 2 3 y 2 − zy + β ( z ) φ ( x , y , z ) = x 2 2 + 2 x y + 4 z x − 3 y 2 2 − z y + β ( z ) \varphi \left( x,y,z \right) =\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +2xy+4zx-\frac { 3{ y }^{ 2 } }{ 2 } -zy+\ \beta (z)\\ φ ( x , y , z ) = 2 x 2 + 2 x y + 4 z x − 2 3 y 2 − zy + β ( z )
Thus, ∂ φ ∂ z = 4 x − y + β ′ ( z ) = 4 x − y + 2 z \frac { \partial \varphi }{ \partial z } =4x-y+{ \beta }^{ ' }{ (z) }=4x-y+2z\\ ∂ z ∂ φ = 4 x − y + β ′ ( z ) = 4 x − y + 2 z ⇒ β ′ ( z ) = 2 z , β ( z ) = z 2 + γ \Rightarrow { \beta }^{ ' }{ (z)=2z },\quad \beta (z)=\ { z }^{ 2 }+\gamma \\ ⇒ β ′ ( z ) = 2 z , β ( z ) = z 2 + γ
Finally, we have φ ( x , y , z ) = x 2 2 + 2 x y + 4 z x − 3 y 2 2 − z y + z 2 + γ \varphi \left( x,y,z \right) =\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +2xy+4zx-\frac { 3{ y }^{ 2 } }{ 2 } -zy+{ z }^{ 2 }+\gamma \\ φ ( x , y , z ) = 2 x 2 + 2 x y + 4 z x − 2 3 y 2 − zy + z 2 + γ
Since φ ( 0 , 0 , 0 ) = 1 \varphi \left( 0,0,0 \right) =1 φ ( 0 , 0 , 0 ) = 1 γ = 1 . \gamma =1\ .\\ γ = 1 .
φ ( x , y , z ) = x 2 2 + 2 x y + 4 z x − 3 y 2 2 − z y + z 2 + 1. \varphi \left( x,y,z \right) =\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +2xy+4zx-\frac { 3{ y }^{ 2 } }{ 2 } -zy+{ z }^{ 2 }+1.\\ φ ( x , y , z ) = 2 x 2 + 2 x y + 4 z x − 2 3 y 2 − zy + z 2 + 1.
#332078 on Oct 2022
Comments