S o l u t i o n Solution S o l u t i o n Let a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 a_1,a_2,a_3,a_4,a_5 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 be an arithmetic progression with common difference d such that cos d = 0.2 d=\sqrt{0.2} d = 0.2
a 2 = a 1 + d , a 3 = a 2 + d = a 1 + 2 d , a_2=a_1+d, a_3=a_2+d=a_1+2d, a 2 = a 1 + d , a 3 = a 2 + d = a 1 + 2 d , a 4 = a 3 + d = a 1 + 3 d , a 5 = a 4 + d = a 1 + 4 d a_4=a_3+d=a_1+3d, a_5=a_4+d=a_1+4d a 4 = a 3 + d = a 1 + 3 d , a 5 = a 4 + d = a 1 + 4 d tan ( a 2 − a 1 ) = tan a 2 − tan a 1 1 + tan a 1 tan a 2 \tan (a_2-a_1)=\dfrac{\tan a_2-\tan a_1}{1+\tan a_1\tan a_2} tan ( a 2 − a 1 ) = 1 + tan a 1 tan a 2 tan a 2 − tan a 1 tan a 1 tan a 2 = tan a 2 − tan a 1 tan ( d ) − 1 \tan a_1\tan a_2=\dfrac{\tan a_2-\tan a_1}{\tan(d)}-1 tan a 1 tan a 2 = tan ( d ) tan a 2 − tan a 1 − 1 tan a 2 tan a 3 = tan a 3 − tan a 2 tan ( d ) − 1 \tan a_2\tan a_3=\dfrac{\tan a_3-\tan a_2}{\tan(d)}-1 tan a 2 tan a 3 = tan ( d ) tan a 3 − tan a 2 − 1 tan a 3 tan a 4 = tan a 4 − tan a 3 tan ( d ) − 1 \tan a_3\tan a_4=\dfrac{\tan a_4-\tan a_3}{\tan(d)}-1 tan a 3 tan a 4 = tan ( d ) tan a 4 − tan a 3 − 1 tan a 4 tan a 5 = tan a 5 − tan a 4 tan ( d ) − 1 \tan a_4\tan a_5=\dfrac{\tan a_5-\tan a_4}{\tan(d)}-1 tan a 4 tan a 5 = tan ( d ) tan a 5 − tan a 4 − 1
tan a 1 tan a 2 + tan a 2 tan a 3 + \tan a_1\tan a_2+\tan a_2\tan a_3+ tan a 1 tan a 2 + tan a 2 tan a 3 + + tan a 3 tan a 4 + tan a 4 tan a 5 = +\tan a_3\tan a_4+\tan a_4\tan a_5= + tan a 3 tan a 4 + tan a 4 tan a 5 =
= tan a 2 − tan a 1 tan ( d ) − 1 + tan a 3 − tan a 2 tan ( d ) − 1 + =\dfrac{\tan a_2-\tan a_1}{\tan(d)}-1+\dfrac{\tan a_3-\tan a_2}{\tan(d)}-1+ = tan ( d ) tan a 2 − tan a 1 − 1 + tan ( d ) tan a 3 − tan a 2 − 1 + + tan a 4 − tan a 3 tan ( d ) − 1 + tan a 5 − tan a 4 tan ( d ) − 1 +\dfrac{\tan a_4-\tan a_3}{\tan(d)}-1+\dfrac{\tan a_5-\tan a_4}{\tan(d)}-1 + tan ( d ) tan a 4 − tan a 3 − 1 + tan ( d ) tan a 5 − tan a 4 − 1
Then
tan a 2 − tan a 1 tan ( d ) − 1 + tan a 3 − tan a 2 tan ( d ) − 1 + \dfrac{\tan a_2-\tan a_1}{\tan(d)}-1+\dfrac{\tan a_3-\tan a_2}{\tan(d)}-1+ tan ( d ) tan a 2 − tan a 1 − 1 + tan ( d ) tan a 3 − tan a 2 − 1 + + tan a 4 − tan a 3 tan ( d ) − 1 + tan a 5 − tan a 4 tan ( d ) − 1 = 16 +\dfrac{\tan a_4-\tan a_3}{\tan(d)}-1+\dfrac{\tan a_5-\tan a_4}{\tan(d)}-1=16 + tan ( d ) tan a 4 − tan a 3 − 1 + tan ( d ) tan a 5 − tan a 4 − 1 = 16 tan a 5 − tan a 1 = 15 tan ( d ) \tan a_5-\tan a_1=15\tan(d) tan a 5 − tan a 1 = 15 tan ( d ) sin ( a 3 + 2 d ) cos ( a 3 + 2 d ) − sin ( a 3 − 2 d ) cos ( a 3 − 2 d ) = 15 tan ( d ) \dfrac{\sin(a_3+2d)}{\cos(a_3+2d)}-\dfrac{\sin(a_3-2d)}{\cos(a_3-2d)}=15\tan(d) cos ( a 3 + 2 d ) sin ( a 3 + 2 d ) − cos ( a 3 − 2 d ) sin ( a 3 − 2 d ) = 15 tan ( d ) sin ( a 3 + 2 d ) cos ( a 3 − 2 d ) − cos ( a 3 + 2 d ) sin ( a 3 − 2 d ) cos ( a 3 + 2 d ) cos ( a 3 − 2 d ) = \dfrac{\sin(a_3+2d)\cos(a_3-2d)-\cos(a_3+2d)\sin(a_3-2d)}{\cos(a_3+2d)\cos(a_3-2d)}= cos ( a 3 + 2 d ) cos ( a 3 − 2 d ) sin ( a 3 + 2 d ) cos ( a 3 − 2 d ) − cos ( a 3 + 2 d ) sin ( a 3 − 2 d ) = = 15 tan ( d ) =15\tan(d) = 15 tan ( d ) sin ( a 3 + 2 d − a 3 + 2 d ) 1 2 ( cos ( 4 d ) + cos ( 2 a 3 ) ) = 15 tan ( d ) \dfrac{\sin(a_3+2d-a_3+2d)}{\dfrac{1}{2}\big(\cos(4d)+\cos(2a_3)\big)}=15\tan(d) 2 1 ( cos ( 4 d ) + cos ( 2 a 3 ) ) sin ( a 3 + 2 d − a 3 + 2 d ) = 15 tan ( d ) cos ( 4 d ) + cos ( 2 a 3 ) = 2 sin ( 4 d ) 15 tan ( d ) \cos(4d)+\cos(2a_3)=\dfrac{2\sin(4d)}{15\tan(d)} cos ( 4 d ) + cos ( 2 a 3 ) = 15 tan ( d ) 2 sin ( 4 d ) cos ( 2 a 3 ) = 2 sin ( 4 d ) 15 tan ( d ) − cos ( 4 d ) \cos(2a_3)=\dfrac{2\sin(4d)}{15\tan(d)}-\cos(4d) cos ( 2 a 3 ) = 15 tan ( d ) 2 sin ( 4 d ) − cos ( 4 d ) 2 cos 2 ( a 3 ) − 1 = 2 sin ( 4 d ) 15 tan ( d ) − cos ( 4 d ) 2\cos^2(a_3)-1=\dfrac{2\sin(4d)}{15\tan(d)}-\cos(4d) 2 cos 2 ( a 3 ) − 1 = 15 tan ( d ) 2 sin ( 4 d ) − cos ( 4 d ) 2 cos 2 ( a 3 ) = 2 sin ( 4 d ) 15 tan ( d ) + ( 1 − cos ( 4 d ) ) 2\cos^2(a_3)=\dfrac{2\sin(4d)}{15\tan(d)}+(1-\cos(4d)) 2 cos 2 ( a 3 ) = 15 tan ( d ) 2 sin ( 4 d ) + ( 1 − cos ( 4 d )) 2 cos 2 ( a 3 ) = 2 sin ( 4 d ) 15 tan ( d ) + 2 sin 2 ( 2 d ) 2\cos^2(a_3)=\dfrac{2\sin(4d)}{15\tan(d)}+2\sin^2(2d) 2 cos 2 ( a 3 ) = 15 tan ( d ) 2 sin ( 4 d ) + 2 sin 2 ( 2 d ) cos 2 ( a 3 ) = sin ( 4 d ) 15 tan ( d ) + sin 2 ( 2 d ) \cos^2(a_3)=\dfrac{\sin(4d)}{15\tan(d)}+\sin^2(2d) cos 2 ( a 3 ) = 15 tan ( d ) sin ( 4 d ) + sin 2 ( 2 d ) cos ( d ) = 0.2 = > sin ( d ) = ± 1 − ( 0.2 ) 2 = ± 0.8 \cos(d)=\sqrt{0.2}=>\sin(d)=\pm\sqrt{1-(\sqrt{0.2})^2}=\pm\sqrt{0.8} cos ( d ) = 0.2 => sin ( d ) = ± 1 − ( 0.2 ) 2 = ± 0.8
Let sin ( d ) = 0.8 . \sin(d)=\sqrt{0.8}. sin ( d ) = 0.8 .
sin ( d ) = 0.8 . \sin(d)=\sqrt{0.8}. sin ( d ) = 0.8 . Then
tan ( d ) = sin ( d ) cos ( d ) = 0.8 0.2 = 8 2 = 2 \tan(d)=\dfrac{\sin(d)}{\cos(d)}=\sqrt{\dfrac{0.8}{0.2}}=\sqrt{\dfrac{8}{2}}=2 tan ( d ) = cos ( d ) sin ( d ) = 0.2 0.8 = 2 8 = 2 cos ( 2 d ) = 2 cos 2 ( 2 d ) − 1 = 2 ( 0.2 ) 2 − 1 = − 0.6 \cos(2d)=2\cos^2(2d)-1=2(\sqrt{0.2})^2-1=-0.6 cos ( 2 d ) = 2 cos 2 ( 2 d ) − 1 = 2 ( 0.2 ) 2 − 1 = − 0.6 sin ( 2 d ) = 2 sin ( d ) cos ( d ) = 2 0.8 0.2 = 0.8 \sin(2d)=2\sin(d)\cos(d)=2\sqrt{0.8}\sqrt{0.2}=0.8 sin ( 2 d ) = 2 sin ( d ) cos ( d ) = 2 0.8 0.2 = 0.8 sin ( 4 d ) = 2 sin ( 2 d ) cos ( 2 d ) = 2 ( 0.8 ) ( 2 ) = 3.2 \sin(4d)=2\sin(2d)\cos(2d)=2(0.8)(2)=3.2 sin ( 4 d ) = 2 sin ( 2 d ) cos ( 2 d ) = 2 ( 0.8 ) ( 2 ) = 3.2 sin 2 ( 2 d ) = ( 0.8 ) 2 = 0.64 \sin^2(2d)=(0.8)^2=0.64 sin 2 ( 2 d ) = ( 0.8 ) 2 = 0.64 cos 2 ( a 3 ) = 3.2 15 4 + 0.64 = 0.6933 \cos^2(a_3)=\dfrac{3.2}{15\sqrt{4}}+0.64=0.6933 cos 2 ( a 3 ) = 15 4 3.2 + 0.64 = 0.6933 Let sin ( d ) = − 0.8 . \sin(d)=-\sqrt{0.8}. sin ( d ) = − 0.8 .
Then
tan ( d ) = sin ( d ) cos ( d ) = − 0.8 0.2 = − 8 2 = − 2 \tan(d)=\dfrac{\sin(d)}{\cos(d)}=-\sqrt{\dfrac{0.8}{0.2}}=-\sqrt{\dfrac{8}{2}}=-2 tan ( d ) = cos ( d ) sin ( d ) = − 0.2 0.8 = − 2 8 = − 2 cos ( 2 d ) = 2 cos 2 ( 2 d ) − 1 = 2 ( 0.2 ) 2 − 1 = − 0.6 \cos(2d)=2\cos^2(2d)-1=2(\sqrt{0.2})^2-1=-0.6 cos ( 2 d ) = 2 cos 2 ( 2 d ) − 1 = 2 ( 0.2 ) 2 − 1 = − 0.6 sin ( 2 d ) = 2 sin ( d ) cos ( d ) = − 2 0.8 0.2 = − 0.8 \sin(2d)=2\sin(d)\cos(d)=-2\sqrt{0.8}\sqrt{0.2}=-0.8 sin ( 2 d ) = 2 sin ( d ) cos ( d ) = − 2 0.8 0.2 = − 0.8 sin ( 4 d ) = 2 sin ( 2 d ) cos ( 2 d ) = − 2 ( 0.8 ) ( 2 ) = − 3.2 \sin(4d)=2\sin(2d)\cos(2d)=-2(0.8)(2)=-3.2 sin ( 4 d ) = 2 sin ( 2 d ) cos ( 2 d ) = − 2 ( 0.8 ) ( 2 ) = − 3.2 sin 2 ( 2 d ) = ( − 0.8 ) 2 = 0.64 \sin^2(2d)=(-0.8)^2=0.64 sin 2 ( 2 d ) = ( − 0.8 ) 2 = 0.64 cos 2 ( a 3 ) = 3.2 − 15 4 + 0.64 = 0.6933 \cos^2(a_3)=\dfrac{3.2}{-15\sqrt4{}}+0.64=0.6933 cos 2 ( a 3 ) = − 15 4 3.2 + 0.64 = 0.6933 cos 2 ( a 3 ) = 0.6933 \cos^2(a_3)=0.6933 cos 2 ( a 3 ) = 0.6933
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